辽宁省鞍山市普通高中2025届高三（上）第三次月考数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省鞍山市普通高中2025届高三（上）第三次月考数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：150分
命题范围：高考范围（除了概率与统计）
第I卷（选择题，共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知是虚数单位，复数，则复数z的共轭复数为（ ）
A. 2B. 2C. 2D. 2
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以复数的共轭复数还是2.
故选：A.
2. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若直线与直线平行，
则，解得或，
经检验或时两直线平行．
故“”能得到“直线与直线平行”，但是“直线与直线平行”不能得到“”
故选：A
3. 在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记m，＝n，则＝（ ）
A 3m－2nB. －2m＋3n
C. 3m＋2nD. 2m＋3n
【答案】B
【解析】因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2，即－＝2（－），所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n.故选B.
4. 设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为圆与轴交于，两点（在的上方），
所以，，
又因为过作圆的切线，
所以切线的方程为，
因为动点到的距离等于到的距离，
所以动点的轨迹为抛物线，且其焦点为，准线为，
所以的轨迹方程为．
故选：A.
5. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长1与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，且，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的（ ）
A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍
【答案】B
【解析】依题意，，则，
所以第一次的“晷影长”是“表高”的2倍.
故选：B
6. 定义在上的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则函数（ ）.
A. 在区间 上是增函数，在区间 是减函数
B. 在区间 上是增函数，在区间 是增函数
C. 在区间 上是减函数，在区间 是减函数
D. 在区间 上是减函数，在区间 是增函数
【答案】B
【解析】，关于直线对称，
在区间上是减函数，在区间上是增函数，
又是偶函数，，
，
是周期为2的函数，在区间也是增函数.
故选：B
7. 圆柱形玻璃杯中盛有高度为10cm的水，若放入一个玻璃球（球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为（ ）
A. B. 15cmC. D. 20cm
【答案】B
【解析】由题意玻璃球的体积等于放入玻璃球后的体积减去原来的体积.
设玻璃球半径为，即圆柱形玻璃杯的底面半径为
则玻璃球的体积为，圆柱的底面面积为
若放入一个玻璃球后，水恰好淹没了玻璃球，则此时水面高度为
所以，解得
故选：B
8. 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】，令为函数在上的“拉格朗日中值点”，
则，
令，则在上恒成立，
故在上单调递增，
又，，
由零点存在性定理可得：存在唯一的，使得.
故选：B
二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则下列选项正确的有（ ）
A. 的最小正周期为
B. 曲线关于点中心对称
C. 的最大值为
D. 曲线关于直线对称
【答案】ACD
【解析】由题意，函数，
对于A，由于的最小正周期，故正确；
对于B，由于，故错误；
对于C，由于，故正确；
对于D，的对称轴为得，当时，，
即关于直线对称，所以D正确.
故选：ACD.
10. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆C的离心率为
B. 的最大值为6
C. 的周长为10
D. 存在点P，使得为等边三角形
【答案】ABD
【解析】由椭圆C：，可得，，则，
对于选项A，椭圆C的离心率，故A正确；
对于选项B，当点P为椭圆C的右顶点时，可得，故B正确；
对于选项C，的周长为，故C错误；
对于选项D，当点P为椭圆C的短轴的端点时，可得，，此时为等边三角形，故D正确．
故选：ABD
11. 函数满足，则正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】依题意，令函数，求导得，函数在R上递减，
对于A，，，则，A正确；
对于B，，，则，B错误；
对于C，，，则，C正确；
对于D，，，则，D错误.
故选：AC
第II卷（非选择题，共92分）
三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知数列满足，，若，，则的值为______.
【答案】或
【解析】因为，，所以数列为等比数列，设其公比为q.
由，
，得，，
所以.
当时，，则；
当时，，则.综上，的值为或.
故答案为：或
13. 若a，b，c，d为实数，且，定义函数，现将的图像先向左平移个单位，再向上平移个单位后得到函数的图像，则的解析式为______.
【答案】
【解析】由题意，，
a，b，c，d为实数，且，
在中，
∵的图像先向左平移个单位，再向上平移个单位后得到函数
∴，
∴的解析式为：.
故答案为：.
14. 如图，已知是的中点，则与平面所成角的余弦值为_____．
【答案】
【解析】∵平面，∴平面．
连接，如图所示，则是在平面上的射影，
∴就是与平面所成的角．
设，则，
∵，∴，
∵，是的中点，∴，
∴，
∵平面，平面，∴，
∴，
∴，
∴与平面所成角的余弦值为
四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角所对的边分别为，且
（1）求角B；
（2）若的面积为，BC边上的高，求，的值．
解：（1）因为，所以
所以，即
由余弦定理可得，
因为，所以
（2）由（1）知，，因为BC边上的高，所以，
在中，由正弦定理可得，
即.
因为的面积为，
所以，解得.
在中,由余弦定理,得，
则
所以的值为，的值为.
16. 如图，在多面体中，，，垂直于底面，且满足，，.
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.
解：（1）证明：由题意得，，，
，，垂直于底面，
，，，，
可得，所以，故.
由，，，，，得.
又，由，得，所以，
故.
又，因此平面，
因为平面，故.
（2）如图，以的中点为坐标原点，分别以射线，为，轴的正半轴，
过点作平行于且向上的射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系.
由题意知各点坐标如下：
，，，
，，
因此，，
，.
设平面的法向量，
所以，即，则；
同理可得，平面的一个法向量，
，
故二面角的余弦值为.
17. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，为的左顶点，且．
（1）求的方程；
（2）若动直线与恰有个公共点，且与的两条渐近线分别交于点、．求证：点与点的横坐标之积为定值．
解：（1）易知点、、，，，
所以，，解得，，则，
所以，双曲线的方程为.
（2）证明：分以下两种情况讨论：
①当直线轴时，直线的方程为，此时点、的横坐标之积为；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由题意可知直线不与双曲线的渐近线平行或重合，即，
设点、，
联立可得，
则，可得，则，
不妨点、分别为直线与直线、的交点，
联立可得，联立可得，
此时，.
综上所述，点与点的横坐标之积为定值.
18. 已知函数，．
（1）求曲线在处切线的斜率；
（2）求函数的极大值；
（3）设，当时，求函数的零点个数．并说明理由．
解：（1）由，知，即切点
求导，则切线的斜率
所以曲线在处切线的斜率为.
（2）函数的定义域为，求导，
令，得
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
故当时，函数取得极大值
所以函数的极大值为
（3）函数，求导，
当时，，故函数在上单调递增，
又，，所以方程在有且仅有一个根，
即函数在有一个零点.
当时，讨论函数的零点个数，即讨论方程的根的个数，
即讨论方程的根的个数，即讨论函数与的交点个数，
求导，令，得或
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
又，，又，所以函数与没有交点，
即函数在上无零点.
综上可知，当时，求函数的零点个数为个.
19. 对于给定的正整数和实数，若数列满足如下两个性质：①；②对，，则称数列具有性质.
（1）若数列具有性质，求数列的前项和；
（2）对于给定的正奇数，若数列同时具有性质和，求数列的通项公式；
（3）若数列具有性质，求证：存在自然数，对任意的正整数，不等式均成立.
解：（1）由题意得：，，
则当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以数列前项和；
（2）由题意得：，，
对于给定的正奇数，，
对，，
则令，，
得：，，
综上：为常数列，
由
可得：
（3）证明：要证，
只需证，
即证，
令数列，
由于具有性质，
即，
对，，
则，
对，，
所以具有性质，
令，
设的最小值为，
对，令，，
由于具有性质，
则有，
所以，
所以，
所以成立