湖北省云学名校联盟2023-2024学年高二（上）期末联考数学试卷（解析版）

这是一份湖北省云学名校联盟2023-2024学年高二（上）期末联考数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为.
故选：C.
2. 已知各项均为正数的等差数列的前n项和为，，则的值为（ ）
A. 9B. 10C. 16D. 18
【答案】D
【解析】由题意，设等差数列，
因为，可得，
因为，解得，又由.
故选：D.
3. 设，，若，则m的值为（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，则，
即，
所以，
得.故选：C.
4. 已知一个动圆P与两圆：和：都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（ ）
A. （）B.
C. （）D. （）
【答案】A
【解析】由题意易知两圆圆心分别为，半径分别为，
设动圆圆心，半径，
则根据题意有,
根据双曲线的定义知的轨迹是以原点为中心，为左右焦点，为实轴长的双曲线的左支，故其轨迹方程为：.
故选：A
5. 已知两点,,若直线上存在点满足，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设，则，，
因为，所以，即，
又因为点在直线上，故直线与圆有交点，
则圆心到直线的距离，
所以.
故选：D
6. 已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，不妨设，由点在椭圆上可得：①，
由余弦定理可得：，化简得：②，
由①式两边平方再减去②式，得：，
于是的面积为.
故选：D.
7. 已知抛物线（），O为原点，过抛物线C的焦点F作斜率为的直线与抛物线交于点A，B,直线AO，BO分别交抛物线的准线于点C，D,则为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示，由抛物线，可得，准线方程为，
则过抛物线C的焦点F作斜率为的直线方程为，
联立方程组，整理得，
设，
则且，
则，
根据抛物线的定义，可得，
又由，所以直线的方程为，
令，可得，
因为，可得，所以，同理可得，
所以，
所以.
故选：A.
8. 已知等比数列的前n项和为，公比为q，则“”是“数列是递减数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，即，
又，
所以递减数列，
若是递减数列，
则，所以，
所以“”是“数列是递减数列”充要条件.
故选：B.
二、多选题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】CD
【解析】A选项，若，，则可能异面，A选项错误.
B选项，若，，则可能相交，B选项错误.
C选项，若，，则（线面垂直的性质定理），C选项正确.
D选项，若，，则（垂直于同一条直线的两个平面平行），D选项正确.
故选：CD
10. 已知数列的前项和为，，且数列即是等差数列又是等比数列，则（ ）
A. 是等比数列B. 是等差数列
C. 是递增数列D. 是递减数列
【答案】ABC
【解析】令，则，
设数列的公差为，又数列是等比数列，
则，即，解得，
即数列为常数列，①，
当时，②，
①②得，即，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
即，当时仍成立，AC说法正确；
令，
则是常数，所以是等差数列，B说法正确；
令，因为当时，，
即，
当时，，即，所以不是递减数列，D说法错误；故选：ABC
11. 已知抛物线C：焦点为F，点P在抛物线上，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为2
B. 若点，则周长最小值为
C. 若点Q在圆上运动，则的最小值为
D. 若点Q在直线上运动,且P到y轴距离为,则最小值为
【答案】ABC
【解析】易知，设，则，
又，所以，当时取得最小值，故A正确；
如图所示分别过向准线作垂线，垂足分别为，
根据抛物线的定义可知，
则周长为,
当且仅当在与抛物线的交点时取得等号，故B正确；
如图所示，设，
则，
又，所以，当时取得最小值，
此时的最小值为，即Q在线段上时，故C正确；
如图所示，分别过向直线作垂线，垂足分别为，
由抛物线的定义可知：，
当且仅当重合且P在线段上时取得最小值，
由点到直线的距离可知，所以最小值为，故D错误.
故选：ABC
12. 已知椭圆C：（，）右焦点为F，M，N是椭圆上关于原点对称的两点，且不在坐标轴上，线段FM、FN的中点分别为A，B，且，则椭圆C的离心率可以为（ ）
A B. C. D.
【答案】AC
【解析】设椭圆短轴一个端点为P，左焦点为，
连，，
因为M，N是椭圆上关于原点对称的两点，关于原点对称，
则为平行四边形，
∵，由三角形中位线定理，可知
∴，则，
由椭圆得，
当且仅当，即为短轴的端点时，取最小值，
又因为余弦函数在上为减函数，
所以为短轴的端点时，最大，
所以，∴，
∴，则，
∴，所以A、C正确.
故选：AC

