河南省新乡市2025届高三（上）第一次高考模拟数学试卷（解析版）

这是一份河南省新乡市2025届高三（上）第一次高考模拟数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2，回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则（ ）
A. B.
C. 1D. 2
【答案】A
【解析】，.
故选：A.
2. 函数的图象在点处的切线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数，
求导得，
则，
而，
所以所求切线方程为，即.
故选：D
3. 为了增强学生的体质，某中学每年都要举行一次全校一分钟跳绳测试．已知某次跳绳测试中，某班学生的一分钟跳绳次数的频数分布直方图如图所示，则该班学生一分钟跳绳次数的中位数的估计值为（结果精确到整数）（ ）
A. 127B. 136C. 133D. 138
【答案】D
【解析】该班共有人，
因为，
所以中位数在区间内，设为，
则，解得.
故选：D.
4. 若函数的定义域分别为，且，则（ ）
A. 0B. C. D. 1
【答案】A
【解析】由题意，
因为，
所以，解得，
所以
故选：A.
5. 若直线与圆的两个交点为，且，则（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】B
【解析】圆的圆心，半径，
由题意圆心到直线的距离，
则，解得或.
故选：B.
6. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上恰有5个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】依题意，，当时，，
由在区间上恰有5个零点，得，解得.
故选：B
7. “蝠”与“福”发音相同，在中国文化中，蝙蝠图案经常寓意福气临门．某商家设计的折叠储物凳是正三棱台形状，如图，其侧面展开图形似蝙蝠．每个侧面梯形的上底长为分米，下底长为分米，梯形的腰长为分米，忽略储物凳的表面厚度，则该正三棱台储物凳的储物容积为（ ）
A. 立方分米B. 立方分米
C. 7立方分米D. 立方分米
【答案】D
【解析】如图，在正三棱台中，，
将棱台补全为正三棱锥，
设为底面的中心，连接，则平面，
而平面，所以，
因为，所以，
，
所以，
则正三棱台的高，
该正三棱台的上底面面积，
下底面面积，
所以该正三棱台储物凳的储物容积
.
故选：D.
8. 当，且有且只有一个为0时，，则（ ）
A. 既无最大值，也无最小值
B. 的最大值为4，最小值为2
C. 的最大值为无最小值
D. 的最小值为无最大值
【答案】A
【解析】在中，由有且只有一个为0，
当时，则，
而，则，，因此，即，
同理，
所以，既无最大值，也无最小值.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则以下等式可能成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】对于A，当时，
，
所以不可能成立，故A错误；
对于B，由，得，
则，
则可能成立，故B正确；
对于C，取，
此时，
则可能成立，故C正确；
对于D，由，得，
则则，
则不可能成立，故D错误.
故选：BC.
10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线的斜率为，且与交于两个不同的点（点在轴的上方），下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 点的纵坐标之积与有关
D. 若（为坐标原点），则
【答案】ABD
【解析】设，
对于A，若，则直线，
联立，得，则，
所以，故A正确；
对于B，过点分别作准线的垂线，垂足分别为，
不妨设，则，
则，故B正确；
对于C，易得直线的斜率不为零，设，
联立，得，则为定值，
所以点的纵坐标之积与无关，故C错误；
对于D，由，得，
即，即，
由，
得，，
因为点在轴的上方，所以，
则，所以，
所以，故D正确.
故选：ABD.
11. 在四棱锥中，，动点平面，且是的中点，则（ ）
A. 平面B. 长可能为3
C. D. 点在半径为的球面上
【答案】ACD
【解析】对于A，取的中点，连接，则，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面，故A正确；
对于B，设的中点为，连接，
由题意四边形为直角梯形，则，
因为，
所以点在以为球心，为半径的球面上运动（不过平面），
则，故B错误；
对于C，
，
因为不共线，所以，
所以，故C正确；
对于D，设的中点为，连接，则，
所以点在以为球心，为半径的球面上运动，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若椭圆的离心率为，则______，______．
【答案】 ① ②.
【解析】因为椭圆的离心率为，
所以，
所以，，
.
故答案为：；.
