湖南省长沙市雨花区2023-2024学年八年级（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份湖南省长沙市雨花区2023-2024学年八年级（上）期末数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了答题前，请考生先将自己的姓名，必须在答题卡上答题，在草稿纸，请勿折叠答题卡，保持字体工整，答题卡上不得使用涂改液等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1、答题前，请考生先将自己的姓名、考号填写清楚，并认真核对答题卡的姓名、考号、考室和座位号；
2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁;
5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6、本试卷共25个小题,考试时量120分钟，满分120分.
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 计算-14的结果为（ ）
A. B. C. -2D. 2
【答案】A
【解析】．
故选：A
2. 下列等式从左到右的变形一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、根据分式基本性质知道，故选项错误；
B、根据分式基本性质知道，故选项正确；
C、根据分式基本性质知道，故选项错误；
D、根据分式基本性质知道，故选项错误．
故选：B．
3. 随着自主研发能力的增强，上海微电子发布消息称已经成功研发出了工艺的国产沉浸式光刻机，数据0.000000028用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】．
故选：B．
4. 下列各式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵，故A选项错误；
∵，故B选项错误；
∵，故C选项正确；
∵，故D选项错误；
故选：C
5. 已知：，则p，q的值分别为（ ）
A. 5，3B. 5，−3
C. −5，3D. −5， −3
【答案】D
【解析】由于=2x2-6x+x-3=2 x2-5x-3=，
则p=-5,q=-3,
故答案选D.
6. 若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且D. 且
【答案】D
【解析】，
，
，
∵原方程解为负数，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴且，
故选：D．
7. 如图所示，BC，AE是锐角的高，相交于点D，若，，，则BD的长为（ ）．

A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】BC，AE是锐角的高
,
故选B．
8. 如图，，，，，则度数等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在和中，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
9. 一条船往返于甲，乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为，平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为，某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了．则甲，乙两港之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设甲、乙两港相距，水流速度平时速度为． 根据平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为，得：∴，即，
解得：，经检验，符合题意且符合实际应用，
∵某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了．
∴，
解得：．
答：甲，乙两港相距．
故选D．
10. 如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q连接PQ．以下五个结论正确的是（ ）
① ；②PQ∥AE； ③ ；④ ；⑤
A. ①③⑤B. ①③④⑤
C. ①②③⑤D. ①②③④⑤
【答案】C
【解析】∵等边△ABC和等边△CDE，
∴，
∴，即，
∴，
∴AD=BE，
∴①正确，
∵，
∴，
又∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，
∴ ，
∴PQ∥AE②正确，
∵，
∴AP=BQ，③正确，
∵AD=BE，AP=BQ，
∴ ，
即DP=QE，
∵ ，
∴∠DQE≠∠CDE，
∴DE≠DP，故④错误；
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等边△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，
∴⑤正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 因式分解：_________________．
【答案】
【解析】．
故答案为：
12. 已知，，若的面积是，则中边上的高是___.
【答案】8
【解析】设中边上的高是，
由题意得，，
解得，，
，
中边上的高中边上的高，
故答案为：8
13. 二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是_______．
【答案】2
【解析】，
由二次根式是一个整数，那么正整数a最小值是2，
故答案为：2．
14. 如图，在中，，的垂直平分线交于D，交于E，则的周长为______．
【答案】13
【解析】∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴的周长，
∵，，
∴的周长．
故答案为：13．
15. 如图，是五边形的一个外角．若，则的度数为_____
【答案】
【解析】∵，
∴，
五边形的内角和为：，
∴．
故答案为：．
16. 已知，则代数式的值为___________．
【答案】6
【解析】∵，
∴，即，
∴
；
故答案为：6．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分）
17. 计算：．
解：
．
18. 解方程：．
解：由
去分母得，
化简得，
解得，
经检验是原方程的解．
19. 在直角坐标系中，有点A（3，0），B（0，4），若有一个直角三角形与Rt△ABO全等且它们只有一条公共直角边，请写出这些直角三角形各顶点的坐标（不要求写计算过程）．（至少写出三个）
解：∵A（3，0），B（0，4）
∴OA=3,OB=4,AB=
如图所示，
符合要求的点有：
若以BO为公共直角时边，C点坐标为（﹣3，4）；(-3,0)
若以AO为公共直角边时，C点的坐标为（0，﹣4）和（3，﹣4）和（3,4）．
20. 先化简，再求值：，其中
解：
=
；
当时，原式．
21. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长．

解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4．
22. 观察下面的因式分解过程：
am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）
利用这种方法解决下列问题：
（1）因式分解：2a+6b﹣3am﹣9bm
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ac﹣ab+bc＝0，判断△ABC的形状．
解：（1）2a+6b﹣3am﹣9bm
＝（2a+6b）﹣（3am+9bm）
＝2（a+3b）﹣3m（a+3b）
＝（a+3b）（2﹣3m）；
或 2a+6b﹣3am﹣9bm
＝（2a﹣3am）+（6b﹣9bm）
＝a（2﹣3m）+3b（2﹣3m）
＝（2﹣3m）（a+3b）；
（2）∵a2﹣ac﹣ab+bc＝0，
∴（a2﹣ac）﹣（ab﹣bc）＝0，
∴a（a﹣c）﹣b（a﹣c）＝0，
∴（a﹣c）（a﹣b）＝0，
∴a﹣c＝0或a﹣b＝0，
∴a＝c 或 a＝b，
∴△ABC是等腰三角形．
23. 某中学为了创设“书香校园”，准备购买两种书架，用于放置图书．在购买时发现，种书架的单价比种书架的单价多20元，用600元购买种书架的个数与用480元购买种书架的个数相同．
（1）求两种书架的单价各是多少元？
（2）学校准备购买两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个种书架？
解：（1）设种书架的单价为元，根据题意，得
解得
经检验：是原分式方程的解
答：购买种书架需要100元，种书架需要80元．
（2）设准备购买个种书架，根据题意，得
解得
答：最多可购买10个种书架．
24. 如图，在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E．
（1）当时，___________，___________；
（2）线段的长度为何值时，？请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数；若不可以，请说明理由．
解：（1），且，，
，
∵，，
，
，
故答案：，；
（2）当时，≌，
理由如下：
，，，
，
∵，
∴，
在△ABD和△DCE中，
∵，
≌(ASA)；
（3）①若时，
，，
，
，
，
．
②若时，
，，
，
，
，
，
③当，，
∴
此时不符合题意，舍去．
综上所述：当或时，的形状可以是等腰三角形
25. 阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，，
因为，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
当x=2时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较和的大小；
（2）求的最大值和最小值．
解：（1），
，
而，，
，
；
（2）由，，得，
，
∴当时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以的最大值为2；
当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为．