江苏省南通市汇龙中学2024-2025学年高二（上）数学第17周阶段性训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏省南通市汇龙中学2024-2025学年高二（上）数学第17周阶段性训练模拟练习【含答案】，共26页。试卷主要包含了已知MN是圆O，若直线x+my﹣1＝0被圆C，已知圆C1等内容，欢迎下载使用。
1．已知数列{an}满足，且a2＝1，则a6＝（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
2．已知等差数列{an}的首项为10，公差为﹣2，则数列{an}的前n项和的最大值为（ ）
A．B．30C．80D．不存在
3．已知椭圆的一个焦点是F，过原点的直线与C相交于点A，B，△ABF的面积是20，则|AB|＝（ ）
A．5B．C．D．10
4．已知MN是圆O：x2+y2＝4的一条弦，∠MON＝60°，P是MN的中点．当弦MN在圆O上运动时，直线l：y＝x﹣4上总存在两点A，B，使得∠APB为钝角，则|AB|的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．m＜﹣3D．m＞2
6．已知椭圆，直线l与椭圆在第二象限交于A，B两点，与两坐标轴分别交于C，D两点，且|AC|＝|BD|，则直线l的斜率为（ ）
A．B．C．D．
7．若直线x+my﹣1＝0被圆C：（x﹣a+1）2+（y+a）2＝4（a∈R）截得的弦长为定值，则实数m的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
8．设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．（1，1）B．（﹣1，2）C．（2，﹣3）D．（﹣1，﹣3）
二．多选题（共3小题）
（多选）9．设数列{an}的前n项和为Sn，则数列{an}为常数列（各项均为同一个常数的数列）的一个充分条件是（ ）
A．Sn＝n
B．Sn+1＝Sn+1
C．Sn＝nan
D．Sn+1＝2Sn﹣Sn﹣1（n≥2），a1＝a2
（多选）10．已知圆C1：x2+y2﹣2x＝0与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣m）2＝4（m＞0），则（ ）
A．过点C1作圆C2的切线只有1条，则
B．若圆C1与圆C2有且只有2条公切线，则0＜m＜3
C．当m＝2时，两圆的一条公切线方程为3x﹣4y﹣8＝0
D．当m＝2时，两圆的公共弦长为
（多选）11．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（x2+y2）2＝8（y2﹣x2），点P在曲线C上，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C关于原点对称
B．直线y＝2x与曲线C有3个公共点
C．点P的纵坐标的取值范围是[﹣2，2]
D．|PO|的最大值为
三．填空题（共5小题）
12．定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项加上它的前一项所得的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和．已知数列{an}是等和数列，a5＝﹣1，a10＝8，则公和为 ．
13．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，Q为圆M：x2+（y﹣5）2＝4上的动点，点A（0，4），则＝ ；若P为C上的动点，则的最小值为 ．
14．已知曲线E：x2+y2﹣xy＝6是椭圆，则该椭圆的离心率为 ；P为E上任意一点，P与点之间的距离的最大值为 ．
15．已知抛物线C：y2＝12x的焦点为F定点A（6，4），B为C上一动点，则△ABF周长的最小值为 ．
16．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（x1，y1），B（x2，y2），定义d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为“曼哈顿距离”．若d（O，P）＝2，则点P的轨迹所围成图形的面积为 ，若椭圆C：+y2＝1（a＞0）上有且仅有8个点P满足d（O，P）＝2，则椭圆C的离心率的取值范围是 ．
四．解答题（共9小题）
17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S5＝30．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记，n∈N*，若b1，b2，b3成等差数列，求c并证明{bn}为等差数列．