13. 在中，角的对边分别为，的面积，则的最小值为______，此时的周长为______．
【答案】 ①. 8 ②.
【解析】由和正弦定理可得
，
故,
，
，故,
当且仅当，即时取等号，
，故，
此时周长为，
故答案为：8，
14. 如图，机器人从A点出发，每次可以向右或向上沿着线走一个单位（每个小正方形的一条边长为一个单位），要走到B点，不同的走法共有______种．
【答案】401
【解析】如图，当路线经过点时，从到有1种，从到有种；
当路线经过点时，从到有种，从到有种；
当路线经过点时，从到有种，从到有种；
当路线经过点时，从到有种，从到有种；
当路线经过点时，从到有种，从到有1种，
所以不同的走法共有（种）.
故答案为：401
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设函数．
（1）求的单调区间；
（2）比较与的大小；
（3）若关于的不等式的解集为，求的取值范围．
解：（1），
当时，，当，，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为；
（2）因为，
所以；
（3）因为关于的不等式的解集为，
则只需要即可，
由（1）得，
所以，解得，
所以的取值范围为．
16. 如图，在中，，将沿折起得到四棱锥，且平面平面．
（1）证明：四棱锥的高为．
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
解：（1）证明：依题意，则，
因为，所以，
所以和都是边长为的正三角形，
取的中点，连接，则，，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以即为四棱锥的高，
所以四棱锥的高为；
（2）如图所示，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
故，
设平面的法向量为，
则有，可取，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17. 某项编程技能比赛分为两轮：第一轮初赛，赛题由6道基础编程题和4道中级编程题组成，基础编程题每题答对得5分，中级编程题每题答对得10分，初赛至少得60分才能进入第二轮复赛，否则淘汰；第二轮复赛，赛题由2道中级编程题和2道高级编程题组成，中级编程题每题答对得10分，高级编程题每题答对得20分．所有的题答错都不扣分．已知甲同学能答对每道基础编程题，中级编程题每题答对的概率为，高级编程题每题答对的概率为，且各题答对与否互不影响．
（1）求甲同学初赛被淘汰的概率；
（2）已知甲同学第一轮初赛得满分70分，求甲同学两轮比赛所得总分X的分布列及期望．
解：（1）若甲同学初赛不被淘汰，则他答对中级编程题的数量至少为，
则甲同学初赛不被淘汰的概率为，
所以甲同学初赛被淘汰的概率为；
（2）由题意可取，
则，
，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
故.
18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且．
（1）求的渐近线方程．
（2）点为的左支上一点，且．分别为的左、右顶点，过点的直线交的右支于两点，其中点在轴上方，直线与交于点．
①求直线的方程；
②证明：点到直线的距离为定值．
解：（1）由题意可知，解得，则，
所以双曲线，
所以的渐近线方程为；
（2）①设，则，
由余弦定理得，
即，解得（负根舍去），
所以，
所以，则，
所以直线的方程为；
②证明：易知直线的斜率不为零，则可设直线的方程为，
设，
联立，得，
Δ=16m2-484m2-1=164m2+3>0恒成立，
则，
由题意得且，所以，
则直线，直线，
联立可得
，
解得，故动点在直线上，
所以点到直线的距离为，
所以点到直线的距离为定值.
19. 在平面直角坐标系中，是坐标原点．若点列中的3个相邻的点满足，则称关于的方程是的特征方程，将方程的实数根称为的特征根．已知，点列的特征根为1和．
（1）求点的坐标；
（2）设，求数列的前项和；
（3）若是公差为的等差数列，且各项都为正整数，和是已知的常数，求点列的特征根．
解：（1）因为点列的特征根为和，
所以点列的特征方程为，
所以，
则，即，
所以，
所以的坐标为，
由，
得，即，
所以，
所以的坐标为；
（2）由（1）知，
，
所以；
（3）因为，
所以，
所以，
设，
则，
，
，
设，
则①，
②，
由①②得，即，
将代入②得，
因为是公差为的等差数列，且各项都为正整数，
所以，
又，所以，得，
又，
所以点列的特征方程为，特征根为和.