2024-2025学年陕西省渭南市高三上册11月期中数学学情检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年陕西省渭南市高三上册11月期中数学学情检测试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了本卷主要考查内容等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：高考范围．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
5. 是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成．如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，若正多边形的边长为1，为正多边形的顶点，则（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
6. 已知某圆锥侧面积为，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ）
A. B. C. D.
7. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数的最小值为，则的最小值为（ ）
A. B. C. 0D. 1
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在的展开式中，下列命题正确的是（ ）
A. 二项式系数之和为64B. 所有项系数之和为
C. 常数项为60D. 第3项的二项式系数最大
10. 已知a，b均为正实数，且，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数在上单调递增
B. 是函数极值点
C. 过原点仅有一条直线与曲线相切
D. 若，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，一共开了1890盏，则底层所开灯的数量为______盏.
13. 已知，，若，则的最小值为_________.
14. 设为双曲线的一个实轴顶点，为的渐近线上的两点，满足，，则的渐近线方程是______．
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤．
15. 已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为.
（1）求集合；
（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
16. 在中，A，B，C分别为边a，b，c所对的角，且满足.
（1）求的大小
（2）若，，求的面积
17. 如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点是棱上的一点，且.
（1）求证：四边形为正方形；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18. 驾驶员考试（机动车驾驶员考试）是由公安局车管所举办的资格考试，只有通过驾驶员考试才能取得驾照，才能合法的驾驶机动车辆．考试内容和合格标准全国统一，根据不同准驾车型规定相应的考试项目．机动车驾驶人考试内容分为道路交通安全法律、法规和相关知识考武科目（以下简称“科目一”）、场地驾驶技能考试科目（以下简称“科目二”）、道路驾驶技能和安全文明驾驶常识考试科目（以下简称“科目三”）．申请人科目一、科目二、科目三考试均合格后，就可以领取驾驶证．某驾校经统计，驾驶员科目一考试平均通过的概率为，科目二：平均通过的概率为，科目三平均通过的概率为．该驾校王教练手下有4名学员参加驾驶员考试．
（1）记这4名学员参加驾驶员考试，通过考试并领取驾驶证人数为X，求X的分布列和数学期望及方差；
（2）根据调查发现，学员在学完固定的学时后，每增加一天学习，没有通过考试拿到驾驶证的概率会降为原来的0.4，请问这4名学员至少要增加多少天的学习，才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证?（我们把概率超过0.99的事件称为必然事件，认为在一次试验中必然事件一定会发生）
参考数据：，
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）已知有两个极值点.
（ⅰ）求取值范围；
（ⅱ）若极小值小于，求的极大值的取值范围.
2024-2025学年陕西省渭南市高三上学期11月期中数学学情检测试卷
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：高考范围．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】利用复数的除法运算求出，再利用共轭复数及复数的意义即可得解.
【详解】依题意，，则，
所以的虚部为.
故选：A
2. 已知集合，集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据交集、并集的定义计算可得.
【详解】因为集合，集合，集合，
所以，，
，，
故正确的只有D.
故选：D
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】利用角的变换，代入两角差的正切公式即可求解.
【详解】．
故选：B.
本题主要考查了角的变换，两角差的正切公式，属于基础题.
4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】本题根据指数函数、对数函数的性质借助中间值1比较可得.
【详解】因为，所以，即，又，即，
又，所以，所以；
因为，所以，所以，所以
所以.
故选：A.
5. 是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成．如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，若正多边形的边长为1，为正多边形的顶点，则（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【正确答案】B
【分析】运用数量积定义计算即可.
【详解】如图所示，

连接，，由对称性可知，，
取的中点，则，，
又因为正六边形的边长为1，所以，
所以，
故选：B．
6. 已知某圆锥的侧面积为，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】设相应长度，根据圆锥的侧面积和轴截面面积列式可得，再结合线面夹角运算求解.
【详解】设圆锥的母线为，底面半径为，高为，
由题意可得：，解得，
设该圆锥的母线与底面所成的角为，则，
可得，所以该圆锥的母线与底面所成的角为.
故选：C.
7. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】先求出平移后函数解析式，再由图象的对称中心，可得，从而得出结论．
【详解】由已知得，所以，
解得，又，当时，．
故选：C.
