湖北省A9高中联盟2023-2024学年高一（上）期末联考数学试卷（解析版）

这是一份湖北省A9高中联盟2023-2024学年高一（上）期末联考数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：
命题“，”的否定是，.
故选：D.
2. 若第四象限角，则点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】由于是第四象限角，所以，
所以在第二象限.
故选：B.
3. 设集合，集合，则的子集个数为（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 8
【答案】D
【解析】依题意，，共个元素，所以子集个数为.
故选：D.
4. 已知函数，则（ ）
A. 2B. 3C. D. 5
【答案】A
【解析】依题意，，
所以.
故选：A.
5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数的定义域为，所以，，
所以的定义域为，
对于函数，由，
得，所以函数的定义域为.
故选：C.
6. 两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降（假设第一次价格为，第二次价格为）可以用两种不同的策略，第一种是每次购买这种物品数量一定;第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济（ ）
A. 第一种B. 第二种C. 都一样D. 不确定
【答案】B
【解析】依题意，为正数，且，
第一种方式购买的平均价格为，
第二种方式，设每次购买的花费为，
则购买的平均价格为，
由基本不等式得，
所以选第二种方式比较经济.
故选：B.
7. 已知函数，，设函数，则下列说法错误的是（ ）
A. 是偶函数B. 函数有两个零点
C. 在区间上单调递减D. 有最大值，没有最小值
【答案】B
【解析】在同一直角坐标系中，画出函数，的图象，
从而得函数图象，如图实线部分：
对于A，因为函数图象关于y轴对称，所以是偶函数，正确；
对于B，根据零点的定义结合函数的图象知，函数有三个零点，
分别为，错误；
对于C，从函数图象观察得在区间上单调递减，正确；
对于D，从函数图象观察得有最大值，没有最小值，正确.
故选：B.
8. 质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，的角速度大小为，起点为角的终边与圆的交点，则当与重合时，的坐标不可以为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】点的初始位置，锐角，设时刻两点重合，
则，即，
此时点，
即，，
当时，，故A正确；
当时，，即，故C正确；
当时，，即，故D正确；
由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合，故B错误.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列四个命题为真命题的是（ ）
A. 所有平面四边形的内角和都是B.
C. 是无理数}，是无理数D. 对所有实数a，都有
【答案】AC
【解析】对于A，所有平面四边形的内角和都是，故A是真命题；
对于B，由于方程的，再根据二次函数图象可得一元二次不等式在实数上解集为，故B是假命题；
对于C，例如是无理数，则也是无理数，故C是真命题；
对于D，当时，，故D是假命题.
故选：AC.
10. 图①是某大型游乐场的游客人数x（万人）与收支差额y（万元）（门票销售额减去投入的成本费用）的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. 图①中点A的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元
B. 图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡
C. 图②游乐场实行的措施是降低门票的售价
D. 图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用
【答案】ABD
【解析】A：图①中A的实际意义表示游乐场的投入成本为1万元，正确；
B：图①中B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，游乐场的收支恰好平衡，正确；
C：图②游乐场实行的措施是提高门票的售价，错误；
D：图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用，正确.
故选：ABD.
11. 已知函数的图象是连续的，且函数的唯一零点同在内，则与符号不同的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】由二分法的步骤可知：①零点在内，则有，
不妨设，取中点2；②零点在内，则有，
则，取中点1；③零点在内，则有，
则，取中点；④零点在内，则有，
则，则取中点；⑤零点在内，则有，
则，所以与符号不同的是，，.
故选：BD.
12. 对于函数，则下列判断正确的是（ ）
A. 在定义域内是奇函数
B. ，有
C. 函数的值域为
D. 对任意且，有
【答案】ABD
【解析】对于A，，且定义域为，故为奇函数，故A正确；
对于B，在单调递减，故B正确；
对于C，当时，
当且仅当时取得等号，
当时，
当且仅当时取得等号，
所以的值域为，，故C错误；
对于D，
，
而，
故，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数图象恒过，则 _______.
【答案】
【解析】当时，.
14. 已知 ，则 _______________.
【答案】
【解析】.
15. 已知，则的最小值为____________.
【答案】
【解析】由于，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
16. 定义域为R的函数满足为偶函数，且当时，恒成立，则的大小关系为______.（从大到小排列）
【答案】
【解析】因为函数满足，
所以函数的图象关于直线成轴对称，
因为当时，，由，
则，即，所以在上单调递增，
则在上单调递减，
由，由，
根据函数在上单调递增，则；
由，根据函数在上单调递增，则，则有.
由函数在上单调递减可知.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 化简或计算下列各式．
（1）；
（2）．
解：（1）原式.
（2）原式.
18. 已知角的终边经过点，求：
（1）的值；
（2）求的值.
解：（1）依题意，角的终边经过点，
所以，
所以.
（2）
.
19. 已知幂函数()为偶函数，且在上单调递减．
（1）求和的值；
（2）求满足的实数的取值范围．
解：（1）由函数为幂函数，
则，解得；
由()在上单调递减，
得，解得，而，故或，
当时，，定义域为，且为偶函数，符合题意.
当时，，定义域为，函数为奇函数，不符合题意；
故.
（2）由（1）得，则，即.
故或或，
解得或或，
故实数的取值范围为.
20. 某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知，，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为弧度.
（1）求关于x的函数表达式；
（2）记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.
解：（1）根据题意，可算得，．
因为，所以，
所以，.
（2）根据题意，可知
，
当时，.
综上所述，当时铭牌的面积最大，且最大面积为.
21. 已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求正实数m的取值范围．
解：（1）当时，，
由，
解得或，
所以不等式解集为.
（2）当时，，
对称轴为，且，，
所以对任意的，.
时，增函数，，
由得，
若对任意的，总存在，使成立，
所以，解得，
所以正实数的取值范围是.
22. 已知函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）证明：函数在上是增函数；
（3）解关于的不等式.
解：（1）若，则，定义域为，
是非奇非偶函数，所以.
定义域满足且，
所以，
函数为奇函数，故，即，又因为，所以.
故，
则，函数为奇函数，满足条件.
（2）任取，
则，
，，，
所以，所以，即，
故函数在上是增函数.
（3）由上知，（）得.
所以或，或.
解得或，
所以不等式的解集为.