吉林省长春市文理高中2025届高三（上）第三次高考模拟数学试卷（解析版）

这是一份吉林省长春市文理高中2025届高三（上）第三次高考模拟数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
∴，即，
，
∴，
故选：D.
2. 已知平面向量，则（ ）
A. B. C. 1D. 4
【答案】D
【解析】由，得，即.
故选：D.
3. 已知函数则（ ）
A. B. C. 1D. 4
【答案】B
【解析】由题意，.
故选：B.
4. 在年巴黎奥运会上，我国网球选手郑钦文历经场比赛，勇夺巴黎奥运会女子网球单打冠军，书写了中国网球新的历史．某学校有2000名学生，一机构在该校随机抽取了名学生对郑钦文奥运会期间场单打比赛的收看情况进行了调查，将数据分组整理后，列表如下：
从表中数据可以得出的正确结论为（ ）．
A. 表中的数值为
B. 观看场次不超过场的学生的比例为
C. 估计该校观看场次不超过场的学生约为人
D. 估计该校观看场次不低于场的学生约为人
【答案】D
【解析】由表可知，，
解得，选项A错误；
观看场次不超过场的学生的比例为，选项B错误；
观看场次不超过场的学生的比例为，
则观看场次不超过场的学生约为人，选项C错误；
观看场次不低于场的学生的比例为，
则观看场次不低于场的学生约为人，选项D正确．
故选：D
5. 在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为角的终边与单位圆交于点，所以，
因为角是第二象限角，所以，
所以，
故选：C.
6. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，
由，得，
即，即，则，
设等比数列的公比为，
由，得，
即，则，即，
所以.
故选：C
7. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图：
在中，，
由余弦定理：,
所以，所以外接圆半径为，即.
在直角三角形中，，，所以.
设棱锥外接球半径为，在直角三角形中，，
解得：.
所以球的表面积为：.
故选：A
8. 已知是椭圆左、右焦点，是上一点.过点作直线的垂线，过点作直线的垂线.若的交点在上(均在轴上方)，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，设，，，
由题意可知，，
则直线的斜率，可知直线的方程为，
同理可得的方程为，
联立方程，解得，即，
因为在上，可知关于轴对称，且，
则，可得，
又因为，即，
所以，整理得，
解得或(舍去)，则，
所以椭圆的离心率为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理，根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】设，其中，
则，
故，，
∵，∴，故，则
故，则，
故，故BD正确，AC错误；
故选：BD.
10. 已知的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 在区间单调递减
C. 在区间的值域为
D. 在区间有个极值点
【答案】AD
【解析】对于A，由图象得，，则，
故，此时，
将代入函数解析式，得，
故，，解得，，
因为，所以，此时，
则，选项A正确；
对于B，令，，解得，，
当时，，
所以当时，单调递减，当时，单调递增，
即在区间上不单调，选项B错误；
对于选项C，当时，，
所以，即，
即在上的值域为，选项C错误；
对于选项D，当时，，
而，，，，
易知在区间内无其他极值点，
即当且仅当取时，取得极值，选项D正确.
故选：AD.
11. 已知时，，则（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
【答案】BCD
【解析】设，，，
由得，
所以时，或.
A和B选项：
当时，，
设，则，
当时，所以在上单调递增，
所以，
即当时，，
故.
设，则，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递减.
故，即，
所以有，
即，.
设，由题意可知，，
，
当时，，在上单调递减，
当时，，在单调递增，
所以，
得，
由得，
，
当时，由得，
则，故B正确，
取，，，则，故A错误；
C和D选项：
当时，
由题意，恰为，两交点，所在直线，
则
则
由对数平均不等式知，
.
故，
故CD正确
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若展开式中的常数项为，则实数______.
【答案】1
【解析】由二项式展开式的通项为，
令，可得，
代入通项公式可得，解得.
故答案为：1.
13. 若动直线，圆，则直线与圆相交的最短弦长为__________．
【答案】
【解析】直线，则，
令，解得，所以动直线恒过点，
又圆的圆心为，半径，
所以，
所以点在圆内，
所以当直线时直线与圆相交的弦长最短，
最短弦长为.