本题考查三角函数的图象平移变换，考查函数的对称性，掌握诱导公式是解题关键．平移变换时要注意平移单位是对自变量而言，属于中档题．
8. 已知函数最小值为，则的最小值为（ ）
A. B. C. 0D. 1
【正确答案】B
【分析】由二次函数的性质可知，令，运用导数可求得的最小值，进而可得结果.
【详解】因为，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，
，
故选：B．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在的展开式中，下列命题正确的是（ ）
A. 二项式系数之和为64B. 所有项系数之和为
C. 常数项为60D. 第3项的二项式系数最大
【正确答案】AC
【分析】对于A：根据二项式系数之和为分析判断；对于B：令，可得所有项系数之和；对于C：结合二项展开式的通项分析求解；对于D：根据二项式系数的最值分析求解.
【详解】对于选项A：因为，可知二项式系数之和为，故A正确；
对于选项B：令，可得所有项系数之和为，故B错误；
对于选项C：因为展开式的通项为，
令，可得，所以常数项为，故C正确；
对于选项D：因为，可知二项式系数最大值为，为第4项，故D错误；
故选：AC.
10. 已知a，b均为正实数，且，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】ABD
【分析】根据基本不等式结合对数与指数的运算性质逐一分析即可得出答案.
【详解】对于A，，∴，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误：
对于D，
，故D正确．
故选：ABD.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数在上单调递增
B. 是函数的极值点
C. 过原点仅有一条直线与曲线相切
D. 若，则
【正确答案】ACD
【分析】求导根据导函数即可得出函数的单调性以及极值，进而判断A、B项；设出切点坐标，根据已知列出关系式，构造函数，根据导数研究函数的性质得出函数零点的个数，即可判断C项；根据函数的单调性，得出，整理即可构造，利用导函数求出函数的最小值，即可得出D项.
【详解】对于A项，由已知可得，
令，则.
解可得，，所以在上单调递增；
解可得，，所以在上单调递减.
所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，
所以，恒成立，即恒成立，
所以函数在上单调递增，故选项A正确；
对于B项，由A可知，在上单调递增，故B项错误；
对于选项C，设切点的坐标为，
根据导数的几何意义可知，切线的斜率，
所以过的切线方程为.
又切线经过原点，所以有，
整理为.
令，有，
当时，，有；当时，，有.
所以恒成立，函数单调递增.
又由，，
根据零点存在定理可得函数在区间内有且仅有一个零点.
故过原点仅有一条直线与曲线相切，选项C正确；
对于D选项，若，有，
由函数单调递增，
有，.
令，有．
令，有
（当且仅当时取等号），
可得恒成立，所以函数单调递增.
又由，
所以时，，，所以在上单调递减；
时，，，所以在上单调递增.
所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，
所以，故成立，选项D正确．
故选：ACD．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，一共开了1890盏，则底层所开灯的数量为______盏.
【正确答案】30
【分析】根据给定条件，构造等比数列，再利用等比数列列n项和公式计算即得.
【详解】依题意，从下往上每层灯的数据构成等比数列，公比，，前6项和，
于是，解得，
所以底层所开灯的数量为30盏.
故30
13. 已知，，若，则的最小值为_________.
【正确答案】3
【分析】合理分析题意，利用同构得到，再利用导数确定的单调性，消元后把目标式变为一元函数，利用基本不等式求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，易得定义域为，
而，所以在上单调递增，故，
所以，
，
当且仅当时取等，此时解得.
故3
关键点点睛：本题考查导数，解题关键是利用同构思想得到，然后化简目标式，由基本不等式得到所要求的最值即可．
14. 设为双曲线的一个实轴顶点，为的渐近线上的两点，满足，，则的渐近线方程是______．
【正确答案】
【分析】由角平分线定理，结合余弦定理，求得，再求的正切值，进而即可求得渐近线方程.
【详解】根据题意，作图如下：

依题意，为的角平分线，且，
设，由角平分线定理可得：，则；
在中，由余弦定理；
在中，由余弦定理可得，，
即，解得
故，，
所以的渐近线方程是．
故答案为.
方法点睛：求双曲线的渐近线方程，常见有三种方法：
①直接求出，从而得解；
②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，从而得解；
③求得其中一个渐近线的倾斜角（或斜率），从而得解.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤．
15. 已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为.
（1）求集合；
（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）为假命题时，既可转化为关于一元二次方程无解，然后利用判别式即可；
（2）由是的必要不充分条件可得，然后分为空集和非空集两种情况讨论即可.
