广东省肇庆市2023-2024学年高二（上）期末教学质量检测数学试卷（解析版）

这是一份广东省肇庆市2023-2024学年高二（上）期末教学质量检测数学试卷（解析版），共17页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的指定位置上.
2．回答选择题时，写出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据点关于平面对称时，
横坐标,纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数可知，
点关于平面的对称点为，
故选：C.
2. 已知数列为等差数列，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为数列为等差数列，
则，
所以，
则，
故选：D.
3. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】依题意，双曲线焦点在x轴上，焦距，即，
实轴长，即，于是虚半轴长，
所以所求双曲线方程为.
故选：A
4. 如图，平行六面体中，E为BC的中点，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】在平行六面体中，E为BC的中点，
所以.
故选：B
5. 直线l：与y轴的交点为A，把直线l绕着点A逆时针旋转得到直线，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设直线l：的倾斜角为，
则，
由题意可得，直线的倾斜角为，
则直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
故选：C
6. 数列的前n项和为，满足，则数列的前n项积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意，，，则，
当时，，
两式相减得，即，
因此数列是以512为首项，为公比的等比数列，
于是，
显然数列单调递减，
当时，，
当，，
所以当或时，
数列的前n项积最大，最大值为.
故选：B
7. 已知圆：（），圆：，若圆上存在点P关于直线的对称点Q在圆上，则r的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】圆：,
方程化为，，
则圆心坐标为，半径为5,
设关于直线的对称点为，
则,解得，
则，
所以圆关于直线的对称圆方程为，
，
由题中条件可知，圆与圆有交点，
,,
则，即，
解得，
故选：D.
8. 抛物线有这样一个重要性质：从焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．若抛物线（）的焦点为F，从点F发出的光线经过抛物线上点M反射后，其反射光线过点，且，则△FMN的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由抛物线的对称轴为轴，得轴，
设抛物线的准线与轴交于点，反向延长交抛物线的准线于点，则，
由抛物线的定义得，由，得，
因此为等边三角形，在直角中，，，
于是，从而，
所以的面积为.
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】直线过定点，显然点在圆内，
因此直线与圆必相交，C错误；
而直线表示平面内过点的除直线外的任意直线，因此选项ABD都可能.
故选：ABD
10. 对于方程，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，该方程表示圆
B. 当时，该方程表示焦点在x轴上的椭圆，且长轴长为
C. 当时，该方程表示焦点在x轴上的双曲线，且渐近线方程为
D. 当时，该方程表示焦点在y轴上的双曲线，且焦距为
【答案】BC
【解析】对于A，当时，方程不能表示圆，A错误；
对于B，当时，，方程为，
表示焦点在x轴上的椭圆，且长轴长为，B正确；
对于C，当时，方程为，方程表示焦点在x轴上的双曲线，
且，故渐近线方程为，C正确；
对于D，当时，方程为，方程表示焦点在y轴上双曲线，
且，故焦距为，D错误，
故选：BC
11. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，分别是，的中点，则（ ）
A. ∥平面
B. 三棱锥与三棱锥的体积之比为
C. ∥
D. A，E，G，F四点共面
【答案】ABD
【解析】由题意，
A项，在中，，分别是，的中点,
∴∥,
∵面，面，
∴∥平面，A正确；
B项，在三棱锥中，设点到的距离为，
，
在三棱锥中，设点到的距离为，
∵，，分别是，的中点,
∴,,
，
∴,故B正确，
对C项，
,
∴与不平行，与不平行，C错误；
D项，由几何知识得，，
,
∴即，
∴三向量共面，即A，E，G，F四点共面，故D正确
故选：ABD.
12. 已知正项数列满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则的值有3种情况
C. 若数列满足，则
D. 若为奇数，则（）
【答案】BD
【解析】对于A，，则该数列为，
则，，而，因此，A错误；
对于B，，若为偶数，则，于是或；
若为奇数，则，于是，因此的值会出现3种情况，B正确；
对于C，由数列满足，得数列是周期为2的数列，有
当为偶数时，，则，解得，或，无正数解；
当为奇数时，，则，解得，因此或都满足，C错误；
对于D，若为奇数，则为偶数，与为奇数矛盾，因此为偶数，
即，则，D正确.
故选：BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 写出一个过点，的圆的标准方程_____________．
【答案】（形式不唯一，只要符合：，其中即可）
【解析】由题意：设圆心为：，半径为：，
则；.