18．已知P为圆M：（x+1）2+y2＝16上任意一点，点N（1，0），线段PN的垂直平分线与PM交于点Q，记点Q的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）过点N作直线l（与x轴不重合）与C相交于点D，E，直线l与y轴交于点B，，求l的方程．
19．已知等轴双曲线的左、右焦点分别F1，F2，且焦距为，A，B分别是Γ在第二象限和第一象限上的一点，且AF1∥BF2．
（1）求Γ的方程；
（2）若直线AB的斜率为，求直线AF1的斜率；
（3）若四边形AF1F2B的面积为，求直线AF1的方程．
20．记等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d1（d1≠0）．
（1）证明：Sn是关于n的不含常数项的二次函数；
（2）等差数列{bn}的公差为d2，且Sn＝anbn．
①求{bn}的通项公式；
②记数列{cn}的前n项和为Tn，是否存在d1∈Z，k∈N*，使得？若存在，求d1，k；若不存在，请说明理由．
21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点为，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l经过F且与椭圆C交于M，N两点，证明：当且仅当直线l与圆x2+y2＝b2相切时，|MN|＝．
22．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为2，E，F分别是AC，CC1的中点．
（1）证明：平面BEF⊥平面AA1C1C；
（2）求直线A1B与平面BEF所成角的余弦值．
23．已知双曲线C：﹣y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2．
（1）若直线l：x﹣2y+2＝0与双曲线C交于P，Q两点，求线段PQ的长；
（2）若双曲线C上存在两点A，B，满足，求直线F1A的斜率．
24．若动点P到点F（0，1）的距离比它到直线y＝﹣2的距离小1．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过轨迹C上一点A作直线l交y轴正半轴于点D，且|FA|＝|FD|．若直线l1∥l，直线l1与轨迹C有且仅有一个公共点E，证明直线AE过定点，并求出定点坐标．
25．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为．
（1）求C的方程；
（2）如图，过点O的直线l（异于y轴）与C交于点P，Q，过左焦点F作直线PQ的垂线交圆x2+y2＝a2于点M，N，垂足为T．
①若点A（﹣4，0），设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值；
②记△PTN，△QTM的面积分别为S1，S2，求的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：由，且a2＝1，
a3＝a2+1＝2，a4＝﹣a3+1＝﹣1，
a5＝a4+1＝﹣1+1＝0，
a6＝﹣a5+1＝0+1＝1．
故选：C．
2．【解答】解：由题意可知：an＝10﹣2（n﹣1）＝12﹣2n，且数列{an}为递减数列，
当n≤5时，an＞0；当n＝6时，an＝0；当n≥7时，an＜0；
所以数列{an}的前n项和的最大项数为5或6，最大值为S5＝5a3＝30．
故选：B．
3．【解答】解：由题可得c2＝45﹣20＝25，故c＝5，则|OF|＝5，
因为△ABF的面积为20，所以△AOF面积为10，
设A（xA，yA），
则：|OF|•|xA|＝10，
解得：|x4|＝4，将|x4|＝4代入方程中，
解得：|yA|＝3，故，
则|AB|＝2|OA|＝10．
故选：D．
4．【解答】解：因为P为MN的中点，所以OP⊥MN，
又因为∠MON＝60°，所以三角形OMN为正三角形，所以|OP|＝，
即点P在以O为圆心，以1为半径的圆上，点P所在圆的方程为x2+y2＝3，
要使得∠APB为钝角恒成立，则点P所在的圆在以AB为直径的圆的内部，而AB在直线l：y＝x﹣4上，
C到直线l：y＝x﹣4的距离d＝＝2，
所以以AB为直径的圆的半径的最小值为r＝2，
所以AB的最小值为2r＝4．此时∠APB为直角，
所以|AB|的取值范围是（4，+∞）．故选：D．
5．【解答】解：方程表示焦点在y轴上的椭圆，
则3+m＞2﹣m＞0，解得．
故选：B．
6．【解答】解：由直线l与椭圆在第二象限交于A，B两点知，
直线的斜率k存在且k＞0，设直线方程为y＝kx+b（k＞0），
则，D（0，b），
设A（x1，y1），B（x2，y2），其中点为M（x0，y0），如图，
则有，两式相减可得，
即，
因为|AC|＝|BD|，所以M也是CD的中点，
所以k，
解得．
故选：A．
7．【解答】解：因为圆C：（x﹣a+1）2+（y+a）2＝4（a∈R）的圆心为（a﹣1，﹣a），半径为2，
要使弦长为定值，则需圆心到直线的距离为定值，
即为定值，
所以m﹣1＝0，解得m＝1．
故选：C．
8．【解答】解：因为双曲线方程为，
