2024-2025学年重庆市南开区高三上册12月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年重庆市南开区高三上册12月月考数学检测试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．7B．14C．21D．42
2．已知复数，则（ ）
A．2B．C．1D．0
3．已知直线和，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知圆：，直线：，则当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（ ）
A．B．C．D．4
7．已知抛物线C：的焦点为，直线与C交于A，B两点，则（ ）
A．18B．16C．6D．4
8．设无穷等差数列的公差为，集合.则（ ）
A．不可能有无数个元素
B．当且仅当时，只有1个元素
C．当只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为
D．当时，最多有个元素，且这个元素的和为0
二、多选题（本大题共3小题）
9．在数列和中，，，，下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．36是与的公共项D．
10．已知椭圆，不经过原点、斜率为的直线与椭圆相交于A，B两点，为线段的中点.下列结论正确的是（ ）
A．直线与垂直
B．若点M坐标为，则直线方程为
C．若直线方程为，则点M坐标为
D．若直线方程为，则
11．已知直线l经过点，曲线.下列说法正确的是（ ）
A．当直线l与曲线有2个公共点时，直线l斜率的取值范围为
B．当直线l与曲线有奇数个公共点时，直线l斜率的取值共有4个
C．当直线l与曲线有4个公共点时，直线l斜率的取值范围为
D．存在定点Q，使得过Q的任意直线与曲线的公共点的个数都不可能为2
三、填空题（本大题共3小题）
12．过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若点A在第一象限，且，则直线AB的倾斜角为 .
13．已知圆，直线，直线l被圆C截得的最短弦长为 ．
14．椭圆C：的左右焦点分别为、，点M为其上的动点.当为钝角时，点M的横坐标的取值范围是
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知圆C的半径为1，圆心既在直线上又在直线上.
（1）求圆C的标准方程
（2）过点作圆C的切线，求切线方程．
16．已知双曲线与椭圆有相同的焦点.
求双曲线的方程；
以为中点作双曲线的一条弦，求弦所在直线的方程.
17．某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越.为制定下一年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.结合近12年的年研发资金投入量和年销售额，该团队建立了两个函数模型：①，②，其中均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到散点图如图.令，计算得到如下数据.

(1)设变量和变量的样本相关系数为，变量和变量的样本相关系数为，请从样本相关系数的角度，选择一个与相关性较强的模型.
(2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01）；
（ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量.
附：；样本相关系数；经验回归方程，其中.
18．已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为A，点P，Q为C上关于坐标原点O对称的两点，且，且四边形的面积为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若斜率不为0的直线过椭圆C的右焦点且与椭圆C交于G，H两点，直线，与直线分别交于点M，N.求证：M，N两点的纵坐标之积为定值.
19．已知函数．
(1)若曲线和直线相切，求a的值；
(2)若存在两个不同的a，使得的最小值为0，求证：．
答案
1．【正确答案】B
【详解】由等差数列的性质可得：2a4＝a2+a6，又，解得a4＝2，
而S77a4＝14
故选B．
2．【正确答案】B
【详解】，
所以
故选：B
3．【正确答案】A
验证时， 是否成立；当时，是否成立结合充分必要条件判定即可.
【详解】解：当时，可以推出；
当时，可得或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A．
4．【正确答案】C
【分析】由直线过定点，结合圆的对称性以及勾股定理得出的取值.
【详解】直线：恒过点，由于直线被圆所截的弦长的最小值为，即当直线与直线垂直时（为原点），弦长取得最小值，于是，解得.
故选C.
5．【正确答案】B
【详解】
由题意，，
，
，
由正弦定理得，又，
所以，，又，
可得，所以椭圆的离心率.
故选B.
【关键点拨】根据题意求得、，再由正弦定理以及椭圆的定义，可算得与的关系，进而求出椭圆的离心率.
6．【正确答案】A
【详解】如图，
因为双曲线，所以，
由双曲线的对称性知，
所以，
由双曲线定义可得，
所以，又，
所以，即，
所以,
故，
故选：A
7．【正确答案】B
【详解】设，，联立方程组，
整理得，则，
所以由抛物线的定义可得.
故选:B.
8．【正确答案】D
【分析】对于，选项，可取特殊数列验证即可；对于可假设成立，结合图象推出与已知矛盾；对于，结合正弦函数的周期，即可判断.
【详解】选项，取，则，由，因为是无穷等差数列，正弦函数是周期为的函数，所以在每个周期上的值不相同，故错误；
选项，取，即，则，只有一个元素，故错误；
选项，假设只有2个元素，，这2个元素的乘积为，如图可知当等于或时，显然不是等差数列，与已知矛盾，故错误；
选项，当时,
，
，
，
，
，
，，所以最多有个元素，
又因为正弦函数的周期为，数列的公差为，
所以把周期平均分成份，所以个元素的和为0，故正确.
故选:.
方法点睛：本题考查等差数列与正弦函数性质相结合，采用特例法，数形结合的方法判断.
9．【正确答案】ACD
【详解】对于A：因为，所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以，故正确；
对于B：因为，
所以，所以，
当时，符合条件，
所以，故错误；
对于C：令，解得(负值舍去)，所以，令，解得(负值舍去)，所以，
所以，即是与的公共项，故正确；
对于D：因为，
所以，故正确；
故选：ACD.
10．【正确答案】BD
【详解】当直线的斜率存在且不为零时，直线与椭圆相交于不同A，B两点，为线段的中点，对于椭圆，有熟知的结论，（证明过程参见点睛），于是对于本题，有.
对于A项，当直线的斜率时，由椭圆的对称性可知线段的中点在轴上，直线与垂直，当直线的斜率时，根据椭圆的中点弦的性质，而当两直线的斜率存在且不为零时，它们垂直的充分必要条件是斜率之积为-1，故直线与不垂直，故A错误；
对于B项，由于点的横坐标，纵坐标都不在坐标轴上，可知直线的斜率存在且不为零，根据，，所以，由直线方程的点斜式可得直线方程为，即，故B正确；
对于C项，若直线方程为，点M，则，所以C错误；
对于D项，若直线方程为，与椭圆方程联立，消去,
得到，整理得：，解得，
所以，所以D正确；
故选：BD.
11．【正确答案】ACD
【分析】利用直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式逐项进行分析验证即可求解.
【详解】由，得，
即，即，
所以曲线表示以，为圆心，为半径的两个圆，如图所示.