【小问1详解】
因为命题为假命题，故关于的一元二次方程无解，
即，解得，故集合；
【小问2详解】
由是的必要不充分条件，可知，
当时，既，解得，此时满足，
当时，如图所示，

故且等号不同时成立，
解得，
综上所述，取值范围是.
16. 在中，A，B，C分别为边a，b，c所对的角，且满足.
（1）求的大小
（2）若，，求面积
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用正弦定理角化边，求解角度即可.
（2）利用余弦定理求出边长，结合三角形面积公式求解面积即可.
【小问1详解】
因为，且在中，，
所以，由正弦定理得，
所以，，
故，，所以.
【小问2详解】
在中，由余弦定理得，解得(负根舍去)，
所以.
17. 如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点是棱上的一点，且.
（1）求证：四边形为正方形；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）先证，再由条件推导平面，得到即可证得；
（2）依题建系，写出相关点坐标，求得相关向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得.
【小问1详解】
如图，连接，在直四棱柱中，平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，又四边形是矩形，所以四边形为正方形；
【小问2详解】
如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，所以，
故可取，
设直线与平面所成角的大小为，
所以
即直线与平面所成角的正弦值为.
18. 驾驶员考试（机动车驾驶员考试）是由公安局车管所举办的资格考试，只有通过驾驶员考试才能取得驾照，才能合法的驾驶机动车辆．考试内容和合格标准全国统一，根据不同准驾车型规定相应的考试项目．机动车驾驶人考试内容分为道路交通安全法律、法规和相关知识考武科目（以下简称“科目一”）、场地驾驶技能考试科目（以下简称“科目二”）、道路驾驶技能和安全文明驾驶常识考试科目（以下简称“科目三”）．申请人科目一、科目二、科目三考试均合格后，就可以领取驾驶证．某驾校经统计，驾驶员科目一考试平均通过的概率为，科目二：平均通过的概率为，科目三平均通过的概率为．该驾校王教练手下有4名学员参加驾驶员考试．
（1）记这4名学员参加驾驶员考试，通过考试并领取驾驶证的人数为X，求X的分布列和数学期望及方差；
（2）根据调查发现，学员在学完固定的学时后，每增加一天学习，没有通过考试拿到驾驶证的概率会降为原来的0.4，请问这4名学员至少要增加多少天的学习，才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证?（我们把概率超过0.99的事件称为必然事件，认为在一次试验中必然事件一定会发生）
参考数据：，
【正确答案】（1）分布列见解析，，
（2）6
【分析】（1）根据题意可知，分步计算即可；
（2）增加k（k为正整数）天学习后，每位学员通过考试拿到驾驶证的概率为，若这4名学员都能通过考试并领取驾驶证，有，利用用对数运算求解不等式.
【小问1详解】
1名学员通过考试并领取驾驶证的概率为，根据题意可知，
X的取值分别为0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
故X的分布列为：
，；
【小问2详解】
增加k（k为正整数）天学习后，
每位学员通过考试拿到驾驶证的概率为，
若这4名学员都能通过考试并领取驾驶证，有，
有，有，有，
又由
．
可得，
故这4名学员至少要增加6天的学习，才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证．
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）已知有两个极值点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若的极小值小于，求的极大值的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）（ⅰ）分析可知原题意等价于有两个不同的正实数根，结合基本不等式分析求解；（ⅱ）设有两个不同的正实数根，根据单调性可知的极值点，结合零点代换可得，构建，结合单调性分析可得，则，即可得取值范围.
【小问1详解】
当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以曲线在处的切线方程为，即.
【小问2详解】
（ⅰ）由题意可知：的定义域为，，
令，可得，
原题意等价于有两个不同的正实数根，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
可知，所以的取值范围；
（ii）由（i）可知：有两个不同的正实数根，，
不妨设，可知，
当时，；当或时，；
可知在，上单调递增，在上单调递减，
所以为的极小值点，为的极大值点，
对于的极值点，则，
可得，
设，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在上单调递减，
则，可知，则，
又因为在区间上单调递增，则，
所以的极大值的取值范围是.
方法点睛：利用导数研究函数极值、最值的方法
（1）若求极值，则先求方程的根，再检查在方程根的左右函数值的符号；
（2）若探究极值点个数，则探求方程在所给范围内实根的个数；
（3）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程根的大小或存在情况来求解；
（4）求函数f(x)在闭区间的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较，从而得到函数的最值．
X
0
1
2
3
4
P