微专题20　极化恒等式、等和线、奔驰定理+课件——2024届高三数学二轮微专题复习

这是一份微专题20　极化恒等式、等和线、奔驰定理+课件——2024届高三数学二轮微专题复习，共55页。PPT课件主要包含了考点一极化恒等式，典例1，跟踪训练1，典例2，跟踪训练2，考点三奔驰定理，典例3，跟踪训练3，由极化恒等式可得等内容，欢迎下载使用。
利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题.等和线可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；用向量共线定理求解则更加简洁.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.在平面向量中有时运用这些内容可能起到意想不到的作用，技巧性较强.一般难度较大.
A.0 B.12 C.2 D.6
考点二　等和(高)线定理
若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线.①当等和线恰为直线AB时，k＝1；②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；④当等和线过O点时，k＝0；⑤若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.
如图，直线BF为k＝1的等和线，当P在△CDE内时，直线EC是最近的等和线，过D点的等和线是最远的，
当点P位于B点时，λ＋μ取得最大值，过点B作GH∥DC，分别交OC，OD的延长线于G，H，
方法一(等和线定理)设λ＋μ＝k，当C位于A或B时，A，B，C三点共线，所以k＝λ＋μ＝1；当C运动到 的中点时，k＝λ＋μ＝2，∴λ＋μ∈[1,2].
方法二　(常规方法)设半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系(图略)，
易得λ＋μ∈[1,2].
方法一根据奔驰定理可知S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶3.方法二　延长OB至B′，使OB′＝2OB，
∴O是△AB′C′的重心，∴S△AOC′＝S△B′OC′，
∴S△AOC∶S△BOC＝2∶1.
根据奔驰定理可知S△BCM∶S△ACM∶S△ABM＝1∶1∶1，则S△ABM∶S△ABC＝1∶3.
由奔驰定理可得S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.
1.极化恒等式的适用范围(1)共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化.(2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题.2.等和(高)线定理的适用范围主要解决平面向量系数和与差的问题.3.奔驰定理的使用范围对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系.但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择或填空题当中可以迅速地得出正确答案.
如图，取AB的中点O，连接MO，BE，OE，分别过点C，D作BE的垂线，垂足分别为I，J，
如图，BC是值为1的等和线，过O作BC的平行线，
即点O是△A1B1C1的重心，所以 ＝ ＝ ＝k，
所以O为△ABC的重心，
当点M与C重合时，λ＋2μ最大，此时
所以λ＝0，μ＝1，即λ＋2μ＝2.因为M在△OBC内且不含边界，所以取开区间，即λ＋2μ∈(1,2)．
O是△ABC的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，则CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，∠BOP＝∠BAC，∠AOP＝∠ABC，
于是得tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝S1∶S2∶S3，
即S1∶S2∶S3＝1∶2∶3，所以tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝1∶2∶3.
对于A，若P是△ABC的重心，则S△PBC＝S△PAC＝S△PAB，
对于B，设点P到边BC，AC，AB的距离分别为h1，h2，h3，
则P是△ABC的内心，正确；
方法一　(常规方法)由题意作图如图.
设AF与BC的延长线交于点H，易知AF＝FH，