故答案为：
14. 已知函数，曲线在不同的三点处的切线斜率均为3，则实数的取值范围是________.
【答案】.
【解析】因为函数图象在不同的三点处的切线斜率均为3，
所以有三个不同的根，即有三个不同的根，
转化为函数图象和函数图象有三个不同的交点，
下面分析函数图象，，
令，解得或，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，且；当时，.
函数图象如图所示
结合图象可知，的取值范围是.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算歩骤）
15. 已知某学校为提高学生课外锻炼的积极性，开展了丰富的课外活动，为了解学生对开展的课外活动的满意程度，该校随机抽取了350人进行调查，整理得到如下列联表：
（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生对课外活动的满意情况与性别因素有关联？
（2）从这350名样本学生中任选1名学生，设事件“选到的学生是男生”，事件“选到的学生对课外活动满意”，比较和的大小.
附：
解：（1）提出零假设：该校学生对课外活动的满意情况与性别因素无关联，
根据表中数据，得到，
所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
即认为该校学生对课外活动的满意情况与性别因素无关联．
（2）依题意得，，，，，
所以，，
则．
16. 已知分别为三个内角的对边，且，的面积为.
（1）求；
（2）为边上一点，满足，求的长.
解：（1）因为，根据正弦定理可得：
,
又，所以
所以
，
因为为三角形内角，故，所以.
因为是三角形内角，所以，所以.
（2）如图：
因为，所以.
由余弦定理：.
所以.
所以为等边三角形.
又，所以.
在中，.
所以.
17. 如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，且D为棱AB的中点．
（1）证明：平面．
（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
解：（1）证明：由三棱柱的性质可知．
因平面，所以平面．
因为平面，所以．
因为为的中点，且是等边三角形，所以．
因为平面，且，
所以平面．
（2）取的中点，连接．由题意可得两两垂直，故以为坐标原点，
的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，
故．
设平面的法向量为，
则令，得．
设平面的法向量为，
则令，得．
设平面与平面所成的锐二面角为，
则，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
18. 已知动圆M经过定点，且与圆内切.
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设直线PB交直线于点T，连接AT交轨迹C于点Q；直线AP，AQ的斜率分别为，.
（i）求证：为定值；
（ii）设直线，证明：直线PQ过定点.
解：（1）设动圆的半径为r，圆的圆心，半径，
显然点在圆内，则，
于是，
因此动点M的轨迹C是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，
长半轴长，半焦距，则短半轴长，
所以轨迹C的方程为.
（2）（i）证明：设，，，由（1）知，，
显然，，而，
则，
，又，
即，
所以，为定值.
（ii）证明：由消去x得，
，
由（i）得，又，
则
，
解得，满足，
因此直线PQ的方程为，
所以直线PQ过定点.
19. 已知函数，且在上的最小值为0.
（1）求实数的取值范围；
（2）设函数在区间上的导函数为，若对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质S．
（i）求证：函数在上具有性质S；
（ii）记，其中，求证：.
解：（1），，，
，，
令，，等号不同时取，
所以当时，，在上单调递增，，
①若，即，，在上单调递增，
所以在上的最小值为，符合题意.
②若，即，此时，，
又函数在的图象不间断，据零点存在性定理可知，
存在，使得，且当时，，
在上单调递减，所以，与题意矛盾，舍去.
综上所述，实数的取值范围是.
（2）证明：（i）由（1）可知，当时，.
要证函数在上具有性质.
即证：当时，.即证：当时，.
令，，则，
即，当时，，
所以在上单调递增，.
即当时，，得证.
（ii）要证：.
显然，当时时，，结论成立.
只要证：当，时，.
即证：当，时，.
令.
所以，令，
则，令，
则，在上单调递减，
所以，在上单调递增，
所以，在上单调递增，
所以，即当时，.
所以当，时，，有
所以当，时，.
所以.观看场次
观看人数占调查
人数的百分比
性别
课外活动
合计
满意
不满意
男
150
100
250
女
50
50
100
合计
200
150
350
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635