所以a＝1，b＝2，，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
此时，，
两式相减并整理得，
因为，
所以≠±2，
因为点 （﹣1，2）对应，故选项B错误；
点（2，4）对应，故选项C错误；
点（1，1）对应，
所以，
此时直线AB的方程为y﹣1＝4（x﹣1），
即y＝4x﹣3，
联立，消去y并整理得﹣12x2+24x﹣13＝0，
此时Δ＝242﹣4×12×13＝﹣48＜0，
所以方程组无解，故选项A错误；
因为点（﹣1，﹣3）对应，
所以，
此时直线AB的方程为，
即，
联立，消去y并整理得20x2+40x﹣61＝0，
此时Δ＝402+4×20×61＝6480＞0，故选项D正确．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
9．【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若Sn＝n，当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝1，
则有an＝1，数列{an}为常数列，符合题意；
对于B，数列{an}的通项公式为an＝，满足Sn+1＝Sn+1，但数列{an}不是常数列，不符合题意；
对于C，若Sn＝nan，则Sn﹣1＝（n﹣1）an﹣1，（n≥2）
则有Sn﹣Sn﹣1＝nan﹣（n﹣1）an﹣1，变形可得nan＝nan﹣1，即an＝an﹣1，（n≥2），
故数列{an}为常数列，符合题意；
对于D，若Sn+1＝2Sn﹣Sn﹣1（n≥2），变形可得Sn+1﹣Sn＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2），即an＝an﹣1，（n≥2），
故数列{an}为常数列，符合题意．
故选：ACD．
10．【解答】解：圆C1的标准方程为（x﹣1）2+y2＝1，圆心C1（1，0），半径为r1＝1，
圆，圆心C2（2，m），半径为r2＝2，
对于A选项，若过点C1作圆C2的切线只有1条，则圆心C1在圆C2上，
则有（1﹣2）2+m2＝4，因为m＞0，
解得，故A正确；
对于B选项，若圆C1与圆C2有且只有2条公切线，则两圆相交，
且，
由题意可得r2﹣r1＜|C1C2|＜r1+r2，即，
因为m＞0，解得，故B错误；
对于C选项，当m＝2时，圆C2的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4，圆心为C2（2，2），半径为r2＝2，
圆心C1到直线3x﹣4y﹣8＝0的距离为，
圆心C2到直线3x﹣4y﹣8＝0的距离为，
故当m＝2时，两圆的一条公切线方程为3x﹣4y﹣8＝0，故C正确；
对于D选项，当m＝2时，由B选项可知，两圆相交，
将两圆方程作差可得x+2y﹣2＝0，此时两圆的相交弦所在直线的方程为x+2y﹣2＝0，
圆心C1到直线x+2y﹣2＝0的距离为，
所以两圆的公共弦长为，故D错误．
故选：AC．
11．【解答】解：因为曲线C：（x2+y2）2＝8（y2﹣x2），
此时点（x，y），（﹣x，﹣y）均满足方程（x2+y2）2＝8（y2﹣x2），
所以曲线C关于原点对称，故选项A正确；
联立，消去y并整理得x2（25x2﹣24）＝0，
解得x＝0或，
所以直线y＝2x与曲线C有3个公共点，故选项B正确；
因为曲线C：（x2+y2）2＝8（y2﹣x2），
整理得 x4+（2y2+8）x2+y4﹣8y2＝0，
令t＝x2，t≥0，
此时t2+（2y2+8）t+y4﹣8y2＝0有非负根，对称轴，
当t＝0时，02+（2y2+8）×0+y4﹣8y2＝y4﹣8y2＝y2（y2﹣8）≤0，0≤y2≤8，
解得，故选项C错误；
令s＝x2+y2，
此时x2＝y2﹣s，
代入（x2+y2）2＝8（y2﹣x2）中，
整理得s2+8s＝16y2∈[0，128]，
因为y＝s2+8s是开口向上的二次函数，对称轴s＝﹣4，
所以 y＝s2+8s在[0，+∞）上单调递增，
若s2+8s＝128，
解得s＝8或s＝﹣16（舍去），
所以s的最大值为8，
则的最大值为，故选项D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共5小题）
12．【解答】解：由数列{an}是等和数列，设公和为t，
可得an+an+1＝t，即有an+1+an+2＝t，
则an+2＝an，即有数列{an}是最小正周期为2的数列，
由a5＝﹣1，a10＝8，可得a1＝﹣1，a2＝8，
则t＝a1+a2＝7．
故答案为：7．
13．【解答】解：抛物线C：x2＝4y的焦点为F（0，1），Q为圆M：x2+（y﹣5）2＝4上的动点，设为（x，y），
点A（0，4），则＝＝＝＝．
可得|QA|＝|QF|，如图，作PN垂直直线y＝﹣1于N，直线y＝﹣1交y轴于B，
则＝|PN|+|PQ|+|QA|≥|AB|＝5，当且仅当A、Q、P、N四点在AB线段时，取等号．
