浙江省宁波市奉化区2023-2024学年高二（上）期末检测数学试卷（解析版）

这是一份浙江省宁波市奉化区2023-2024学年高二（上）期末检测数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若直线过点,则此直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题知,直线过点,所以直线的斜率为,
记直线的倾斜角为,
所以,
所以.
故选：C.
2. 空间内有三点，，，则点到的中点的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由、可得，
故.
故选：C.
3. 在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，则a4+a5+a6等于（ ）
A. 40B. 42C. 43D. 45
【答案】B
【解析】设等差数列an的公差为，
因为，，所以，
则.
故选：B.
4. 已知正四棱柱中，，则到平面的距离为（ ）
A. 4B. 2
C. D.
【答案】D
【解析】设，连接，由题意，是中点，∴，
又，，平面，
所以平面，
作于点，如图，则平面，∴，
而，平面，
所以平面，
正四棱柱中，侧棱与底面垂直，则必垂直该底面上的直线，
中，，，因此，
所以，
所以到平面的距离为．
故选：D．
5. 已知离心率为2的双曲线,过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点,设、到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和,且,则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设右焦点，依题意F是AB的中点，渐近线为，
F到渐近线的距离为 ，
因为、到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，F是AB的中点，所以，所以，故，得 ，
又因为离心率，得，
故双曲线的方程为.
故选：A.
6. 已知是数列的前n项和，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以当时，.因为，所以.当时，
，两式相减得.因为，
所以.因为，所以从第二项起是公比为的等比数列，
所以，所以
所以，，
所以.
故答案为：
7. 已知，，，其中，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，，，
，
∴a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．
设，则，
当时，，当时，，当时，
在上，单调递减，
,∴，
∴，
故选C．
8. 已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且,若的内切圆的半径满足，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题可知，
即，
在中，利用椭圆定义知，由余弦定理得
即，整理得
易得面积
又的内切圆的半径为，利用等面积法可知，
所以
由已知，得，则，
即
在中，利用正弦定理知
即，又，整理得
两边同除以，则，解得或（舍去）
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 直线的方向向量，平面的法向量，则
B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C. 若直线的方向向量，平面的法向量，若，则实数
D. 若，，，则点在平面内
【答案】BD
【解析】A因为，所以，故A错误；
B因为，所以，因此，故B正确；
C因为，所以，因此，即，故C错误；
D因为，所以向量共面，即点四点共面，
从而点P在平面ABC内，故D正确.
故选：.
10. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则的最小值为4
C. 以线段为直径的圆与直线相切
D. 若，则直线的斜率为1
【答案】AC
【解析】抛物线：的焦点为，准线，设点，
对于A，显然在抛物线上，则，A正确；
对于B，，当且仅当时取等号，
当时，，有，因此当时取得最小值5，B不正确；
对于C，，线段AB的中点M纵坐标为，
则，显然点M是以线段为直径的圆的圆心，
点M到直线的距离为，所以圆M与直线相切，C正确；
对于D，显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：，
由消去y得：，有，
由得：，于是得，
解得，D不正确.
故选：AC
11. 已知无穷数列的前3项分别为2，4，8，…，则下列叙述正确的是（ ）
A. 若是等比数列，则
B. 若满足，则
C. 若满足，则
D. 若满足，则
【答案】ACD
【解析】选项A，若an是等比数列，则公比，，A正确；
选项BC，若an满足，则，B错，C正确；
选项D，若an满足，则，
所以时，，
又适合上式，因此D正确．
故选：ACD．
12. 已知函数的图象在处切线的斜率为，则下列说法正确的是（ ）
A. B. f(x)在处取得极大值
C. 当时，D. f(x)的图象关于点中心对称
【答案】ABD
【解析】A：，由题意，得，正确；
B：，由得：或，易知在，上，f(x)为增函数，在上，f(x)为减函数，所以f(x)在处取得极大值，正确；
C：由B知：，，，故在上的值域为，错误；
D：令且为奇函数，则，而g(x)图象关于中心对称，所以f(x)关于中心对称，正确；
故选：ABD.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知抛物线的焦点为,点为抛物线上一点，则___________.
【答案】
【解析】因为点为抛物线上一点，所以，
解得：.
所以焦点.
所以.
故答案为：
14. 点到直线距离的最大值______.
【答案】
【解析】因为直线显然过点，即，，
连接，若，则点到直线的距离为；
若不垂直，则点到直线的距离必小于，
综上，点到直线距离最大值.

故答案为：.
15. 如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，BD=7，则的长为____________.
【答案】
【解析】由已知，，,，
所以
，
所以,
故答案为：
16. 已知函数及其导函数的定义域均为,为奇函数，且则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】设，则，故单调递减．
因为为奇函数，定义域为，所以，故．
可转化为，即．
因为单调递减，所以，解得．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 已知圆的圆心为，且与直线相切.
（1）求圆的标准方程；
（2）设直线与圆M交于A，B两点，求AB.
解：（1）因为圆心为，
所以圆心M到切线的距离= ，
所以半径，
所以圆M的标准方程为：+；
（2）由题可知圆心M到直线的距离= ，
又由（1）知半径，
所以=，
所以AB=．
18. 已知等差数列的前n项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
解：（1）设数列an的公差为，则，
解得，
所以.
（2）由（1）得，
则，
，
两式相减得：
，
所以.
19. 如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在棱上.
（1）证明：平面平面；
（2）当时，求二面角的余弦值.
解：（1）因为底面，平面，所以.
四边形是直角梯形，，，
因为，所以.
所以，所以.
又因为，平面，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）解法一：
以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.
设点的坐标为，因为，所以，
即，所以.
所以.
设平面的一个法向量为，
则，
取，则，得.
又因为平面，
所以平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则.
所以，二面角的余弦值为.
解法二：
取的中点，连接，以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
设点的坐标为，因为，所以，
即，所以.
所以.
设平面的一个法向量为，则.
取，则，则.
又因为平面，所以平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则.
所以二面角的余弦值为.
20. 牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度(第一年)投入80万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少，本年度牧草销售收入估计为60万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加.
（1）设n年内总投入金额为万元，牧草销售总收入为万元，求的表达式；
（2）至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入? ()
解：（1）由题知，每年的追加投入是以为首项，为公比的等比数列，
所以，；
同理，每年牧草收入是以为首项，为公比的等比数列，
所以，.
（2）设至少经过年，牧草总收入超过追加总投入，即，
即，
令，则上式化为，
即，
解得，即，所以，，
即，
所以.
所以，至少经过年，牧草总收入超过追加总投入.
21. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）求证：当时，．
解：（1）因为，
所以．
①当时，在单调递减；
②当时，由得，
由得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）当时，，
要证明，只要证，即证，
设，则，令得，列表得
所以，即，所以．
22. 已知椭圆离心率等于，长轴长为4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与轨迹交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探究的面积是否为定值，并说明理由.
解：（1）由题意得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设，联立直线和椭圆方程可得：，
消去可得：，
所以，即，
则，
，
，
把韦达定理代入可得：，
整理得，
又，
而点到直线的距离，
所以，
把代入，则，
可得是定值1．
a
1
0
单调递减
极小值
单调递增