江苏省南通市海门中学2024-2025学年高一（上）数学第16周阶段性训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏省南通市海门中学2024-2025学年高一（上）数学第16周阶段性训练模拟练习【含答案】，共19页。试卷主要包含了函数f，函数的零点个数为，函数在定义域内的零点个数是，已知f等内容，欢迎下载使用。
1．函数f（x）＝lgx+x的定义域为，则值域为（ ）
A．B．C．D．[﹣9，11]
2．函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．函数f（x）＝的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知正数x，y满足3x﹣4＝9y，则的最小值为（ ）
A．8B．12C．D．
5．已知关于x的不等式2x2﹣mx+n＜0的解集是（2，3），则m+n的值是（ ）
A．﹣2B．2C．22D．﹣22
6．函数在定义域内的零点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m＝（ ）
A．0B．1C．2D．4
8．定义域为R的函数，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c＝0恰有5个不同的实数解x1，x2，x3，x4，x5，则f（x1+x2+x3+x4+x5）等于（ ）
A．1B．2lg2C．3lg2D．0
9．设a＝lg0.20.3，b＝lg23，c＝lg34，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．b＞c＞a
二．多选题（共9小题）
（多选）10．已知f（x）＝x2+x+m，下列命题正确的是（ ）
A．命题“∀x＞0，f（x）＞0”的否定是“∃x≤0，使得f（x）≤0成立”
B．若命题“∀x∈R，f（x）＞0恒成立”为真命题，则
C．“m＜0”是“方程f（x）＝0有实数解”的充分不必要条件
D．若命题“∃x∈（﹣1，1），f（x）＞0”为真命题，则m＞﹣2
（多选）11．已知函数，则（ ）
A．f（x）为奇函数
B．当x∈[m，n]（m＞0）时，f（x）的最小值为
C．当x∈[m，n]（m＞0）时，f（x）的最小值为f（m）
D．函数f（x）在[m，n]（m＞0）存在零点的充要条件是a∈[﹣n2，﹣m2]
（多选）12．对于实数a，b，c，正确的命题是（ ）
A．若a＞b，则
B．若a＞b＞0，则
C．若，则a＞0，b＜0
D．若a＞b＞0，c＞0，则
（多选）13．已知函数和函数，下列说法中正确的有（ ）
A．函数f（x）与函数g（x）图象关于直线y＝x对称
B．函数f（x）与函数g（x）图象只有一个公共点
C．记h（x）＝f（x）﹣g（x），则函数h（x）为减函数
D．若函数y＝|g（x﹣1）|﹣a有两个不同的零点x1，x2，则
（多选）14．已知函数，若f（a2）≥8﹣f（2a﹣3），则实数a可以取的值是（ ）
A．B．C．1D．
（多选）15．已知函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），则（ ）
A．f（x）在其定义域内单调递增
B．f（x）在其定义域内存在最大值
C．y＝f（x）有两个零点
D．y＝f（x）的图像关于直线x＝1对称
（多选）16．已知f（x）＝，则下列结论正确的是（ ）
A．f（f（1））＝﹣3
B．函数f（x）单调递增区间为（﹣1，0）∪（0，+∞）
C．当﹣4＜k≤﹣3时，方程f（x）＝k有三个不等实根
D．当且仅当k＞﹣3时，方程f（x）＝k有两个不等实根
（多选）17．下列命题中正确的有（ ）
