湖南省张家界市桑植县2024-2025学年九年级（上）期中数学试卷（解析版）

这是一份湖南省张家界市桑植县2024-2025学年九年级（上）期中数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 一元二次方程的解是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：，
解得．
故选C．
2. 已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A. 10B. C. D.
【答案】B
【解析】解：点在反比例函数的图象上，
∴．
故选：B．
3. 如图，平行四边形中，，点在上，连接和，点，分别是和的中点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵点，分别是和的中点，，
∴是的中位线，
∴，
∴的长为．
故选：B．
4. 下列命题正确的是（ ）
A. 对角线相等的菱形是正方形B. 有两个角为直角的四边形是矩形
C. 反比例函数的图象经过点D. 若，则
【答案】A
【解析】解：A、对角线相等平行四边形是矩形，既是矩形又是菱形说明是正方形，故选项说法正确，符合题意；
B、三个角是直角的四边形是矩形，故此选项说法错误，不符合题意；
C、当x=1时，y=，故反比例函数的图象不经过点（1，-1），故此选项错误，不符合题意；
D、当a＜b＜0时，a2＞b2，故此选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
5. 若反比例函数的图象经过点，则该函数图象位于（ ）
A. 第一、二象限B. 第二、四象限
C. 第一、三象限D. 第三、四象限
【答案】C
【解析】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
∴该函数图象位于第一、三象限.
故选：C.
6. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：由题意得，，
故选：D．
7. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（ ）
A. ∠AED=∠BB. ∠ADE=∠CC. D.
【答案】D
【解析】解：由题意得∠DAE=∠CAB，
A、当∠AED=∠B时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意；
B、当∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意；
C、当=时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意；
D、当=时，不能推断△ABC∽△AED，故本选项符合题意；
故选：D．
8. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得∆=0，
∴4-4k=0，
解得k=1，
故选：A.
9. 如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：当时，函数的图象在第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，
故选项B正确，选项C错误，选项D错误；
当时，函数的图象在第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项A错误；
故选：B．
10. 对于一元二次方程，下列说法：
①若a＋b＋c＝0，则方程必有一根为x＝1；②若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；③若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；④若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A. ①②B. ①④C. ②③④D. ①③④
【答案】D
【解析】解：①若，则是方程的解，故①正确；
②方程有两个不相等的实根，
，
则方程的判别式，
方程必有两个不相等的实根，
故②错误；
③∵方程两根为，且满足，
∴，
令，，
∴方程有两个实数根，令两根分别为，
∴，
，
∴方程，必有实根，，
故③正确；
④若是一元二次方程的根，
则由求根公式可得：，
，
，
故④正确．
故正确的有①③④，
故选：D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11. 方程的解是_____________；．
【答案】或
【解析】解：
∵，
∴，
当时，则，
当时，则，
∴原方程的解为或；
故答案为或．
12. 三角形两边长分别是3，7，第三边是方程的根，则三角形的周长为_______．
【答案】19
【解析】解：∵，
∴，
∴，，
∵，
∴不符合题意，舍去；
∴三角形的周长为：；
故答案为：19．
13. 若函数是y关于x的反比例函数，则_____．
【答案】5
【解析】解：∵函数是y关于x的反比例函数，
∴且，
解得，．
故答案为：5．
14. 若，则______．
【答案】
【解析】解：，
，
，
将其代入得：
原式.
故答案为：
15. 若关于x的一元二次方程x2＋2x＋a＝0有实数根，则a的取值范围是______．
【答案】a≤1
【解析】解：因为关于x的一元二次方程有实根，
所以△=b2-4ac=4-4a≥0，
解之得a≤1．
故答案为a≤1．
16. 如果反比例函数的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，那么n满足的条件是__________．
【答案】
【解析】解：∵反比例函数的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，
∴，
解得：．
故答案为：．
17. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，已知点B，C关于原点对称，则的面积为_________．
【答案】5
【解析】解：点在反比例函数的图象上，轴于点，
，
点，关于原点对称，
，
．
故答案为：5．
18. 如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则_________．
【答案】
【解析】解：∵，，，，的横坐标依次为1，2，3，，
∴阴影矩形的一边长都为1，
记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示：
将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则，
把代入得：，即，
∴，
根据反比例函数中的几何意义，可得：，
∴，
即
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分，其中第19、20题各6分，第21、22、23题各8分，24、25题各9分，26题12分）
19. 解方程：
（1）；
（2）.
解：（1），
，
，
解得：，；
（2），
，
，
解得：，．
20. 先化简，再求值：，其中满足．
解：
，
，
，
则或，
解得或，
且，
当时，
原式
21. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中点的横坐标为．
（1）求的值；
（2）若点是轴上一点，且，求点的坐标．
解：（1）∵正比例函数的图象经过点，点的横坐标为，
∴，
∴点，
∵反比例函数的图象经过点，
∴；
（2）由题意可知关于点对称，∴，
∴，
设，
∴，
∴，即，
∴点的坐标为0,4或．
22. 如图，在中，，．求证：．
解：证明：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即．
23. 今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
（1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
（2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？
解：（1）设四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为，
由题意，得：，
解得：或（舍去）；
答：四、五这两个月销售量的月平均增长百分率为；
（2）设降价元，由题意，得：，
解得：或（舍去）；
答：应降价5元．
24. 已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根．
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）当m为何值时，是以为斜边的直角三角形；
（3）当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长．
解：（1）证明：∵，
∴
；
∴无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）解：由题意，得：，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴
，
解得：或（不合题意，舍去）；
∴；
（3）解：①当为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得：
，
∴，
∴方程：，
解得：，
∴等腰三角形的三边为：，
∴周长为：；
②当为底边时，则方程有2个相同的实数根，
∴，
∴，
∴方程为：，
解得：，
∴等腰三角形的周长为：；
综上：周长为11或13．
25. 阅读材料：
材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的两根有如下的关系（韦达定理）：；
材料2：如果实数m，n满足，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m，n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．
请根据上述材料解决下面问题：
（1）若实数a，b满足：，则_____，______；
（2）若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值．
解：（1）由题意得：a，b是的两个根，
，
故答案为：；
（2）由题意，得：，
即，
解得；
，
，
，
当时，，解得：，
，
，
；
当时，，解得：，
，
，
；
综上：或．
26. 如图，反比例函数（）的图象经过线段的端点，把线段沿轴正方向平移3个单位得到线段，与上述反比例函数的图象相交于点，点的横坐标为4．

（1）求的值和直线的解析式；
（2）在轴上是否存在点，使得的值最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若为函数（）的图象上一动点，过点作直线轴于点，直线与四边形在轴上方的一边交于点，设点的横坐标为，且，当，求出的值．
解：（1）∵反比例函数（）的图象经过线段的端点，
∴，即反比例函数解析式为，
设直线的解析式为，则代入点A坐标得：，解得：，
∴直线的解析式为；
（2）存在，理由如下：
如图，延长交轴于点，根据三角不等关系可知：，所以此时的值最大，

把线段沿轴正方向平移3个单位得到线段，
，即，，
设的表达式为，
将代入，
，
的表达式为，
联立，解得，，
点的横坐标大于0，
的横坐标为4，
将代入得到：，
即，
设的表达式为，
将，代入得，
解得，
，
令，代入得到，
；
（3）①当在的上方时，

∴，，
，，
，
解得：；
②当在的上方时，

∴，，
，，
，
解得：（负根舍去），
综上所述：或．