2025江苏省四市十一校联盟高二上学期12月阶段联测试题数学含解析

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（考试时间120分钟 总分150分）
命题：东台市唐洋中学 张贤宏 审核：东台市第一中学 练玉娟 邹霞
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线与垂直，则（ ）
A 0B. 1C. 2D.
2. 双曲线焦点到渐近线的距离为（ ）
A. B. 2C. D.
3. 已知数列1，，，，3，…，按此规律，是该数列的（ ）
A. 第11项B. 第12项C. 第13项D. 第14项
4. 以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知点，抛物线上有一点，则的最小值是（ ）
A. 10B. 8C. 5D. 4
6. “天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点P向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线，则就是“天问一号”在点P时对火星的观测角．图（2）所示的Q，R，S，T四个点处，对火星的观测角最大的是（ ）
A. QB. RC. SD. T
7. 将正整数分解为两个正整数、的积，即，当、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为20的最优分解，当、是的最优分解时，定义，则数列的前2024项的和为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知是圆一条弦，，是的中点.当弦在圆上运动时，直线上总存在两点，，使得为钝角，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.全对得6分，部分对得部分分.
9. 已知曲线，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则曲线C为椭圆
B. 若，则曲线C为双曲线
C. 若曲线C为椭圆，则其长轴长一定大于2
D. 若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于大于1
10. 已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 中存在连续三项成等差数列
C. 中存在连续三项成等比数列D. 数列的前项和
11. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是椭圆上异于，的一点，且（为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则（ ）
A. B. 的离心率为C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 下列条件中，哪两个条件组合一定能得到抛物线的标准方程为的是______（填序号）（写出一个正确答案即可）.
①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为；④焦点到准线的距离为；⑤由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为.
13. 已知数列满足，，且.若是数列的前项积，求的最大值为______.
14. 如图所示，已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，，且三点共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为_________．

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知双曲线的离心率，实轴长.
（1）求的方程；
（2）过右焦点且倾斜角为的直线交于，两点，求；
16. 在等比数列中，，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
17. 如图，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦.
（1）当时，求的长；
（2）是否存在弦被点平分？若存在，写出直线的方程；若不存在，请说明理由.
（3）是过点另一条弦，当与始终保持垂直时，求的最大值.
18. 已知椭圆的一个焦点，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）过焦点作轴的垂线交椭圆上半部分于点，过点作椭圆的弦在椭圆上且直线的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
（3）在第（2）问的条件下，当面积最大时，求直线MN的方程.
19. 若数列满足（为正整数，为常数），则称数列为等方差数列，为公方差.
（1）已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由；
（2）若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列.
（3）若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在（1）的条件下，在与之间依次插入数列中的项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和.