A．f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm是幂函数，且在（0，+∞）单调递减，则m＝﹣1
B．的单调递增区间是（1，+∞）
C．的定义域为R，则a∈[0，4]
D．的值域是（﹣∞，5]
（多选）18．已知定义在R上的函数f（x）满足，且当﹣1≤x＜0时，f（x）＝2x，则（ ）
A．f（x）是周期为2的周期函数
B．当4≤x＜5时，f（x）＝﹣24﹣x
C．f（x）的图象与g（x）＝lg0.5x的图象有两个公共点
D．f（x）在（2022，2024）上单调递增
三．填空题（共3小题）
19．幂函数f（x）满足下列性质：（1）对定义域中任意的x，有f（x）＝f（﹣x）；（2）对（0，+∞）中任意的x1，x2（x1≠x2），都有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＜0，请写出满足这两个性质的一个幂函数的表达式f（x）＝ ．
20．若x＞0，y＞0，x+2y＝1，则的最大值为 ．
21．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为 ．
四．解答题（共7小题）
22．已知函数．
（1）证明函数f（x）有且只有两个不同的零点；
（2）已知n∈Z，设函数f（x）的两个零点为x1，x2（x1＜x2），试判断下列四个命题的真假，并说明理由：
①；②；③；④．
23．已知函数f（x）＝x﹣（m+5）lg2x+m+8的定义域为[4，16]．
（1）如果不等式f（x）＞0恒成立，求实数m的取值范围；
（2）如果函数y＝f（x）存在两个不同的零点x1，x2（x1＜x2）．
①求实数m的取值范围；②求的最大值．
24．已知函数．
（1）怎样将函数的图象平移得到函数y＝f（x）的图象？
（2）判断并证明函数y＝f（x）在[0，1）上的单调性，并求函数y＝lg3f（x）在上的值域．
25．已知函数f（x）＝3x+a•3﹣x为偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的不等式f（2x）﹣mf（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设函数g（x）＝f（x）+x﹣3﹣x﹣3的零点为x0，求证：．
26．已知函数f（x）＝﹣2x2+2ax+2a+1，a∈R．
（1）若函数f（x）在区间（0，1）上有且仅有1个零点，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值为，求a的值．
27．已知函数．
（1）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数；
（2）探索函数f（x）的单调性；
（3）在（1）的前提下，若对∀x∈R，不等式f（f（x））+f（3﹣m）＞0恒成立，求m的取值范围．
28．已知x＝1是函数g（x）＝ax2﹣3ax+2的零点，．
（1）求实数a的值；
（2）若方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．【解答】解：f（x）＝lgx+x在上单调递增，
，f（10）＝lg10+10＝11，
故所求值域为．
故选：A．
2．【解答】解：令＝0，
则2﹣x＝3﹣x2，
作函数y＝2﹣x与y＝3﹣x2的图象如图，
∵两个函数图象有两个交点，
∴函数的零点个数是2，
故选：C．
3．【解答】解：因为f（﹣x）＝＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，
因为f（1）＝0，0＜x＜1时，f（x）＜0，所以排除B．
故选：A．
4．【解答】解：因为正数x，y满足3x﹣4＝9y＝32y，
