专题05 平衡的稳度（竞赛精练）-2024-2025学年高中物理竞赛能力培优专练（高一上学期）

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1．（2021·全国强基计划）一光滑圆环以过圆心的固定竖直轴匀速旋转，角速度为。一珠子可在圆环上自由滑动，质量为，如图所示。则图示珠子的可能处于稳定平衡的位置，用角度表示，可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
E．
F．
【答案】AB
【详解】以圆环中心为重力势能零点，可得小圆环的机械能为
求一阶导得
当
得
或
求二阶导得
若
①当
珠子可能稳定平衡；
②当
珠子处于不稳定平衡；
若
珠子处于稳定平衡，AB正确，CDEF错误。
故选AB。
2．（2007·全国竞赛）图中A是一带有竖直立柱的木块，总质量为，位于水平地面上。B是一质量为的小球，通过一不可伸长的轻绳挂于立柱的顶端。现拉动小球使绳伸直并处于水平位置。然后让小球从静止状态下摆。如在小球与立柱发生碰撞前，木块A始终未发生移动，则木块与地面之间的静摩擦因数至少为多大？（设A不会发生转动）
【答案】
【详解】当小球摆至与水平方向的夹角为时，小球的速度如图由下式决定
设此时小球受到绳的拉力为，由于小球做圆周运动，故有
设地面对木块的支持力为，作用与木块的摩擦力为，因木块处于静止状态，有
设地面的静摩擦因数为，则有
解以上各式，得
式中
令
与有关，现要求不论取何值，木块均不发生移动，则静摩擦因数的最小值
等于的最大值可如下求得
从上式可看出，当时，即时，达极大值，其值为
故
3．（2020·全国竞赛）据《荀子•有坐篇》记载，孔子观于鲁桓公之庙，有欹（qī）器焉。欹器者，“虚则欹，中则正，满则覆。”悬挂式欹器实物如图7a所示：欹器空时，器身倾斜：注水适中，器身正立；注水过满，器身倾覆。图7b为悬挂式欹器的正视剖面图。整个欹器的外轮廓是相对于Z轴的回转面，轴为内部管腔的对称轴，容器内壁与外壁的半球壳半径分别为和，两半球的球心O和均位于X轴上。轴和Z轴相距，欹器圆柱部分的长度。欹器的一对悬挂点所在直线与XOZ平面交于Q点，其坐标为（，）。欹器材质均匀，其密度为水的密度的3倍。不计摩擦。
（1）求空欹器自由悬挂平衡时Z轴与竖直方向的夹角。
（2）求空欹器绕一对悬挂点所在轴的转动惯量及其在平衡位置附近微振动的角频率（已知密度为、半径为R的匀质球体绕过其质心的轴的转动惯量为；半径为R、长度为L的匀质圆柱体绕过其质心且平行于圆柱底面的轴的转动惯量为）。
（3）让空欹器自由悬挂，并开始往欹器内缓慢注水，问欹器内水面到底部的距离h为多少时器身正立？
（4）简述“满则覆”的临界条件。
【答案】（1）；（2），；（3）；（4）系统质心刚好高于悬挂点；或，
【详解】（1）假设整个欹器是实心时，它分为长圆柱部分（I）和半球部分（II）。
在坐标系XOZ中，圆柱部分质心的位置为：
，
半球部分质心的位置为：
，①
设整个实心体的质心坐标为，则
于是
， ②
相应地，整个欹器空心部分的质心坐标为
， ③
设和分别是整个欹器是实心时欹器的质量和整个欹器空心部分刚好填实所需的质量，有
，
整个瓶子的质心坐标为
④
⑤
悬挂点的位置为，欹器内没装水悬挂时欹器倾斜的角度为
⑥
（2）由球绕直径的转动惯量知，半球绕其底面圆直径的转动惯量为
由平行轴定理知，半球绕穿过其质心且平行其底面的转轴的转动惯量为
⑦
中间为实心时欹器绕悬挂点连线的转动惯量
⑧
空心部分绕悬挂点连线的转动惯量
⑨
欹器绕悬挂点连线的转动惯量
⑩
质心到悬挂点轴线的距离
欹器绕悬挂点连线摆动的角频率
⑪
（3）（解法一）设欹器竖直时里面装的水的质量为。
此时水、欹器以及整个体系质心的横坐标、和分别为
⑫
⑬
故有
⑭
解得：
⑮
由于 ⑯
故水的体积大于底部半球的容器，即。
因而有
⑰
解得
⑱
此时整个体系质心的纵坐标
故时欹器正立。
（解法二）
若时欹器竖直位置，时，水的质心位置为
⑫
欹器的质量m和此时欲器中水的质量分别为
整个装置的质心，的位置坐标为
⑬
欹器身正立时，悬挂点与系统质心的连线为竖直线必有
， ⑭
解得
，，，均不满足， ⑮
故此时无解。
因此欹器竖直时，必有。
当时，与③、④式对比（③、④式中可视为），得水的质心位置为
⑯
此时欹器中水的质量为
整个装置的质心位置为
⑰
⑱
欹器身正立，悬挂点与系统质心的连线为竖直线必有
且
当时，由式，有
⑲
而由得
或
故时欹器正立。
（4）欹器“满则覆”的临界条件是：系统质心刚好高于悬挂点；或
，⑳
