湖南省永州市宁远县2024-2025学年九年级（上）期中数学试卷（解析版）

这是一份湖南省永州市宁远县2024-2025学年九年级（上）期中数学试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，附加题等内容，欢迎下载使用。
1. 下面的函数是反比例函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：A、是反比例函数，正确；
B、是二次函数，错误；
C、是正比例函数，错误；
D、是一次函数，错误．
故选：A．
2. 反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣4，3），这个反比例函数的图象一定经过（ ）
A. （﹣4，﹣3）B. （3，﹣4）C. （3，4）D. （﹣3，﹣4）
【答案】B
【解析】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣4，3），
∴，
∴反比例函数解析式，
∴当时，，当时，，当时，，
∴只有点（3，-4）在反比例函数图像上，
故选B．
3. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵是一元一次方程，故A不符合题意；
∵是分式方程，故B不符合题意；
∵是二元一次方程，故C不符合题意；
∵一元二次方程，故D符合题意，
故选：D．
4. 如图，在中，D、E分别是上的点，且，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
5. 已知点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴上格点横、纵坐标异号，且在每一个象限内，y随x的增大而增大．
∵，，，
∴，且，
∴，
故选A．
6. 方程的根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根
【答案】A
【解析】解：∵x2+8x+17=0，
∴Δ=82-4×1×17=-4＜0，
∴方程没有实数根．
故选：A．
7. 某电影上映第一天票房收入约3亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到10亿元．若增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：若增长率为，
依题意，得：．
故选：D．
8. 若a：b：c=2：3：7，且a－b＋3=c－2b ， 则c=（ ）
A. 7B. 63C. 10．5D. 5．25
【答案】C
【解析】设a=2k，b=3k，c=7k，
∵a-b+3=c-2b，
∴2k-3k+3=7k-6k，
解得：k= ，
∴c=7k=10.5，
故选C.
9. 在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为米的人的影长为米，那么影长为米的旗杆的高是（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】A
【解析】解：设影长为米的旗杆的高是米，
根据题意可得：，
解得：，
即影长为米的旗杆的高是米．
故选：A．
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 两个菱形相似B. 各有一个角的两个等腰三角形相似
C. 一角相等的两个直角三角形相似D. 腰对应成比例的两个等腰三角形相似
【答案】B
【解析】解：A、两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似，故选项不符合题意；
B、有一个角的三角形中，角必须为顶角，两个底角分别是，可判定三角形相似，故选项符合题意；
C、如果相等的这个角是直角，则这两个直角三角形不一定相似，故选项不符合题意；
D、腰对应成比例但是顶角不相等的两个等腰三角形不一定相似，故选项不符合题意；
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 在比例尺为的地图上，相距5厘米的两地实际距离为______千米．
【答案】
【解析】解：因为比例尺图上距离：实际距离，
设两地实际距离为厘米，得：，
所以相距5厘米的两地的实际距离是（厘米）（千米），
故答案为：0.5．
12. 方程的根是___________．
【答案】0，2
【解析】解：
解得，，
故答案为：0，2．
13. 已知反比例函数，当时，y的值随x值的增大而减小，则m取值范围是__________．
【答案】
【解析】∵反比例函数，当时，的值随值的增大而减小，
∴，
∴．
故答案为：．
14. 已知m，n是一元二次方程x2+4x﹣2＝0的两根，则代数式m2+n2的值等于 _____．
【答案】20
【解析】∵m，n是一元二次方程的两根，
∴，．
∴．
故答案为：20．
15. 如图，一次函数与反比例的图象相交于A、B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是________．
【答案】或
【解析】解：由一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，
知图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是或．
故答案为：或．
16. 如图，在中，D，F是边上的三等分点，E，G是边上的三等分点．若，则 ___________ ．
【答案】6
【解析】因为D，F是边上的三等分点，E，G是边上的三等分点．
所以，
所以，
所以，
因为，
所则．
故答案为：6．
17. A4纸是我们常用的打印纸，把纸沿长边中点对折，形成两个相同的小长方形，我们发现折叠得到的小长方形与折叠前的大长方形相似，则大长方形与小长方形的相似比为____________．
【答案】
【解析】解：设大长方形的长为，宽为，如图，
则，，，
∵矩形矩形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
18. 已知点是线段上的一个黄金分割点，且，，那么______．
【答案】
【解析】解：点是线段上的一个黄金分割点，且，，
．
∴
故答案为：．
三、解答题（共66分）
19. 解方程：．
解：，
分解因式得：，
∴或，
解得：，．
20. 如图所示，已知反比例函数的图象经过，，，两点．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）当时，求反比例函数函数值的取值范围．
解：（1）∵点，在的图象上，
∴，
解得：，
∴反比例函数的解析式为：，
（2）把，代入，得：．
由题图可知，
当时，反比例函数函数值的取值范围是．
21. 如图△ABC中，D、E是AB、AC上点，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，AE＝3.9，求证：△ADE与△ACB相似.
解：证明：∵AB=7.8，AD=3，AC=6，AE=3.9，
∴，
∴，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．
22. 如图，河的两岸是平行的，两岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间距是10m，在距离岸边16m的A处看对岸，可以看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸的两棵树的树干遮住，又知这岸的两棵树之间有一棵树，对岸的两棵树之间有四棵树，请你根据这些条件求出河宽．
解：如图：过点A作于点M，交于点N，
∵，
∴， ，
∴
∵，
∴，解得：，
∴．
答：河宽为．
23. 如图，某校准备将校园内的一块正方形空地进行改造，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余部分的面积为，求原正方形空地的边长．
解：设原正方形空地的边长为，则剩余部分是长为，宽为的长方形，
根据题意得，，
整理得，，
解得（不合题意，舍去），
答：原正方形空地的边长为．
24. 请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以．
把代入已知方程，得
化简，得
故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）．
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ．
（2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
（3）已知关于的方程有两个实数根，求一个方程，使它的根分别是已知方程根的平方．
解：（1）设所求方程的根为 ，则 ，
所以．
把代入已知方程，得， ，
化简，得 ，
故所求方程为；
（2）设所求方程的根为，则，于是 ，
把代入方程，得 ，
去分母，得 ，
若，有，
于是方程有一个根为0，不符合题意，
，
故所求方程为 ；
（3）设所求方程的根为，则，
所以 ，
①当时，把代入已知方程，得
，即；
②当时，把代入已知方程，得
，即
∴所求方程为或.
25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．