所以x﹣4＝2y，即x＝2y+4，
则＝2y++4＝12，
当且仅当2y＝，即y＝2，x＝8时取等号，此时的最小值为12．
故选：B．
5．【解答】解：∵关于x的不等式2x2﹣mx+n＜0的解集是（2，3），
∴2和3是2x2﹣mx+n＝0的根，
∴2+3＝，2×3＝，∴m＝10，n＝12，m+n＝22，
故选：C．
6．【解答】解：因为函数分别是R上的单调减函数和单调增函数，
则函数是R上的单调递减函数，
而，f（0）＝﹣1＜0，
由零点存在定理可得函数f（x）在R上的零点个数是1．
故选：B．
7．【解答】解；∵，
∴可令，则，
∴g（x）为定义在R上的奇函数，∴g（x）max+g（x）min＝0，
则M﹣2+m﹣2＝0，∴M+m＝4．
故选：D．
8．【解答】解：对于程f2（x）+bf（x）+c＝0来说，最多两个不同的f（x），
又当x≠2时，f（x）＝lg|x﹣2|的图象关于x＝2对称，f（x）＝lg|x﹣2|＝m最多2个解，
由f2（x）+bf（x）+c＝0恰有5个不同的实数解x1，x2，x3，x4，x5可知x＝2是其中一个实数解，且其他实数解关于x＝2对称，
所以x1+x2+x3+x4+x5＝4+2+4＝10，
故f（x1+x2+x3+x4+x5）＝f（10）＝lg8＝3lg2．
故选：C．
9．【解答】解：因为32＞23，
所以lg232＞lg223，即2lg23＞3，
所以b＝lg23，
因为42＜33，
所以lg342＜lg333＝3，即2lg34＜3，
所以c＜，
同时c＝lg34＞1，
所以1＜c＜，
而a＝lg0.20.3＜1，
所以b＞＞c＞1＞a．
故选：D．
二．多选题（共9小题）
10．【解答】解：根据含有量词的命题的否定可知，∀x＞0，f（x）＞0的否定是∃x＞0，使得f（x）≤0，A错误；
命题“∀x∈R，f（x）＞0恒成立”为真命题，则Δ＝1﹣4m＜0，即m＞，B正确；
若f（x）＝0有实数解，则Δ＝1﹣4m≥0，即m，
当m＜0时，方程f（x）＝0一定有解，但方程有解时，m＜0不一定成立，即m＜0是方程f（x）＝0有实数解的充分不必要条件，C正确；
命题“∃x∈（﹣1，1），f（x）＞0”为真命题，则m＞﹣x2﹣x在（﹣1，1）有解，
令g（x）＝﹣x2﹣x，
所以m＞g（﹣1）＝﹣2，D正确．
故选：BCD．
11．【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x）＝x+（a≠0），其定义域为{x|x≠0}，
有f（﹣x）＝﹣x﹣＝﹣（x+）＝﹣f（x），f（x）为奇函数，A正确；
对于B，当a＜0时，f（x）＝x+在[m，n]上递增，f（x）的最小值为f（m），B错误；
对于C，当m＜n≤且a＞0时，f（x）＝x+在[m，n]上递减，f（x）的最小值为f（n），C错误；
对于D，若函数f（x）在[m，n]（m＞0）存在零点，则有f（m）f（n）≤0，
则有（m+）（n+）＝（m2+a）（n2+a）≤0，
又由n＞m＞0，则（m2+a）（n2+a）≤0，解可得：﹣n2≤a≤﹣m2，即a∈[﹣n2，﹣m2]，
故函数f（x）在[m，n]（m＞0）存在零点的充要条件是a∈[﹣n2，﹣m2]，D正确．
故选：AD．
12．【解答】解：对于A，∵a＞b，
∴，，即，故A正确，
对于B，∵a＞b＞0，
∴，，则，故B正确，
对于C，令a＝2，b＝3，满足，但a＞0，b＞0，故C错误，
对于D，∵a＞b＞0，c＞0，
∴＝＝＞0，即，故D正确．
故选：ABD．
13．【解答】解：A．因为函数和函数互为反函数，所以关于y＝x对称，故正确；
B．由指数函数和对数函数的图象可知f（x）与g（x）的图象只有一个交点，故正确；
C．h（x）＝f（x）﹣g（x）＝，则有h（1）＝﹣0＝，h（2）＝＞＝h（1），所以h（x）不是减函数，故错误；