设过点A且与圆N相切的直线方程为，则点N到该直线的距离，解得，，
即图中直线AC的斜率为1，直线AD的斜率为.直线AO的斜率为.
直线AC的方程为，点M到直线AC的距离，则直线AC与圆M相切于点B.
在直线l绕着点从直线AC顺时针旋转到直线AO的过程中，直线l与曲线的公共点个数都为4（不包括直线AC与直线AO的位置）；
在直线l绕着点从直线AO顺时针旋转到直线AD的过程中，直线l与曲线的公共点个数也都为4（不包括直线AO与直线AD的位置）.
所以当直线l与曲线的公共点个数为4时，直线l斜率的取值范围为.故选项C正确；
设过点A且与圆M相切的直线方程为，则点M到该直线的距离，解得，，
由图可知，当直线l与曲线有2个公共点时，直线l斜率的取值范围为.故选项A正确；
由图可知，直线AO与曲线的公共点个数为3，直线AD与曲线的公共点个数也为3，直线与曲线的公共点个数为1，
所以当直线l与曲线有奇数个公共点时，直线l斜率的取值共有3个，故选项B错误；
因为过原点O的任意直线与曲线的公共点的个数为1或3，
所以存在定点Q（Q与O重合），使得过Q的任意直线与曲线的公共点的个数都不可能为2，故选项D正确；
故选：ACD.
12．【正确答案】
【分析】
设出直线的方程与抛物线方程联立，根据已知等式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.
【详解】
因为，所以直线AB存在斜率，设为，
抛物线焦点F的坐标为，所以直线AB的方程为：，与抛物线联立为：，
设，，所以有，
因为点A在第一象限，且，
所以，因此有，
设直线AB的倾斜角为，所以，解得：
故
13．【正确答案】
【分析】先求出直线过定点，数形结合得到当与直线垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短，求出最短弦长.
【详解】变形为，故直线过定点，
故当与故直线垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短，
其中的圆心为，半径为2，
此时弦长为.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】设，焦点，.
因为为钝角，所以，
即.
整理得.
因为点Mx,y在椭圆上，
代入得解得
又因为，所以点纵坐标的取值范围.
故答案为.
15．【正确答案】（1） ；（2）和
【详解】（1）联立，得，则圆C的圆C坐标为．
因为圆C的半径为1，所以圆的方程为：．
（2）如果不存在，则方程为，是圆的切线；如果斜率存在，设切线方程为：，即．运用距离公式，解得．方程为．
综上所述切线方程为：和．
16．【正确答案】
根据椭圆的方程和题意，得到双曲线的焦点坐标，求出，再由等轴双曲线的性质，以及，即可求出结果；
先讨论所在直线斜率不存在时，根据题意，可直接排除；再讨论所在直线斜率存在时，联立直线与双曲线方程，根据韦达定理，以及中点坐标公式，即可求出结果.
【详解】由已知椭圆
得双曲线的焦点为，即，
由等轴双曲线的性质及，
则
所求双曲线的方程为
当所在直线斜率不存在时，由对称性可知，中点不可为，
故此时不满足题意;
当所在直线斜率存在时，设所在直线的方程为，
联立方程组得
①
点在所在的直线上，即 ②.
联立①②两式，解得，
经检验，直线方程即为所求.
17．【正确答案】(1)模型中与的相关性较强.
(2)（i）；（ii）27.1亿元.
【详解】（1）由题意知
.
因为，所以，
故从样本相关系数的角度，模型中与的相关性较强.
（2）（i）由，得，即.
因为，
所以，
故关于的经验回归方程为，即
,所以.
（ii）将代入得.
，故得，解得，
故预测下一年的研发资金投入量是27.1亿元.
18．【正确答案】(1)
(2)证明见详解
【详解】（1）因为点P，Q为C上关于坐标原点O对称的两点，且，所以四边形为矩形，且.

所以，由椭圆定义与勾股定理知，
所以，所以，所以.
又，解得.
所以，故椭圆C的标准方程为.
（2）因为，所以可设直线的方程为.
联立方程组，消去x化简并整理得.
设，，可得，.
因为A−2,0，所以直线的方程为y=y1x1+2x+2.
设点M，N的纵坐标分别为，，令，可得，同理可得.
所以
.
所以M，N两点的纵坐标之积为定值.
【方法总结】利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为，；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为（或）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由，则，
设切点为x1,fx1，则，即，
又，即，
则，解得或，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，由，即.
综上所述，.
（2）证明：由，则，
令，则，
当时，，单调递增，没有最小值，不满足题意；
当时，考虑这一侧，有，
则当时，，不满足题意；
当时, 恒成立, f′x在R上单调递增，
取即有f′x>0；
当时，有，则当时，f′x