上海市长宁区2023-2024学年高一（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份上海市长宁区2023-2024学年高一（上）期末数学试卷（解析版），共9页。试卷主要包含了填空题.，选择题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，集合，则____________．
【答案】
【解析】由题设知：.
2. 若，则__________．
【答案】
【解析】因为，所以.
3. 不等式的解集是___________.
【答案】
【解析】由，得，解得，
所以不等式的解集为.
4. 根式的指数幂形式为___________.
【答案】
【解析】，．
5. “或”的否定形式为______________________．
【答案】“且”
【解析】由题意“或”的否定形式为“且”.
6. 若幂函数的图象经过点，则函数的定义域为______.
【答案】
【解析】幂函数的图象经过点，
则，所以，故，故的定义域为.
7. 若时，指数函数的值总大于1，则实数a的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】由指数函数的性质可得，解得.
8. 已知，若，则______.
【答案】或
【解析】由，得；
由，得；
由，得（舍）；
综上或.
9. 若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是______.
【答案】，
【解析】方程可变形为，由于方程在上有解，
而当，时，，所以，解得，
即实数的取值范围是，．
10. 已知，方程的解集为______.
【答案】
【解析】当时，则；
当时，则；
当时，则.
综上所述，原方程的解集为.
11. 已知是上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为_________________．
【答案】
【解析】当时，，解得，
因为是上的奇函数，故图象关于原点对称，
所以当时，，
又由是上的奇函数，所以，即，
综上，的解集为.
12. 已知，若对于任意实数，均存在，使得，则实数的取值范围是_____________.
【答案】，
【解析】因为函数在定义域上单调递增，
函数在上单调递减，在上单调递增，
要使对任意实数，总存在实数，使得，即函数的值域为，
当时，在，上单调递增，在上单调递减，
当时，，时，，
则只需，解得；
当时，在，上单调递增，
当时，，时，，
则只需要，解得，
又，所以．
综上可得，即实数的取值范围是，．
二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
13. 若与互为相反数，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】与互为相反数，则，即，则.
故选：D.
14. 设为函数的零点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为函数是连续函数，且零点为，
； ，
，故函数的零点在区间内.
故选：C．
15. 了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防该细菌、病毒引起的疾病传播有重要的意义．科研团队在培养基中放入一定量某种菌落进行研究，设经过时间x（单位：min），菌落的覆盖面积为y（单位：）．团队提出如下假设：①当时，；②y随x的增加而增加，且增加的速度越来越快．则下列选项中，符合团队假设的模型是（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】根据题意，对于①，，即函数的定义域为，值域为，A、B、C、D均符合；
对于②随的增加而增加，且增加的速度越来越快，即函数为增函数，且增加的速度越来越快，A符合，B、C、D均不符合.
故选：A.
16. 已知函数的定义域为.
是上的严格增函数；
任意，都有，且当时，恒有；
：当时，都有；
下列关于的充分条件的判断中，正确的是（ ）
A. 都是B. 是，不是
C. 不是，是D. 都不是
【答案】B
【解析】根据题意，对于：任意，，都有，
令，则有，
再令，有，变形可得，
则函数为奇函数；
设，有，则有，
必有，
故函数是上的严格增函数，
则是的充分条件；
对于，例如，当，满足时，都有；但不单调递增函数，故不是的充分条件.
故选：B．
三、解答题（本大题共5小题，共52分.解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
17. 已知是实数.
（1）求证：，并指出等号成立的条件；
（2）若，求的最小值.
解：（1）证明：因为
，
所以，
当且仅当，时，不等式中等号成立.
（2），
当且仅当，即或时，不等式中等号成立.
所以最小值为4.
18. 设集合，.
（1）若，试用区间表示集合、；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）当时，由，得，
解得，所以，
由，得，则有，
解得，所以.
（2）由，得，
解得，所以，
由（1）得，由于，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
19. 为了鼓励消费，某地发放了以“爱购**”为主题的消费券，一张消费券价值50元，使用方式为：消费满100元后，结账时该券抵50元．
（1）A商家在中秋节期间举行促销活动，每件商品按原价6折销售．若买一件原价为300元的商品，则在结账时使用了一张消费券后，还应付多少元？
（2）小明在B商家选购时看中了一件88元的商品和一件打5折的特价商品，但特价商品的折扣不能与消费券同时使用，若该特价商品原价的范围在元，试判断小明是否会使用消费券？并说明理由．
解：（1）由题意原价为300元的商品打6折后本应付元，
若在结账时使用了一张消费券后，则还应付元.
（2）设特价商品原价为，小明按特价商品打折方式购买、使用优惠券购买所花费的钱分别为，
则，
所以，即，
所以小明不会使用消费券，而会选择按特价商品打折方式购买.
20. 已知函数，其中.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围.
解：（1）当时，函数的定义域为，
对，，
所以函数为奇函数；
当时，的定义域为，
对，，
此时，
此时，函数是奇函数.
（2）设，
则
，
因为，所以，，
若为上的增函数，则成立，
则成立，所以成立，解得，
所以实数的取值范围是.
21. 设函数y=fx在区间上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数y=fx在区间上具有性质.
（1）判断函数在上是否具有性质，并说明理由；
（2）若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围；
（3）设，若存在唯一的实数，使得函数在0，2上具有性质，求的值.
解：由已知得对任意，都存在使得，即函数，的值域为，值域的子集，
（1）由可得，
因为的值域为，的值域为，显然不是的子集，
即函数在上不具有性质.
（2）函数在区间，的值域为，，
函数在，上的值域为，，
要使函数具有性质，只需，解得，即的取值范围为，.
（3）由题意的值域为，，
因为，，所以的对称轴，，且开口向下，
所以的最大值为，又，，
当，即时，的值域为，，要满足题意，只需，解得，，符合题意；
当，即时，的值域为，，要满足题意，
只需，解得，所以符合题意，
综上，的取值为，．