4．（2007·全国竞赛）底边长为a，高度为b的长方形匀质物块置于斜面上。斜面和物块之间的静摩擦因数为，斜面的倾角为θ。当θ足够小时，物块静止于斜面上（如图），如逐渐将倾角增大，当θ取某个临界值θ0时，物块或将开始滑动，或将翻倒。试分别求出发生滑动和翻倒时的θ0，并说明在什么条件下出现的是滑动，在什么条件下出现的是翻倒。
【答案】，，如，则当θ增大至θ=arctgμ时物块开始滑动，如，则当θ增大至θ=arctg时物块开始翻倒。
【详解】1.分别求出开始出现滑动和出现翻倒时的θ0。
（1）出现滑动
设重力G=mg沿斜面与垂直于斜面的两个分力为Gx与Gy，斜面对物体的支承力为N，摩擦力为f如。时物体开始滑动（图），必有
，
用，代入，得
（2）出现翻倒
如时物体将要翻倒，则物体必是绕通过下角处的A轴翻转（如图）。这时支承力N与摩擦力f都通过A轴，不产生对A轴的力矩。翻倒的临界条件是
可得
2．因此，得出结论：
如，则当θ增大至θ=arctgμ时物块开始滑动。
如，则当θ增大至θ=arctg时物块开始翻倒。
的情况，不要求讨论。
5．（2007·全国竞赛）如图所示，有两根不可伸长的柔软的轻绳，长度分别为和，它们的下端在C点相连结并悬挂一质量为m的重物，上端分别与质量可忽略的小圆环A、B相连，圆环套在圆形水平横杆上，A、B可在横杆上滑动，它们与横杆间的静摩擦系数分别为和。已知和的数值，且。试求和在各种取值情况下，此系统处于静力平衡时两环之间的距离。
【答案】当或时，；当，时，；当，且时，
【详解】解法1
由于和为已知量，只要求出的值即确定（即A、B、C的相对位置确定）.现对系统平衡时应取的数值分析如下：
1．已知，则当A、C和重物在同一竖直线上时，系统平衡，张紧，长绳则松弛（如图决解16-3所示）.将B沿杆右移直至绳拉直（如图决解16-4所示），系统一直保持平衡，这与的取值无关，若使B继续右移一极小的距离Δx，则绳中将出现张力，C点右移，将倾斜，其中张力也将改变.如果，A环将在绳张力作用下滑动，所以系统将失去平衡，若，设此时中张力为T，则B环与杆间正压力，B环所受向左的力.如果，则B环向左滑回原处，系统失去平衡.由此可见，当或时，系统的平衡位置只能是：A、C在竖直线上，（结论一）.
2．当，，且时，
系统将如图决解16-5所示，A环受力：；
，当，即时A环将不
能保持静止.同理，时，B环将不能保持静
止，A、B两环哪个先动，将由、的数值决定.图决解16-5中的与是互相关联的量.由正弦定律有，当值增大时，和均减小，和随之增大.设C点与的距离为h，由几何关系可得，.
设A滑动时，，则，
设B滑动时，，则，
比较和的大小即可知增大（即h减小）时A、B两环谁先滑动.
（a）若，则A先滑动，即的条件下，当时，A即将滑动，此时
由此可得结论二：
在，的情况下，若系统保持平衡，的数值一定满足下面的要求：
（注意，此时的条件自然得到满足）
（b）若，则B先滑动，即的条件下，当时，B即将滑动，此时
由此可得结论三：
当、满足下列二条件时，在，且的情况下，若系统保持平衡，的数值一定满足下面的要求：
若，则，A、B将同时开始要滑动，此时的数值为
的数值满足的条件为
此结果已包括在结论二和结论三中符号“≤”的等号中.
6．（2007·全国竞赛）5个质量相等的匀质球，其中4个半径均为a的球，静止放在半径为R的半球形碗内，它们的球心在同一水平面内。另1个半径为b的球放在4球之上。设接触面都是光滑的，试求碗的半径R的值满足什么条件时下面的球将相互分离。
【答案】
【详解】设半径为b的球放在4个球上后，下面4个球的位置未变。以m表示每个球的质量，下面4个球的球心形成一个位于水平面内的正方形ABCD，俯视图如图决解20-1-1所示。O为正方形对角线的交点，各球之间的相互作用力大小均为F1.根据对称性，并注意到接触面都是光滑的，可知每个球受到相邻两球作用力的合力都为，方向沿对角线。
由几何对称性分析，可知对角线AC、上面球的球心E和碗的球心应在同一竖直平面内，如图决解20-1-2所示。设上面球与下面每个球的相互作用力的大小均为F2，对A球，F2的方向沿球心A、E连线。平衡时对半径为b的球有
（1）
式中是球心连线AE与水平线AC之间的夹角，有
（2）
对于下面每个球，如球A，受到的作用力有重力mg，B、D两球对它的作用的合力，上面球的作用力F2和碗面的作用力F3.由于体系对称且接触面光滑，各力均通过球心A，F3还通过，平衡时有
（3）
（4）
式中是F3方向与竖直线的夹角，有
（5）
由式（1）可得
（6）
由式（4）和（6）可得
（7）
由式（3）、（6）和（7）可得
（8）
如果，表示下面的4个球相互接触，4个球在原来的位置；如果F1