D．y＝|g（x﹣1）|﹣a＝﹣a＝0有两个根x1，x2，设x1＜x2，
则有﹣＝，
所以，
所以1＝x1x2﹣x1﹣x2+1，
所以x1x2＝x1+x2，
所以有，故正确．
故选：ABD．
14．【解答】解：函数，
可得f（﹣x）+f（x）＝x3+3x++3﹣x3﹣3x++3＝+6＝8，
不等式f（a2）≥8﹣f（2a﹣3）即为f（a2）+f（2a﹣3）≥8＝f（2a﹣3）+f（3﹣2a），
所以f（a2）≥f（3﹣2a），
又函数，
当x≥0时，y＝﹣x3﹣3x递减，y＝递减，可得f（x）在[0，+∞）递减，
又f（x）的图象关于点（0，4）对称，可得f（x）在R上递减，
所以a2≤3﹣2a，
解得﹣3≤a≤1，
故选：CD．
15．【解答】解：由题意，，解得0＜x＜2．
∴函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x）的定义域为（0，2），
f（x）＝ln[x（2﹣x）]＝ln[﹣（x﹣1）2+1]，
由复合函数的单调性可知，函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x）在（0，1）单调递增，在（1，2）单调递减，故选项A错误；
且当x＝1时，函数取得最大值为f（1）＝ln1+ln1＝0．故选项B正确；
令f（x）＝0，解得x＝1，即函数f（x）只有一个零点，故选项C错误；
因为函数﹣（x﹣1）2+1的对称轴为x＝1，则函数f（x）关于直线x＝1对称，故选项D正确；
故选：BD．
16．【解答】解：f（f（1））＝f（﹣2）＝（﹣2）2+2×（﹣2）﹣3＝4﹣4﹣3＝﹣3，故A正确；
作出函数f（x）的图象，如图所示，
由图象可知，函数f（x）在（﹣1，0）和（0，+∞）上单调递增，由于函数图象不连续，故不能用“∪”的符号，故B错误；
由图象可知，当﹣4＜k≤﹣3时，函数f（x）的图象与y＝k的图象有3个不同的交点，故方程f（x）＝k有三个不等实根，C正确；
由图可知，当k＞﹣3或﹣4＜k＜﹣3时，函数f（x）的图象与y＝k的图象有2个不同的交点，方程f（x）＝k有两个不等实根，故D选项说法正确；
故选：ACD．
17．【解答】解：对于A：f（x）是幂函数，则m2﹣m﹣1＝1，得m＝2或m＝﹣1，又f（x）在（0，+∞）单减，故m＝﹣1，对；
对于B：由复合函数单调性有x2﹣2x＞0且x≥1，所以单增区间是（2，+∞），错；
对于C：定义域为R，则a＝0或，错；
对于D：令，则f（x）＝y＝﹣t2+2t+4＝﹣（t﹣1）2+5≤5，对．
故选：AD．
18．【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由已知可得，所以，f（x）是周期为2的周期函数，故A正确；
对于B项，∀x∈[0，1），则x﹣1∈[﹣1，0）．
由已知可得，f（x﹣1）＝2x﹣1．
又，
所以，．
又f（x）的周期为2，所以f（x）＝f（x﹣4）．
∀x∈[4，5），则x﹣4∈[0，1），f（x﹣4）＝﹣21﹣（x﹣4）＝﹣2﹣x+5，
所以，f（x）＝f（x﹣4）＝﹣2﹣x+5．故B错误；
对于C项，由A、B可知，当﹣1≤x＜0时，f（x）＝2x；
当x∈[0，1）时，f（x）＝﹣21﹣x，且f（x）的周期为2．
作出函数y＝f（x）以及y＝g（x）的图象，
显然，当x＜2时，f（x）的图象与g（x）＝lg0.5x的图象没有交点．
又f（4）＝f（2）＝f（0）＝﹣2，g（2）＝lg0.52＝﹣1，g（4）＝lg0.54＝﹣2＝f（4），
由图象可知，f（x）的图象与g（x）＝lg0.5x的图象有两个公共点，故C项正确；
对于D项，∀x∈[1，2），则x﹣2∈[﹣1，0），f（x﹣2）＝2x﹣2．
又f（x）的周期为2，所以f（x）＝f（x﹣2）＝2x﹣2在[1，2）上单调递增．
