重庆市部分学校2025届高三（上）高考模拟调研卷（一）数学试卷（解析版）

这是一份重庆市部分学校2025届高三（上）高考模拟调研卷（一）数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知为虚数单位，若，则复数的模为（ ）
A. 13B. 12C. 5D.
【答案】A
【解析】因为，所以.
故选：A
2. 已知命题，若是假命题，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为是假命题，则命题为真命题，
所以
又，当且仅当时取等号，
所以，
故选：B.
3. 已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】，即，则，
因为，则，则，则，
则，则.
故选：B.
4. 国际学生评估项目测试是世界经济合作与发展组织对各国中学生阅读、数学、科学能力评价测试. 从年开始，每年进行一次测试评估. 在评估研究时将测试成绩按一定规则转换成等级赋分，赋分范围是至分，如图是年的某地中学生参加阅读测试后用赋分数据绘制成的不完整频率分布直方图. 据图中数据，下面说法正确的是（ ）
A. 该地学生成绩的中位数一定大于
B. 该地学生成绩的众数介于至之间
C. 该地学生成绩的极差介于至之间
D. 该地学生成绩没有超过分学生所占比例为
【答案】C
【解析】对于选项A，分数在40,50的频率为，分数在的频率为，分数在的频率为，分数在的频率为，分数在的频率为，
由图知，，所以，
所以中位数在间，但不一定大，所以选项A错误，
对于选项B，由众数的定义知，众数是成绩出现次数最多的，
所以众数不一定介于至之间，所以选项B错误，
对于选项C，由极差的定义知，学生成绩的极差介于至之间，所以选项C正确，
对于选项D，由选项A知，学生成绩没有超过分学生所占比例为，所以选项D错误，
故选：C.
5. 已知直线 和曲线 ，若点 是曲线 关于直线 的对称曲线 的任意点，则点 满足（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设点关于直线的对称点为，
则，解得，
又点在曲线上，所以，
所以.
故选：D
6. 若关于的方程有且仅有一个实数根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由可得，
由，可得，解得，
令，，
则
，
，
所以，函数、的图象都关于直线对称，
因为关于方程有且仅有一个实数根，
则函数、在上的图象只有一个公共点，所以，，
可得.
故选：C.
7. 正三棱台三侧棱的延长线交于点，如果，三棱台 的体积为， 的面积为，那么侧棱与底面所成角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】过作面于，交面于，连接，
正三棱台三侧棱的延长线交于点，所以三棱锥为正三棱锥，
又因为，则，所以，又 的面积为，
所以，
则
解得，所以，设的边长为，则，
解得，
又三棱锥为正三棱锥，所以是的中心，
又易知边上的高线长为，所以，
又面，所以为侧棱与底面所成的角，
则，
故选：D.
8. 已知函数 ，若，，则当时，（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设，则直线与函数的图象有三个交点，
由图象可知，，
由，则有，
则有，解得，有，
又，所以，
得．
故选：A.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 已知双曲线 和 ，其中，且，则（ ）
A. 与有相同的实轴B. 与有相同的焦距
C. 与有相同的渐近线D. 与有相同的离心率
【答案】BC
【解析】对于选项A，双曲线的实轴在轴上，
双曲线的实轴在轴上，所以选项A错误，
对于选项B，因为双曲线和的焦距均为，所以选项B正确，
对于选项C，双曲线的渐近线方程为，
双曲线的渐近线方程为，所以选项C正确，
对于选项D，双曲线的离心率为，
双曲线的离心率为，
因为，所以，故选项D错误，
故选：BC.
10. 关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 在上单调递减B. 的图象关于直线对称
C. 的最小值为D. 的一个极大值为1
【答案】AC
【解析】，得或，
的变化情况如下表，
由表可知，函数在区间单调递减，在区间单调递增，
当时取极小值，也是最小值，无极大值，
，，，所以函数也不关于对称，
所以正确的只有AC.
故选：AC
11. 若 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A，，则，A正确；
对于B，由，得，，
则，B正确；
对于C，，则，
当且仅当时取等号，因此，C错误；
对于D，，
令，对勾函数在上递减，在上递增，
因此，D正确.
故选：ABD
三、填空题: 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分.
12. 已知等差数列 满足 ，则前 项和 _____.
【答案】
【解析】等差数列 满足 ，
所以,计算得，
所以，
则前 项和 .
故答案为：.
13. 设锐角 满足 ，且 ，则 _____.
【答案】
【解析】由条件可知，，两边同时除以，
得，且，即，
解得：或
且，所以，所以，
所以.
故答案为：
14. 某玩具厂商准备用一种八面体结构的透明装饰盒容纳水晶球玩具，该八面体由两个完全相同的底面为正方形的四棱锥去掉底面拼成（如图），水晶球可看作半径为的球体，为了节省成本，要求装饰盒恰好能容纳水晶球，则装饰盒体积的最小值是_____.

