湖南师大附中部分示范性学校教科研协作体2023-2024学年八年级（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份湖南师大附中部分示范性学校教科研协作体2023-2024学年八年级（上）期末数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
★注意事项：在本试卷中，．
一、选择题（本题10个小题，每小题3分，共30分）
1. 誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意，
故选C.
2. 如图，在中，，平分，平分，，相交于点，若，，则（ ）
A. 1B. 2
C. D.
【答案】D
【解析】如图， 过点作于， 连接，
∵，是分别是和的平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，根据勾股定理得， ，
∵平分，平分，
∴是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：．
3. 船闸是我国劳动人民智慧的结晶，三峡船闸的“人”字闸门是目前世界上最大的巨型闸门，重千克，其中数据用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据题意得：
，
故选：．
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意得：，
．
故选：．
5. 若分式有意义，则应满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】若分式有意义，则，即，
故答案选：C．
6. 如图：在等腰中，，点M，N在上，且，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】把沿翻折至，连接，
∴，
∴，
∴，，，
又∵，
∴，
∵，
，
∴，
又∵，
∴，
∴， ，
∴，
在中， 即 ，
，
故选：．
7. 已知，，，那么，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据题意得：
，
，
，
，
，
，
故选：．
8. 若关于x方程有增根，则m的值为（ ）
A. 1B. 0
C. 3D.
【答案】D
【解析】
方程两边都乘以，得：，
∵分式方程有增根，
∴，即，
将代入整式方程，得：，即，
故选：D．
9. 如图，是中线，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】过点作交的延长线于点，过点作于点，如图所示，
，
，，
是的中线，
，
在和中，
，
，
，，
设，则，
在中，
，，，
，，
，，
，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
故，，，
，
由勾股定理得：
，
．
故选：．
10. 如图，已知，如图，在中，，延长至点，过点作平分，且．在上取点，上取点，使，连接，，，过点作，分别交，，于点，，，连接交于点．若，，，则的长为（ ）
A. 1B. C. 3D.
【答案】B
【解析】，，
，
平分，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，即，
是等边三角形，
，
，
等边三角形，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，，则，
，
，
，
即的长为．
故答案为：B．
二、填空题（共6题，每题3分，共18分）
11. 化简：______．
【答案】
【解析】
，
故答案为：．
12. 点关于y轴对称的点B的坐标是_____________．
【答案】
【解析】∵平面直角坐标系中点A的坐标为，
∴A点关于y轴对称的点坐标为，
故答案为：．
13. 若关于x的多项式x2﹣10x＋k是完全平方式，则k＝_____．
【答案】
【解析】关于x的多项式x2﹣10x＋k是完全平方式，
，即，
，
故答案为：．
14. 我们记边形为，其内角和为，则______.（不要求求出具体结果）
【答案】
【解析】依题意，∵边形为，其内角和为，
∴
故答案为：
15. 设，则的值为______．
【答案】
【解析】，
，
，
，
，，
∴
，
∴
，
∴原式，
故答案为：．
16. 在中，，以为边向外作等腰，连接，则的长为________．
【答案】或或
【解析】①如图1所示，
当时，作，
，，
．
在和中
，
，
，
．
②如图2所示，
当时，作，
，，
．
在和中，
，
，，
．
③如图3所示，
当时，作，延长线于，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
综上所述，的长是或或．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
解：
=
=
18. 计算：的值．（）
解：∵
依题意，时，；
时，；
时，；
……
以此类推
故
则
．
19. 先化简，再求值：，其中，，．
解：
当，，时，
原式
20. 小华发现了一种作角平分线的方法，在射线，上，，，再连接两线段的交点与点的连线，这条线就是的角平分线．试证明该结论．
解：如图所示，设和相交于点O，
在和中
∴
∴，，
∵，，
∴，即
又∵
∴
∴
又∵，
∴
∴
∴是的角平分线．
21. 在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．
（1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？
（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？
解：（1）设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为元，由题意得：
，
解得：，
经检验：当时，则，
∴是原方程的解，
∴，
答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元；
（2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，由（1）及题意得：
，
解得：，
∵m是整数，
∴m取最大值为17；
答：购买吊兰的数量最多为17盆．
22. 在中，，，过点C作直线，于点M，于点N．
（1）若在外（如图1），求证：；
（2）若与线段相交（如图2），且，，则 ．
（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴
∴，，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案：1.5．
23. 二次根式对于数学学习具有重要的意义，跟着小华的脚步，完成二次根式之美——最值导学案．
【极值定律之美】小华发现，平方数具有非负性可以推出许多有用的结论，例如：，．
（1）证明：对于任意正实数，，都有．
（2）求的最大值，并标明等号成立的条件．
【数形结合之美】小华在研究二次根式最值问题时，发现运用图像能够更加方便的解决．如图1直观的证明了．
（3）如图2，在轴及轴的负半轴上给定两点，点是第一象限上的一个动点，过点向坐标轴作垂线，分别交轴和轴于，两点，是直线上一点，满足（是给定的）．求的最小值及条件，并给出证明．
（4）如图3，四边形的对角线，相交于点，，的面积分别是和，求的最小值．
【抽象代数之美】小华发现：对多个元的代数问题，需要一些游刃有余的处理．
（5）设，，，都是正数
证明：．
（1）证明：根据题意得：
，
故．
（2）解：根据题意得：
，
，，
，
当且仅当时，即时，取等号，
的最大值为．
（3）解：根据题意得：
，即，
，，，，
，，
，
，
当且仅当时，等号成立，
即的最小值为，
此时．
（4）解：根据题意设：
，
，的面积分别是和，
由等高三角形可知：，
，
，
，
当且仅当时，取等号，即的最小值为．
（5）解：根据题意，
；；；；，
将上述各式相加，得：，
故．