（1）求，的值；
（2）直线过点A，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接．
①求的面积；
②利用图象信息，直接写出不等式的解集．
③点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点A，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点坐标．
解：（1）把，代入得，，
∴，
把，代入得，，
∴；
（2）点，点的纵坐标是0，，
点的纵坐标是，把代入，得，
，
①如下图所示，作轴于，交于，作轴于，

当时，，
，
，
，
；
②由图象可得，当时，一次函数的图象在反比例函数的图象上或上方，
∴当时，；
③设，，
，．
当为对角线时，，
，
当为对角线时
解得，
，
，
舍去
当为对角线时
解得：，
综上点坐标为或．
26. 如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止连接、、．

（1）若与相似，求动点的运动时间；
（2）在运动过程中，当时，求动点的运动时间；
（3）在运动过程中，能否为的中位线？说明理由．
解：（1）在中，由勾股定理得
设经过运动时间为t秒时，与相似．
则，，，；
①当，即时，

；
，即，
．
②当，即时，

，
，即，
．
和都符合，
当动点运动秒或秒时，与相似；
（2）如图，过点E作于F，

设经过运动时间为t秒时，，
则，，，；


，即，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
（秒）．
（3）不能，理由如下：
如图，

若为的中位线，则，
则，
∴，
解得：，
此时，，
∴，
∴不可能为的中位线．
四、附加题（共20分，本题得分不计入总分，可单独计分）
27. 在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）．
（1）如图，若点在线段上运动，交于．
求证：；
当是等腰三角形时，求的长．
（2）如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由；
解：（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
；
解：当是等腰三角形时，分为以下三种情况：
第一种情况：如图，，
，
，
，
，
由可知：，
，
，
点为的中点，
；
第二种情况：如图，，
此时点和点重合，点和点重合，
即；
第三种情况：如图，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
设，
在中，
，，
，
，
，
解得：，
；
综上所述，的长为或或；
（2）解：存在（只有一种情况），
理由如下：
如图，由（1）可知：，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
答：存在，．
28. 直线分别与轴，轴交于点、，与反比例函数的图象交于点、．
（1）求的值及直线的解析式；
（2）若点是反比例函数在第一象限直线上方一点，面积为4时，求点坐标；
（3）如图2，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的的取值范围．
解：（1）点在反比例函数，
将点的坐标代入，得，
，
反比例函数为，
又在反比例函数，
，即，
点，在直线上
，解得，
直线的解析式为；
（2）情况一：直线与反比例函数的图象交于点、，在点上方的双曲线上取一点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图所示：
设，
面积为4，
，则，解得；
情况二：直线与反比例函数的图象交于点、，在点右侧的双曲线上取一点，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，如图所示：
设，
面积为4，
，则，解得；
综上所述，或；
（3）依据题意，直线平行于直线，
上下平移直线，将往下平移到与图象有且只有一个交点的时候，此时直线与轴的交点是点；将往上平移到与图象翻折后的曲线有且只有一个交点的时候，此时直线与轴的交点是点；在这两者之间的与封闭图形有交点，、关于点对称，即有为的中点，如图所示：
由题意，则，
当与反比例函数有且只有一个交点时，有两个相等的实数根，
，解得或（由图可知，负数舍去），
此时，与轴的交点，
，
，
由直线的对称性可知，，
此时．与轴的交点，
．