当x∈[0，1）时，f（x）＝﹣21﹣x，显然f（x）＝﹣21﹣x在[0，1）上单调递增．
且，
所以，f（x）在[0，2）上单调递增．
根据函数的周期性可知，f（x）在（2022，2024）上单调递增．故D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共3小题）
19．【解答】解：由题意知幂函数f（x）满足性质：对定义域中任意的x，有f（x）＝f（﹣x），则函数为偶函数，
又函数满足对（0，+∞） 中任意的x1，x2（x1≠x2），都有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＜0，
可知函数为（0，+∞）上的单调递减函数，
故f（x）＝x﹣2 满足题目中要求．
故答案为：f（x）＝x﹣2（答案不唯一）．
20．【解答】解：因为xy≠0，所以＝，
又x＞0，y＞0，x+2y＝1，
所以，
当且仅当，即时取等号，
故的最大值为．
故答案为：．
21．【解答】解：当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，此时f（x）∈[1，+∞），
当a＝0且x＜0时，f（x）＝x，
此时f（x）∈（﹣∞，0），且（﹣∞，0）∪[1，+∞）≠R，所以不满足；
当a＞0且x＜0时，，
由对勾函数单调性可知f（x）在上单调递增，在上单调递减，
所以，此时，
若要满足f（x）的值域为R，只需要，解得a≥1；
当a＜0且x＜0时，因为均在（﹣∞，0）上单调递增，
所以在（﹣∞，0）上单调递增，且x→0时，f（x）→+∞，x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，
所以此时f（x）∈（﹣∞，+∞），此时显然能满足f（x）的值域为R；
综上可知，a的取值范围是（﹣∞，0）∪[1，+∞），
故答案为：（﹣∞，0）∪[1，+∞）．
四．解答题（共7小题）
22．【解答】解：（1）证明：由题意可知函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
且在（﹣∞，0），（0，+∞）上均单调递增且连续，
，，
，
故f（x）在内有唯一零点；
又，
则f（1）f（2）＜0，故f（x）在（1，2）内有唯一零点；
综上，函数f（x）有且只有两个不同的零点；
（2）①③为真命题；②④为假命题，理由如下：
设函数f（x）的两个零点为x1，x2（x1＜x2），
由（1）可知，
故，
又f（1）＝﹣1＜0，
，即，
故，，
故①③为真命题；②④为假命题．
23．【解答】解：（1）令t＝lg2x，x∈[4，16]，则t∈[2，4]，
g（t）＝t2﹣（m+5）t+m+8，t∈[2，4]，
由f（x）＞0恒成立知g（t）＞0在t∈[2，4]上恒成立，
即t2﹣（m+5）t+m+8＞0在t∈[2，4]上恒成立，
即t2﹣5t+m（1﹣t）+8＞0在t∈[2，4]上恒成立，
所以m＜在t∈[2，4]上恒成立，
设h（t）＝，t∈[2，4]，
h（t）＝＝（t﹣1）﹣3+，t∈[2，4]，
令u＝t﹣1，t∈[2，4]，则u∈[1，3]，
函数y＝u+在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增，
所以当u＝2时，函数y＝u+取到最小值4，
所以函数h（t）＝＝（t﹣1）﹣3+，t∈[2，4]，最小值为1，
所以m＜1，
所以m的取值范围为（﹣∞，1）．
（2）①f（x）存在两个不同零点，则转化为t2﹣（m+5）t+m+8＝0在（2，4）上有两个不等实数根，
所以，即，
解得1＜m≤，
所以m的取值范围为（1，]．
②根据题意可得t2﹣（m+5）t+m+8＝0有两个根t1，t2，且t1＝lg2x1，t2＝lg2x2，
