河北省石家庄市辛集市2023-2024学年高一（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份河北省石家庄市辛集市2023-2024学年高一（上）期末数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题5分，共40分.）
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.
故选：D.
2 集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，，
所以.
故选：B.
3. 若是第二象限角，则是（ ）
A. 第一象限角B. 第二象限角
C. 第三象限角D. 第四象限角
【答案】D
【解析】由题意是第二象限角，
所以不妨设，
所以，
由象限角的定义可知是第四象限角.
故选：D.
4. 下列各组函数是同一函数的是（ ）
①与；
②与；
③与；
④与．
A. ①②B. ①③C. ③④D. ①④
【答案】C
【解析】①与的定义域是，
而，故这两个函数不是同一函数；
②与的定义域都是，，这两个函数的定义域相同，
对应法则不同，故这两个函数不是同一函数；
③与的定义域都是，并且定义域内，
对应法则也相同，故这两个函数是同一函数；
④与定义域相同，对应法则相同，是同一函数，
所以是同一函数的是③④．
故选：C．
5. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意，在中，，解得：且.
故选：D.
6. 若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】的对称轴为，
要想函数在区间上是减函数，则，
解得.
故选：D.
7. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
所以.
故选：B.
8. 若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于A，函数在处有意义，不满足定义域为，A错误；
对于B，函数的定义域为，值域为，满足题意，B正确；
对于C，函数在处有意义，不满足定义域为，C错误；
对于D，函数在处有意义，不满足定义域为，D错误.
故选：B.
二、多选题（每题5分，共20分.）
9. 下列选项中，与的值相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】由题意有，
对于A选项：，故A选项不符合题意；
对于B选项：，
故B选项符合题意；
对于C选项：，
故C选项符合题意；
对于D选项：，
故D选项不符合题意.
故选：BC.
10. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
则一定包含的零点的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】因为的图象是一条连续不断的曲线，
且，
所以一定包含的零点的区间是．
故选：BCD.
11. 设正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为4B. 的最大值为
C. 的最大值为2D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A，，，，
，
当且仅当，即时等号成立，故A正确；
对于B，，，当且仅当，
即，时等号成立，所以的最大值为，故B正确；
对于C，因为，
所以的最大值为，故C错误；
对于D，因为，故D正确.
故选：ABD.
12. 将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，下面四个结论中，错误的是（ ）
A. 函数在区间上为增函数
B. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称
C. 点是函数图象的一个对称中心
D. 函数在上的最大值为1
【答案】AC
【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象；
再把所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，
可得的图象．
当时，，此时是不单调，故A错误；
将函数的图象向左平移个单位长度后得到
的图象，此函数是偶函数，
满足图象关于轴对称，故B正确；
将代入函数的解析式中，得到，
故点不是函数图象的一个对称中心，故C错误；
当，，所以当，即时，
的最大值为1，故D正确．
故选：AC.
三、填空题（每题5分，共20分.）
13. 函数的单调递减区间是___________.
【答案】
【解析】的定义域为，解得，
或，
求原函数的单调递增区间，即求函数的减区间，
，可知单调递减区间为，
综上可得，函数单调递增区间为.
令，由，得或，
函数的定义域为，
当时，内层函数为增函数，而外层函数为减函数，
函数的单调递减区间是 .
14. 定义在上的函数满足，，则______．
【答案】
【解析】因为，
当时，可得；当时，可得；
当时，可得；当时，可得，
所以，
又因为，
当时，可得；当时，可得；
当时，可得；当时，可得，
由，，可得，
又因为，所以，所以.
15. 如图，正六边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则围成的阴影部分的面积为________．
【答案】
【解析】如图，连接.
由题意知，线段的长度都等于半径，
所以，为正三角形，则，
故的面积为，
扇形的面积为，
由图形的对称性可知，扇形的面积与扇形的面积相等，
所以阴影部分的面积.
16. 筒车是我国古代发明一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数），则与时间之间的关系为.
①；
②点第一次到达最高点需要的时间为；
③在转动的一个周期内，点在水中的时间是；
④若在上的值域为，则的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】①④
【解析】对于①，因为筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，
所以点距离水面的高度的最值为，所以，
因为筒车每分钟60s沿逆时针方向转动3圈，所以，，
因为，所以，
又因为，所以，故①正确；
对于②，由已知得，与轴正方向的夹角为，
所以点第一次到达最高点需要转动，则所需时间为，故②错误；
对于③，在转动的一个周期内，点在水中转动，
则所需要的时间是，故③错误；
对于④，若在上的值域为，
则在上的值域为，
因为，所以，
所以，则，故④正确.
四、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分.）
17. 已知函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）求函数的单调递增区间.
解：（1）由题可知，，又，所以，
所以，
所以.
（2）令，
解得，
所以函数的单调递增区间为.
18. 已知为第二象限角，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
解：（1）因为为第二象限角，，
所以，所以.
（2）原式，
分子分母同时除以，则原式.
19. 已知函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求的值；
（2）已知，当时，恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）根据题意可得和都是方程的根且，
所以，解得或（舍去），
所以的值为，的值为.
（2）因为，所以，
所以即，
整理得，
令，则上式可化为，即，
又因为当时，恒成立，
所以当时，恒成立，
令，则，
因为，所以当，
即时，，所以，
又因为，所以，所以实数的取值范围为.
20. 已知集合.
（1）若，求；
（2）若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围.
解：（1）当时，集合，可得或，
因为，所以.
（2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是Q的真子集，
当时，即时，此时，满足是的真子集，
当时，则满足且不能同时取等号，解得，
综上，实数的取值范围为.
21. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理､施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）．
（1）求单株利润关于施用肥料的关系式；
（2）当施用肥料的成本投入为多少元时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
解：（1）依题意可得，，
所以，．
（2）当时，，
根据二次函数的性质，可知在单调递减，单调递增，
且，，
所以；
当时，.
因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，，.
所以，当投入4元时，该水果单株利润最大，最大利润为480元．
22. 已知，我们定义函数表示不小于x的最小整数，例如：，．
（1）若，求实数x的取值范围；
（2）求函数的值域，并求满足的实数的取值范围．
解：（1）由表示不小于最小整数，，得，
所以实数的取值范围是.
（2）函数定义域为，而函数在上单调递增，
值域为，
因此，即有，
所以函数的值域为；
显然，，由，
得，
则有，而时，不等式不成立，则，
必有，即，
因此，，解得，
所以实数的取值范围.1
3
5
7
24
13
1