【答案】
【解析】画出大致模型如图：

因为装饰盒恰好能容纳水晶球，所以球恰好为八面体的内切球，
取，的中点，，画出截面图，

设正方形边长为，
由面积相等可得，又，
所以，所以八面体的体积为，
令，，
所以，令，得，
当时，，当时，，
所以当时，取得最小值，此时
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的内角 所对应的边分别为，若.
（1）求；
（2）求面积的最大值.
解：（1），得到，
由余弦定理知，，
因为，所以．
（2），得到，当且仅当取等，
所以，（当且仅当取等．）故面积的最大值为．
16. 设，已知函数.
（1）当函数在点处的切线与直线平行时，求切线的方程；
（2）若函数的图象总是在轴的下方，求的取值范围.
解：（1）因为，则，解得，
则，又，所以切点为，
所以切线的方程为，即.
（2）由题意知，因为，所以当时，，
此时函数在区间上单调递增，又时，，不合题意，
当时，由得，
当时，，时，
即在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以当时，函数取得最大值，最大值为，
设，
此时，所以，即为减函数，而，
要使函数的图象总是在轴的下方，必须，即，
所以，所以，即的取值范围是．
17. 如图，在五棱锥中，已知底面，，，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求侧面与侧面所成二面角的余弦值.
解：（1）证明：因为，，，
由得，
即，即，所以，
因为底面，平面，所以，
因为，、平面，所以平面，
又，
所以，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）因为底面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、A0,0,0，
，，
设平面的法向量为m=x1,y1,z1，则，
取，可得，
，，
设平面的法向量为n=x2,y2,z2，则，
取，可得，
所以，
由题意可判断侧面与侧面所成二面角为钝二面角，
故侧面与侧面所成二面角的余弦值为．
18. 党的二十届三中全会提出“健全新型举国体制，提升国家创新体系整体效能”. 为让拔尖创新型人才脱颖而出，某地决定举行中学生高科技知识挑战赛，挑战赛分预赛和决赛两个阶段，每个参赛队由两名选手组成，每个选手只能参加一个阶段的挑战赛，每个阶段分别设置了 3 个问题；预赛阶段至少完整答对 1 个问题，该队才能进入决赛: 决赛阶段每完整答对 1 个问题， 该队决赛成绩记 3 分， 否则记 0 分， 未进入决赛的参赛队决赛成绩记 0 分. 已知华夏队的 两名选手每次完整答对 1 个问题的概率为 ，每次回答是独立的， 表示华夏队的决赛总成绩.
（1）当 时，若 选手参加预赛，求 ；
（2）当 最大时，决赛阶段应由哪个选手参加?
（3）当 最大时，决赛阶段应由哪个选手参加?
解：（1）由题意选手至少完整答对了1个问题，在决赛阶段选手也至少完整答对了1个问题，
故所求概率；
（2）若选手参加预赛，则，
若选手参加预赛，则，
所以
，
因为，
所以，
所以，
所以，
故决赛阶段应由选手参加；
（3）若选手参加预赛，则的所有可能取值为，
则，
，
所以，
若选手参加预赛，同理可得，
则，
因为，
所以，
故决赛阶段应由选手参加．
19. 已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线交于两点，且的最小值为. 分别过两点作该抛物线的切线，交于点.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线的平行线交抛物线于两点，分别记 的面积为，，求出的取值范围；
（3）分别以与为直径作圆，记两圆交点为，以为直径作圆，求该圆的面积取值范围.
解：（1）分别记的坐标为，易知直线的斜率存在，设直线为，
联立抛物线方程有，则有，
所以，当且仅当时取等，
所以，解得，所以抛物线方程为.
（2）分别设抛物线在两点处的切线为，对该二次函数求导有，
所以，也即，也即．
同理，处切线，也即，
设点，则有，
所以直线为，也即，
因为直线经过焦点，所以解得，
所以，所以的轨迹为准线，
联立直线与抛物线有，所以，
过作轴的垂线交直线于点，则有，则有，
所以的面积，
同理直线为，联立抛物线得：，
分别记的坐标为，
则有，
过作轴的垂线交直线于点，则有，则有，
所以的面积，
所以，令，则有，
则，
又令，则有，
令，则有，
所以在单调递减，所以的取值范围是．
（3）由（2）知，直线为，则有，
，
所以，
所以，所以在以为直径的圆上，
同理，也在以为直径的圆上，所以两圆的相交弦即为，也即，
由图可得，当且仅当轴时取等，此时以为直径的圆面积为，
所以的取值范围是，所以以它为直径的圆面积范围是．单调递减
单调递减
极小值
单调递增