湖南省常德市澧县2024-2025学年九年级（上）期中数学试卷（解析版）

这是一份湖南省常德市澧县2024-2025学年九年级（上）期中数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列函数中，是的反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：A、是正比例函数，不是反比例函数，不符合题意；
B、是反比例函数，符合题意；
C、不是反比例函数，不符合题意；
D、不是反比例函数，不符合题意；
故选：B．
2. 若，且＝．若的面积为8，则的面积是（ ）
A. B. 6C. 9D. 18
【答案】D
【解析】解：∵，且＝．
∴
∵的面积为8，
∴的面积为18，
故选：D．
3. 如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点、、都在横线上，如果线段的长为，那么的长是（ ）
A. 2B. 3C. 6D. 8
【答案】C
【解析】解：如图，过点作于点，交过点的平行线于点，交点所在直线的邻近平行线于点，根据题意，，
∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
∴，
∴．
解得．
故选：C．
4. 已知一元二次方程的两根为、，则的值是（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】解：一元二次方程的两根为，，
，，
，
故选：B．
5. 将式子（a，b，c，d都不等于0）写成比例式，错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A．由得，故该选项不符合题意；
B．由得，故该选项不符合题意；
C．由得，故该选项不符合题意；
D．由得，故该选项符合题意．
故选：D．
6. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：
∴；
故选A．
7. 如图，周末小新一家来到河北石家庄正定古城游元，一座古塔塔高为，小新在距离古塔的位置观看古塔时，与观看到的手中的景点地图的古塔缩略图感觉相同（），若缩略图中的古塔高为，则缩略图距离眼睛的距离为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：由题意可得：，，，
，
∴，
∴，
∴，经检验符合题意；
故选A
8. 已知关于的一元二次方程有一根为0，则等于（ ）
A B. 2C. D. 或2
【答案】C
【解析】解：把代入方程，得
，
解得：，
，
，
，
故选：C．
9. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如表所示：
则可以反映与之间的关系的式子是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由表格可得，得该函数是反比例函数，
∴设解析式为，
∴，
把，代入，
∴，
∴．
故选：D．
10. 新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（ ）
A. 2021B. 2022C. 2023D. 2024
【答案】D
【解析】解：∵关于x一元二次方程与是“同族二次方程”，
∴，
∴，
，
解得：，
，
∵，
∴，
当时，能取的最小值是2024，
故选：．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11. 一元二次方程________实数根（填“有”或“没有”）．
【答案】有
【解析】
解：，
，，，
，
方程有两个不相等的实数解．
故答案为：有．
12. 黄金分割大量应用于艺术、大自然中，例如树叶的叶脉也蕴含着黄金分割．如图，B为的黄金分割点，如果的长度为，则的长度为______．（结果保留根号）
【答案】
【解析】为的黄金分割点，，
，
．
故答案为：．
13. 如图示，已知，那么添加下列一个条件后，能判定的是______.（请填写序号）
① ② ③ ④
【答案】①②③
【解析】解：∵，
∴
即：
①若，则（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）；
②若，则（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）；
③若，则（如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似）；
④，不能判定；
故答案为：①②③
14. 我市某楼盘2013年房价为每平方米4500元，经过两年连续降价后，2015年房价为3645元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为________．
【答案】
【解析】解：由题意得，，
故答案为：．
15. 用公式法解方程时，______，______，______．
【答案】 1 3
【解析】∵，
∴
∴，，
故答案为：1，3，．
16. 若点，在函数的图象上，则函数值______．（填“”或“”或“”）
【答案】
【解析】解：函数中，，
函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小，
，
．
故答案为：．
17. 已知是关于x 的一元二次方程，则_________．
【答案】
【解析】解：由题意，得，且，
解得，
故答案为：．
18. 如图，在钝角三角形中，，动点从点出发沿AB以的速度向点运动，同时动点从点出发沿CA以的速度向点运动，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是___________．
【答案】或
【解析】解：点从的运动时间为，点从的运用时间为，
设运动时间为，
∴，
∵是钝角三角形，
∴，
∵是公共角，
∴当时，，
∴，
解得，，符合题意；
当时，，
∴，
解得，，符合题意；
综上所述，当运动时间是或时，以为顶点三角形与相似，
故答案为：或 ．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19. 解方程：
（1）；
（2）．
解：（1）方程化为：，
∴；
（2）方程化为，
即，
∴或，
解得：．
20. 先化简，再求值：，其中是方程的一个解．
解：
；
∵，
∴，其中，
∴原式．
21. 如图，一次函数y=kx+bk≠0的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出满足的x取值范围．
解：（1）依题意，点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
又为一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，
．
∵，两点均在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数的解析式为．
综上所述，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为；
（2）由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为或，
∴当时，x的取值范围为或．
22. 如图，在中,D、E、F分别是上的点，且，，，，求和的长．
解：∵，，，
∴，即，
解得：，
∴．
∵，
∴，即，
解得：，
∴，
∴，．
23. 为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充满一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求反比例函数的表达式；（不用写自变量取值范围）
（2）若气球内气体的压强不能超过，为安全起见，则其体积要控制在什么范围?
解：（1）设，由题意知
，即；
（2）当时，．
在第一象限，随的增大而减小，
当时，，
为了安全起见，气体的体积应不小于．
24. 如图，在中，，，点P为边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线交于点M，使．
（1）求证：；
（2）当为直角三角形时，求线段的长度．
解：（1）证明：，
，
又，，
，
，
，
；
（2）解：由题意知，
当时，如图，
由（1）知，
，
，
点P为中点，
，
在中，由勾股定理得：
；
当时，如图，作于点D，则，
由（1）知，
，
，，
，
，，
，
，
，
综上可知，线段的长度为或．
25. 小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．
（1）甲运动后的路程是多少？
（2）甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？
解：（1）当时，，
答：甲运动后的路程是；
（2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，
∴，整理得，，
∴，
解得，或（舍去）．
答：它们运动了秒．
26. 综合与实践：利用相似三角形测量距离

（1）【学科融合】如图1，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（蜡烛火焰到小孔的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．则关于的函数关系式是__________（不用写自变量的取值范围）．
（2）【数学思考】如图2，嘉嘉正在使用手电筒进行物理光学实验，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，点A，B，C，D在同一水平面上．则灯泡到地面的高度__________．
（3）【实际应用】如图3，小明家窗外有一步路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进客厅里．路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中O，F，D，E四点在同一条直线上，C，B，F三点在同一条直线上，且，，请求出路灯的高度．
解：（1）设关于的函数关系式为，
将时，代入得，，
解得，，
∴关于的函数关系式为，
故答案为：；
（2）由题意知，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
故答案为：；
（3）由题意知，，，
设，．
∵，，
∴．
∴，
∴，即，解得，，
∴，
∴，即，解得，
∴路灯的高度为．体积
40
压强