2024-2025学年重庆市梁平区高三上册11月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年重庆市梁平区高三上册11月月考数学检测试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 一质点A沿直线运动，其位移单位：与时间单位：之间的关系为，则质点A在时的瞬时速度为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据题意，求出函数的导数，将代入计算可得答案．
【详解】因为，所以时，，
即质点A在时的瞬时速度为.
故选：C
2. 已知命题p：，，命题q：，，则（ ）
A. p和q都是真命题B. 和q都是真命题
C. p和都是真命题D. 和都是真命题
【正确答案】B
【分析】先判断出命题，的真假，再结合命题的否定的概念可得结论．
【详解】对于p而言，，故p是假命题，是真命题.
对于q而言，，，故q是真命题，是假命题.
综上，和q都是真命题.
故选：B.
3. 已知直线与，若，则，之间的距离是（ ）
A B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用两直线平行可得，即可根据平行线间距离公式求解.
【详解】由于，故，解得，
故与，
故两直线间距离为，
故选：C
4. 若成等差数列；成等比数列，则等于
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】利用等差数列以及等比数列的性质求出等差数列的公差，等比数列的公比，然后计算求解即可．
【详解】若1，a1，a2，4成等差数列，4＝1+3d，d＝1，
∴a1﹣a2＝﹣1．
又1，b1，b2，b3，4成等比数列，b22＝1×4，解得b2＝2，b2＝﹣2舍去（等比数列奇数项的符号相同）．
∴
故答案为A．
本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.
5. 现从环保公益演讲团的6名教师中选出3名，分别到三所学校参加公益演讲活动，则甲、乙2名教师不能到学校，且丙教师不能到学校的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】结合排列组合知识，以及古典概型概率公式即可求得解
【详解】6名教师选出3人分别到三所学校的方法共有种.
甲、乙2名教师不能到学校，且丙教师不能到学校的：
第一种情况：若丙去校，有种选法；
第二种情况，若丙不去校，则校有种选法，校有种选法，校有种选法，
共有种，
所以一共有种.
所以由古典概型可得，所求概率.
故选：D.
6. 已知锐角，角的对边分别，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】利用正弦定理化简已知条件，由此求得的值，进而求得B的大小.再利用正弦定理和两角差的正弦公式，求得的表达式，进而求得的取值范围.
【详解】由题设知，，
由正弦定理得，
即,
又，所以，所以，得，所以，
又，
即，又锐角，所以，所以，
所以，即，
所以的取值范围是.
故选：A
7. 已知是直线上一点，M，N分别是圆和上的动点，则的最小值是（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【正确答案】D
【分析】先由两圆的标准方程，求出圆心和半径，然后判断两圆与直线的位置关系，求出圆心关于直线的对称点，则当，，三点共线且经过两圆圆心时，取最小值，求解即可．
【详解】圆，则圆心，
圆，则圆心，
两圆心在直线的同侧.又圆心到直线的距离，
圆心到直线l的距离，
则两圆在直线l的同侧且与直线相离，如图所示，设圆心关于直线的对称点为，则，解得，所以，
，
当且仅当三点共线时等号成立；即的最小值为．
故选：D.
8. 北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有 个小球，共有层，由“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正确答案】B
【分析】转化题给条件为，再由皆为正整数分类讨论即可求解.
【详解】由题意知，，于是得最底层小球的数量为，即，.
从而有，
整理得，
，
，
，，
由于皆为正整数，所以
（i）当时，，
当时，，
（iii）当时，，
（iv）当时，
只有符合题意，即的值为2.
故选：B.
关键点点睛：本题主要考查新文化背景下的数列问题，确定是解决本题的关键.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的的6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列对二项式展开式的说法正确的是：（ ）.
A. 第3项的系数为40B. 第4项的二项式系数为10C. 不含常数项D. 系数和为32
【正确答案】BC
【分析】写成展开式的通项，利用通项判断A、B、C；令判断D.
【详解】二项式展开式的通项为，，
所以第3项的系数为，故A错误；
第4项的二项式系数为，故B正确；
令，解得，又，所以展开式不含常数项，故C正确；
令可得系数和为，故D错误.
故选：BC
10. 已知等差数列和的前n项和分别为和，且，，则下列结论正确的有（ ）
A. 数列是递增数列B.
C. 使为整数的正整数n的个数为0D. 的最小值为
【正确答案】ACD
【分析】化简已知等式由函数的单调性可得A正确；取反例结合等差数列的求和公式可得B错误；化简已知等式可得C正确；结合等差数列的求和公式判断为递增数列，再讨论的取值可得D正确；
【详解】对于A，，所以数列是递增数列，故A正确；
对于B，若，
则，，
所以，故B错误；
对于C，由可知无整数，故C正确；
对于D，因为和是等差数列，且前n项和分别为和，
所以，
所以递增，
所以最小值为时，为，故D正确；
故选：ACD.
11. 纯音的数学模型是函数，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为的基音的同时，其各部分，如二分之一､三分之一､四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易单独听出来，所以我们听到的声音函数是.记，则下列结论中正确的是（ ）
A. 为的一条对称轴B. 的最小正周期为
C. 的最大值为D. 关于点中心对称
【正确答案】BCD
【分析】根据可判断选项A；根据可判断选项B；利用导数研究函数的最值的方法及三角恒等变换即可判断选项C；根据可判断选项D.
【详解】因为，
，
所以，
则不为的一条对称轴，故选项A不正确；
因为，
所以，
则的周期为，而的最小正周期为2π，故的最小正周期为2π，
故选项B正确；
因为
所以
又因为
所以的周期为.
故只考虑函数在上的最大值即可.
