福建省漳州市2023-2024学年高一（上）1月期末数学试卷（解析版）

这是一份福建省漳州市2023-2024学年高一（上）1月期末数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以.
故选：A.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】函数的定义域满足，解得.
所以该函数的定义域为.
故选：B.
3. 若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对选项A：取，，不成立，错误；
对选项B：取，，不成立，错误；
对选项C：，则，正确；
对选项D：取，，不成立，错误.
故选：C.
4. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，，，，
所以.
故选：D.
5. 函数的部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，函数定义域为，
，函数为偶函数，排除CD；
当时，，排除B.
故选：A.
6. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
.
故选：C.
7. 已知，则“”的一个充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A：即，因为，所以不一定成立，故A错误；
对于B：即，因为，所以不一定成立，故B错误；
对于C：即，因为，所以不一定成立，故C错误；
对于D：即，则成立，故D正确.
故选：D.
8. 若函数是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当时，单调递增，且；
当时，，，函数单调递增，
且，解得；
当时，，，.
函数单调递增，则，解得；
同理可得：当时，，，函数单调递增，
且，解得；
综上所述：.
故选：B.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数是偶函数B. 函数是增函数
C. 的解集为D.
【答案】BCD
【解析】设幂函数，函数过点，即，解得，即，
对选项A：函数定义域为，，函数为奇函数，错误；
对选项B：函数是增函数，正确；
对选项C：，解得，正确；
对选项D：，正确.
故选：BCD.
10. 为了得到函数的图象，只需（ ）
A. 将函数的图象向左平移个单位长度
B. 将函数的图象向左平移个单位长度
C. 将函数的图象向左平移个单位长度
D. 将函数的图象向右平移个单位长度
【答案】ACD
【解析】对于选项A，向左平移个单位长度，
可得，故A正确；
对于选项B，向左平移个单位长度，
可得，故B错误；
对于选项C，向左平移个单位长度，
可得，故C正确；
对于选项D，向右平移个单位长度，
可得，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知，，且，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最小值为2D. 的最大值为8
【答案】BC
【解析】A选项，因为，由基本不等式得，
即，故A错误；
B选项，因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，B正确；
C选项，两边平方得，
，其中，
当且仅当，即时，等号成立，
故，解得，的最小值为2，C正确；
D选项，因，，
所以，故D错误.
故选：BC.
12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数是奇函数
B. 函数是增函数
C. 关于的不等式的解集为
D.
【答案】BC
【解析】对选项A：函数定义域为，，错误；
对选项B：，在上单调递增，故是增函数，正确；
对选项C：设，函数定义域为，
则，函数为奇函数且单调递增，
，即，即，
故，解得，正确；
对选项D：，，
，错误.
故选：BC.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知圆心角是2弧度的扇形的周长为8，则扇形的面积为______.
【答案】4
【解析】设扇形半径为，则，解得，.
14. 若函数是偶函数，且当时，，则当时，______.
【答案】
【解析】因为数是偶函数，且当时，，
所以当时，，所以，即，
所以当时，.
15. 设，则的值为______.
【答案】
【解析】由，则，所以，
故.
16. 函数的值域为______.
【答案】
【解析】函数的定义域为，，
所以为偶函数，图象关于轴对称，只需研究时的值域即可.
当即或时，
，
因为或，
所以，或，
可得；
当即时，
，
因为，所以，
可得，
综上所述，函数的值域为.
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，.
（1）求；
（2）设集合，若，求实数的取值范围.
解：（1）集合或，，
故，.
（2）因为，所以，
当时，，所以；
当时，或，解得；
综上所述：实数的取值范围为.
18. 在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点.
（1）求的值；
（2）求的值.
解：（1）由三角函数定义，结合题意，可得，
即，所以.
（2）由诱导公式，结合题意可得：
，
又，则，
又，则
19. 设函数，其中.
（1）若命题“，”为假命题，求实数的取值范围；
（2）判断在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.
解：（1）因为命题“，”为假命题，
所以“，”为真命题，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）在区间上单调递减.证明如下：
，且，
则
，
因为，且，所以，，，
所以，即，即，
所以在区间上单调递减.
20. 已知函数，且函数的最小正周期为.
（1）求的图象的对称中心；
（2）若，求使取最大值时自变量的集合，并求出最大值.
解：（1），
因为函数的最小正周期为，，故，，
.
由，，得，，
故的图象的对称中心为，.
（2），
所以当时，，
此时或，
即或，，
使取最大值时自变量的集合为或，最大值为.
21. 北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心精准发射，约10分钟后，神舟十七号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功，这是我国载人航天工程立项实施以来的第30次发射任务，也是空间站阶段的第2次载人飞行任务.航天工程对人们的生活产生方方面面的影响，有关部门对某航模专卖店的航模销售情况进行调查发现：该专卖店每天销售一款特价航模，在过去的一个月内（以30天计）的特价航模日销售价格（元/个）与时间（一个月内的第天，下同）的函数关系近似表示为（常数）.该专卖店特价航模日销售量（百个）与时间部分数据如下表所示：
已知一个月内第7天该专卖店特价航模日销售收入为350百元.
（1）给出以下三种函数模型：①，②，③.请你依据上表中的数据，从以上三种函数模型中，选择你认为最合适的一种函数模型，来表示该专卖店特价航模日销售量（百个）与时间的关系，说明你的理由.
（2）借助你在（1）中选择的模型，记该专卖店特价航模日销售收入为（百元），其中，，预估该专卖店特价航模日销售收入在一个月内的第几天最低？
解：（1）选择模型③，理由如下：
表格中对应的数据匀速递增时，对应的数据并未匀速变化，模型①不满足题意；
因为表格中数据满足，而模型②满足，模型②不满足题意；
对于模型③，将，代入模型③，有，解得，
此时，
经验证，，均满足，所以模型③满足题意.
故选择模型③.
（2），故，所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以预估该专卖店特价航模日销售收入在一个月内的第13天最低.
22. 已知函数，函数为奇函数，其中，.
（1）求的值；
（2）用表示，中的最小者，记为，请讨论在内的零点个数.
解：（1）奇函数，所以，即，
因为，所以，，函数定义域为，
，
函数为奇函数，满足.
（2）①当时，，从而hx0，在0，1内无零点；
（iv）当，时，，
在0，1内零点有，，…，，共个.
综上所述：
当，时，hx在0，+∞内共有个零点；
当，时，hx在0，+∞内共有个零点.（天）
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14
23
（百个）
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