三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．
13. 点到直线的距离最大值是____________．
【答案】
【解析】由题意得，直线过定点，则，
如图所示，当直线与直线垂直时，
此时点到直线的距离最大值，且最大值为.
故答案为：.
14. 设，为椭圆C：的左右焦点，M为椭圆C上一点，且在第一象限，若为等腰三角形，则线段的长为____________．
【答案】2
【解析】依题意，，
由椭圆定义，知，
由为等腰三角形，知，所以.
故答案为：2
15. 已知等比数列的前3项和为7，若，则的值为____________．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，
因为等比数列的前项和为，且，
可得，解得，
所以的值为.
故答案为：.
16. 已知正三棱锥，底面是边长为2的正三角形，若，且，则正三棱锥外接球的半径为____________．
【答案】
【解析】设正三棱锥的底面中心为点，连接，则面，
连接并延长，交于点，连接，如图所示，
因为底面是正三角形，
则为的中点，，，
又，面，面，
所以面，又因为面，
所以，又因为，，
因为，所以，故面，又因为面，
所以面，
因为面，面，所以，
因为三棱锥是正三棱锥，且底面是边长为2的正三角形，
所以两两垂直，且，
将其补形成棱长为正方体，如图：
所以正三棱锥外接球的半径为.
故答案为：
四、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知圆心为圆经过点，，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）过直线上一点作圆的两条切线,切点分别为,当最小时，求的值．
解：（1）因为圆心为的圆经过点，，
所以圆心在线段中垂线上，
因为，线段中点为，
所以圆心在直线，即上，
联立得圆心，圆的半径为，
所以圆的方程为.
（2）由题意可知，
所以，
所以当取最小值时最小，此时，
所以此时．
18. 已知数列{}的首项．
（1）求数列{}的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
解：（1），则
数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即
（2）由（1）可知，，则

利用分组求和以及错位相消的方法可得，
19. 如图,平行六面体的底面是菱形,且,，．
（1）求的长．
（2）求异面直线与所成的角的余弦值．
解：（1）
，
所以，
即的长为.
（2）
，
又由余弦定理得，
所以设所求异面直线所成角为，.
20. 已知数列满足，，
（1）证明：是等差数列；
（2）设，求前10项的和．
解：（1）∵
∴，
又，，
是以3为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）知，，
∴
∴前10项的和为
.
21. 如图，已知四棱锥,面，四边形中，，，，,,点A在平面内的投影G恰好是的重心．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）求线段的长及直线与平面所成的角的正弦值．
解：（1）∵平面，平面，∴，
又∵，，平面，
∴平面，又面，平面⊥平面.
（2）如图，过作的平行线交于E，则两两垂直，
以A为原点，以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，
则，，
由可得：，解得：，即，
则，
取中点H，则，易得，
又，平面，∴面，
又 ，故为平面的法向量，
设直线与平面所成的角为，则，
∴直线与平面所成的角正弦值为.
22. 已知椭圆E：（）的左右顶点分别为A，B，焦距为2，P是椭圆E上异于A，B的任意一点，若直线PA，PB斜率之积为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设点在椭圆E的内部，直线AT，BT分别交椭圆E于另外的点C和D，若△CDT的面积为，求t的值．
解：（1）设，则，即，因，，
则，
故，又，则，∴，，故椭圆方程为.
（2）设，.
直线AT方程为：，
即与椭圆方程联立,消去整理得：
∴
直线BT方程为:, 即与椭圆方程联立，消去整理得：
∴
∵，又，
因
又由图知，则,同理，代入上式，
，即
，
化简得：，解得：或,即或.
因当时，点在椭圆外，故舍去．∴．