令，得：或或或；
令，得：或者或；
所以函数在，，和上单调递增；在，和上单调递减.
又因为，，，
所以的最大值为，故选项C正确；
因为，
所以，
则关于点中心对称，故选项D正确.
故选：BCD
三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是单调递增的等比数列，，则公比q的值是__________．
【正确答案】2
【分析】根据等比数列的定义与性质求解.
【详解】由等比数列性质知，联立，解得或，
因为是单调递增的等比数列，所以，即．
故2
13. 已知，为正实数，且满足，则的最小值为__________．
【正确答案】
【分析】构造代数式，利用基本不等式即可得到最小值.
【详解】，
∵，且，为正实数，
∴，
当且仅当时，即时，取“=”，
∴，则.
故
14. 定义一种运算，若函数，则使不等式成立的的取值范围是__________．
【正确答案】
【分析】根据新定义，求得，根据不等式成立，化简得到即，设，根据函数的单调性和定义域，即可求解.
【详解】根据定义的一种运算，
可得，
又由，即，
即
设，可得函数为单调的递减函数，
且，所以，可得，
即，解得，
又由，解得，
综上可得，实数的取值范围是.
故答案.
本题考查了函数的新定义的计算与应用，其中解答中涉及到指数函数，对数函数的图象与性质的综合应用，着重考查分析问题和解答问题的能力.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若在中，，求面积的最大值．
【正确答案】（1）；（2）．
【分析】（1）首先化简的表达式成为的形式，从而求出单调增区间；
（2）通过面积公式把变量统一到上，然后通过二次函数的知识求出答案即可．
【详解】（1）
由可得，
所以函数的单调递增区间为．
（2）
因为
所以（当时取等号）．
16. 已知为等差数列，为等比数列，，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【正确答案】（1），
（2），
【分析】（1）由等差等比数列项之间的关系建立等式，求得公比和公差的值，从而写出通项公式；
（2）等差等比数列乘除得到的新数列利用错位相减即可得到新数列的前n项和.
【小问1详解】
设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q.
由，，可得，所以
由，，又，可得，解得，
从而的通项公式为.
【小问2详解】
设数列的前n项和为.因为，
所以，
，
两式相减得，
，
即，
17. 某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人的开发主要采用（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%．
（1）在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4个，以X表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X的分布列和数学期望；
（2）设输入的问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%，求p的值．
【正确答案】（1）分布列见解析，数学期望为
（2）
【分析】（1）由题知X的所有取值为1，2，3，4，求出对应的概率，可得其分布列与数学期望；
（2）利用全概率公式表示出回答被采纳的概率，结合条件代入可得关于的方程，解方程即可.
【小问1详解】
由题可知X的所有取值为1，2，3，4，
，
，
，
，
故X的分布列为：
则．
【小问2详解】
记“输入的问题没有语法错误”为事件A，记“输入的问题有语法错误”为事件B，记“回答被采纳”为事件C，
由已知得，，，，PB=p，PA=1−p，
所以由全概率公式得，
解得．
18. 已知函数.
（1）当时，设，求Fx在处的切线方程；
（2）当时，求单调区间；
（3）若曲线y=fx与直线有且仅有两个交点，求的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）增区间为，减区间为
（3）
【分析】（1）当时，求出函数Fx的解析式，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；
（2）求导后，根据f′x的正负可得单调区间；
（3）将问题转化为方程有且仅有两个不等实根，构造函数，结合导数知识可作出Fx的图象，进而得到，结合单调性可得结果.
【小问1详解】
解：当时，，其中，，
则，所以，，，
所以，Fx在处的切线方程为.
【小问2详解】
解：当时，，该函数的定义域为0,+∞，
且，由f′x0，可得，解得.
所以，当时，函数的增区间为，减区间为.
【小问3详解】
解：由题意知：且，
与有且仅有两个交点，
方程有且仅有两个不等实根，即方程有且仅有两个不等实根，
即方程有且仅有两个不等实根，
令，则Fx定义域为0,+∞，，
当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
，当时，；当时，；
可得Fx大致图象如下图所示，
令，则，
有且仅有两个不同实数根的充要条件为，
即，实数的取值范围为.
关键点点睛：本题根据曲线与直线交点个数求解参数范围的关键是能够首先将问题转化为方程根的个数问题，进而采用同构的逻辑，通过构造函数的方式进一步将问题转化为同一函数不同函数值大小关系的比较问题.
19. 已知半圆，圆，作圆与半圆，圆，轴均相切，点，且．
（1）求的周长；
（2）证明：为等比数列；
（3）证明：对任意正整数．
【正确答案】（1）2 （2）证明见解析
（3）证明见解析
【分析】（1）根据的定义以及相切的性质即可求解；
（2）由题意得递推表达式，进一步根据等比数列的定义验算即可证明；
（3）由分析可知只需证明即可，而可以用基本不等式证明当时，，累加即可得解.
【小问1详解】
因为圆，圆与轴均相切，且圆的圆心坐标为，
所以圆的半径为，圆的半径为．
又圆，圆均与半圆相内切，圆与圆相外切，
所以，，．
所以的周长为：．
【小问2详解】
依题意，有，，，
得即
消去得，
整理，得，
两边同时减去，得．
依题意，易得，所以，即．
所以．
所以为等比数列，首项为1，公比为．
【小问3详解】
由（2）得，．
令，则当时，．
要证，即证，
即证．
当时，
（当且仅当时，等号成立）
（当且仅当时，等号成立）
．
所以，
得证．
关键点点睛：第三问的关键在于得到只需证明即可，进一步只需证明当时，即可，由此即可顺利得解.
X
1
2
3
4
P