所以t1＝，t2＝，
所以lg2x1＝，lg2x2＝，
所以x1＝，x2＝，
所以＝＝，
因为1＜m≤，
所以m2+6m﹣7∈（0，]，
所以∈（0，]，
所以∈（1，]，
所以∈（1，]，
所以（）3∈（1，32]，
令s＝（）3，则s∈（1，32]，
所以＝＝＝1﹣∈（0，]．
所以的最大值为．
24．【解答】解：（1）f（x）＝＝＝﹣1+，
所以将的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位（或先向下再向左），可以得到函数y＝f（x）的图象．
（2）f（x）在[0，1）上单调递减．
证明：任取x1，x2∈[0，1），且x1＜x2，，
故f（x1）＞f（x2），所以f（x）在[0，1）上单调递减；
同理可证f（x）在上单调递减，所以g（x）＝lg3f（x）在上单调递减，，
所以y＝lg3f（x）在上的值域为[﹣1，1]．
25．【解答】解：（1）由f（x）＝f（﹣x）得3﹣x+a•3x＝3x+a•3﹣x恒成立，得a＝1；
（2）设3﹣x+3x＝t，则t∈[2，+∞），
不等式f（2x）﹣mf（x）≥0⇔t2﹣mt﹣2≥0恒成立，
所以对t∈[2，+∞）恒成立，
因为在[2，+∞）上单调递增，
所以，
即m的取值范围为（﹣∞，1]；
（3）证明：g（x）＝3x+x﹣3，g（x）在R单调递增，
且，
g（x）在R上连续，所以由零点存在定理存在x0∈（lg32，lg32.5），使得g（x0）＝0，
又因为f（x）在（lg32，lg32.5）上单调递增，
所以f（lg32）＜f（x0）＜f（lg32.5），
即．
26．【解答】解：（1）当Δ＝4a2﹣4×（﹣2）•（2a+1）＝0，解得a＝﹣2±，
则此时f（x）＝0的解为x＝＝﹣1±∉（0，1）；
又f（x）在（0，1）连续，且f（x）的图象为抛物线，
由f（0）f（1）＜0，即（2a+1）（4a﹣1）＜0，
解得﹣＜a＜，
所以a的取值范围是（﹣，）；
（2）f（x）＝﹣2x2+2ax+2a+1的对称轴为x＝，
当≥1即a≥2时，f（x）在[﹣1，1]递增，可得最大值为f（1）＝4a﹣1＝，解得a＝不成立；
当≤﹣1即a≤﹣2时，f（x）在[﹣1，1]递减，可得最大值为f（﹣1）＝﹣1不成立；
当﹣1＜＜1，即﹣2＜a＜2时，f（x）的最大值为f（）＝+2a+1＝，解得a＝﹣2+（﹣2﹣舍去），
所以a＝﹣2+．
27．【解答】解：（1）假设存在实数a使函数f（x）为奇函数，
此时，解得a＝1，
故存在实数a＝1，使函数f（x）为奇函数；
（2）函数f（x）的定义域为R，∀x1，x2∈R，且，
∵，
∴f（x1）＜f（x2），
即函数f（x）在R上单调递增；
（3）当a＝1时，，
∵f（x）是奇函数，
∴f（f（x））+f（3﹣m）＞0⇔f（f（x））＞﹣f（3﹣m）⇔f（f（x））＞f（m﹣3），
又∵f（x）在R上单调递增，∴f（x）＞m﹣3，
∴，对∀x∈R恒成立，
∵ex＞0，∴ex+1＞1，∴，
∴2＜4﹣＜4，
∴m≤2，
即m的取值范围为（﹣∞，2]．
28．【解答】解：（1）∵x＝1是函数g（x）＝ax2﹣3ax+2的零点
∴g（1）＝a﹣3a+2＝2﹣2a＝0，解之得a＝1；
（2）由（1）得g（x）＝x2﹣3x+2，则，
则方程
可化为，
∵x≠0，∴两边同乘|2x﹣1|得：|2x﹣1|2﹣（3+3k）|2x﹣1|+3k+2＝0，则此方程有三个不同的实数解．
令t＝|2x﹣1|则t＞0，则t2﹣（3+3k）t+3k+2＝0，解之得t＝1或t＝3k+2，
当t＝1时，|2x﹣1|＝1，得x＝1；
当t＝3k+2时，|2x﹣1|＝3k+2，则此方程有两个不同的实数解，
则0＜3k+2＜1，解之得．
则实数k的取值范围为（﹣，﹣）．