取可得满足条件的一个圆的标准方程：
故答案为：（答案不唯一）
14. 等差数列的公差为，前n项和为，且是与的等比中项，则_____________．
【答案】
【解析】由题意知等差数列的公差为，
由于是与的等比中项，故，
即，解得，
故，
故答案为：
15. 2023年11月5至10日，中国国际进口博览会在上海举办，被誉为“黄皮火龙果”的厄瓜多尔麒麟果（图1）首次来到进博展台，其轴截面轮廓可近似看成椭圆（图2），A，C，B，D为椭圆的四个顶点，且，则该椭圆的离心率为_____________．
【答案】
【解析】设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，
则，
，
则，故椭圆离心率为，
故答案为：
16. 在正方体中，，点平面，点F是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时，_____________．
【答案】
【解析】以点D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，设，
则，
因为，故，即，
由于平面，平面，故，
所以的面积为，
而，
故，当时，取最小值，即S最小，
此时，则，
故，即，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知椭圆C：（）经过点，．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的左焦点且与PQ平行的直线交椭圆C于M，N两点，求的长．
解：（1）由椭圆C：经过点，，得，而，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知，椭圆的左焦点为，而直线的斜率为，
因此直线的方程为，
由消去y得，显然，设，
则，，
所以.
18. 在三棱台中，底面，底面是边长为2的等边三角形，且，D为的中点．
（1）证明：平面平面.
（2）平面与平面的夹角能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由.
解：（1）因为底面是边长为2的等边三角形，D为的中点，
故；
又底面，底面，故，
又平面，故平面，
又平面，故平面平面；
（2）由已知可知，，且D为的中点，
则，即四边形为平行四边形，
故，由底面，得底面，
因为平面，所以，
以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
结合（1）可知平面的法向量可取为；
设平面的一个法向量为，而，
故，即，令，则，
假设平面与平面的夹角能为，
则，
即，此方程无解，
假设不成立，即平面与平面的夹角不能为.
19. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，（），圆M：．
（1）若，过点A作圆M的切线，求此切线的方程；
（2）若在圆M上存在唯一一点P，使，求t的值．
解：（1）由题意得，圆M的半径为1，在圆M外，，
过点A作圆M的切线，则切线斜率存在，设为k，
则切线方程为，即，
所以，解得或，
故切线方程为或；
（2）设，由于，所以，
整理得，即，（），
即P点在以为圆心，为半径的圆上，
由题意可知P是唯一的，只有当圆与圆M相切时，符合题意；
当两圆外切时，则，
整理得，解得，（舍去），
故；
当两圆内切时，则，
整理得，解得，（舍去），即，
综上，可得或.
20. 定义为数列的“匀称值”．
（1）若数列的“匀称值”为，求数列的通项公式；
（2）若数列满足，（），求数列的“匀称值”．
解：（1）依题意，，即，
当时，，当时，，
于是，整理得，符合上式，
所以数列的通项公式是.
（2）由，，得，而，
因此是以为首项，3为公比的等比数列，则，
令，则数列的“匀称值”，
令，
则，
于是，
两式相减得，
即，，
所以数列的“匀称值”为.
21. 如图，平行四边形中，，，为的中点，将沿折起到的位置，使．
（1）求点到平面的距离；
（2）点为线段上一点，与平面所成的角为，求的最大值．
解：（1）因为，，，
所以，为等边三角形，所以，，，
因为，，则，
所以，，即，
又因为，，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，平面平面，
取的中点，连接，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
因为，，
因为，，则为等边三角形，
则，
所以，点到平面的距离为.
（2）取的中点，连接，因为为的中点，则，
因为，所以，，又因为平面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
所以，，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，
设，其中，
所以，，
所以，
，
所以，当时，取最大值，且其最大值为.
22. 已知直线：，直线：，过动点M作，，垂足分别为A，B，点A在第一象限，点B在第四象限，且四边形（O为原点）的面积为2．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）若，过点F且斜率为k的直线l交M的轨迹于C，D两点，线段CD的垂直平分线分别交x轴、y轴于，两点，求的取值范围．
解：（1）设，由直线：，直线：，可知，
故四边形为矩形，四边形（O为原点）的面积为2，即得，
因为，故，
得，
由于点A在第一象限，点B在第四象限，
故动点M的轨迹方程为；
（2）由题意知，过点F且斜率为k的直线l交M的轨迹于C，D两点，
即l与双曲线的的右支交于两点，双曲线的渐近线为，
故或；
设直线l的方程为，联立，
整理得，
设，则，
故CD中点的坐标为，
则CD的垂直平分线的方程为，
令，得，令，得，
故，
因为或，故或，
故或，
所以的取值范围为.