故答案为：；5．
14．【解答】解：E：x2+y2﹣xy＝6中，用（y，x）替换（x，y），方程不变，
所以椭圆E关于y＝x对称，
用（﹣y，﹣x）替换（x，y），方程不变，
所以椭圆E关于y＝﹣x对称，
由，
解得椭圆E的长轴顶点：，
由，
解得椭圆E的短轴顶点：，
所以，
所以，
P与点之间的距离的最大值为．
故答案为：．
15．【解答】解：如图：设B1为抛物线上的任意一点，
过B，B1作准线的垂线交点分别为N，M，
F（3，0），点A（6，4）在C的内部，若点B是抛物线C上的一个动点，
|BN|＝|BF|，|AN|≤|B1F|+|B1M|，
△ABF周长的最小值为：|AN|+|AF|＝6+3+＝14．
故答案为：14．
16．【解答】解：设P（x，y），则根据题意可得d（O，P）＝|x|+|y|＝2，
∴点P的轨迹方程为|x|+|y|＝2，
令x＝0，可得y＝±2；令y＝0，可得x＝±2，
∴作出其图形如图所示：
∴点P的轨迹所围成图形为边长为的正方形，
∴点P的轨迹所围成图形的面积为＝8；
根据P点的轨迹方程及图形可知：
点P的轨迹所围成图形关于x轴对称，也关于y轴对称，也关于原点中心对称，
又椭圆C：+y2＝1（a＞0）的图形也x轴对称，关于y轴对称，关于原点中心对称，
且椭圆C：+y2＝1（a＞0）上有且仅有8个点P满足d（O，P）＝2，
∴当x≥0，y≥0时，P的轨迹对应的直线：x+y＝2与椭圆C：+y2＝1（a＞0）相交，且a＜2，
联立，可得（a2+1）y2﹣4y+4﹣a2＝0，
∴Δ＝16﹣4（a2+1）（4﹣a2）＞0，
∴a4﹣3a2＞0，∴a2＞3，又0＜a＜2，
∴＜a＜2，
∴椭圆C：+y2＝1（a＞0）中，长半轴长a＞，短半轴长b＝1，
∴半焦距c＝，
∴椭圆C的离心率为＝＝，又a2∈（3，4），
∴椭圆C的离心率的取值范围是（，）．
故答案为：8；（，）．
四．解答题（共9小题）
17．【解答】解：（1）因为等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S5＝30．
设公差为d，
则，解得a1＝d＝2，
所以an＝a1+（n﹣1）d＝2n；
证明：（2）由（1）可得Sn＝na1+d＝n2+n，
所以＝，
所以b1＝，b2＝，b3＝，
由b1，b2，b3成等差数列，可得2×＝+，解得c＝0或c＝1，
当c＝0时，bn＝＝n+1，可得bn+1﹣bn＝1，故{bn}为等差数列；
当c＝1时，bn＝＝n，可得bn+1﹣bn＝1，故{bn}为等差数列．
18．【解答】解：（1）由题意可知：M：（x+1）2+y2＝16的圆心为M（﹣1，0），半径为4，且|QP|＝|QN|，
则|QM|+|QN|＝|QM|+|QP|＝|PM|＝4＞2＝|MN|，
可知点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，
则，所以C的方程为；
（2）因为点N（1，0）在椭圆内部，可知直线l与椭圆必相交，
设直线l：x＝my+1（m≠0），D（x1，y1），E（x2，y2），则，
联立方程，消去x可得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，
则，
又因为，
若，则，即，
可得，解得，
所以l的方程为，即．
19．【解答】解：（1）由题意可知：，解得，
所以双曲线Γ的方程为x2﹣y2＝1．
（2）由（1）可知：，，
设直线AB：x＝3y+m（m＜0），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程，消去x可得8y2+6my+m2﹣1＝0，
则Δ＝36m2﹣32（m2﹣1）＝4m2+32＞0，可得m，，
因为，，
若AF1∥BF2，则1，
即，整理可得，
又因为，
可得，解得，
此时8y2+6my+m2﹣1＝0即为，解得y＝或y＝（舍去），
此时，即，
所以直线AF1的斜率．
（3）A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
设直线AF1的倾斜角为θ∈[0，π），则，
可得，解得|．
同理可得|BF2|＝，
此时梯形AF1F2B的高为|，
可知梯形AF1F2B的面积＝
＝
＝2．
整理可得，解得（舍去），
可知θ＝或θ＝，则直线AF1的斜率＝，
所以直线AF1的方程，．
20．【解答】解：（1）证明：因为等差数列{an}的公差为d1（d1≠0），
由题意可得，
则二次项系数，且常数项为0，
所以Sn是关于n的不含常数项的二次函数．
（2）①由题意可知：Sn＝anbn，
即
＝，
可得，
解得，或，
若，，an＝1+d1（n﹣1），
若，则，an＝nd1，
综上所述：或；
②因为，
，an＝1+d1（n﹣1）时，
若d1∈Z，cn∈Z，则Tk∈Z，不合题意；
，an＝nd1时，
若k为偶数，则Tk＝（a1+a3+⋯+ak﹣1）+（b2+b4+⋯+bk）
＝，
因为k为偶数，则k＝4n+2或k＝4n+4，n∈N*，
若k＝4n+4，n∈N*，则，即Tk∈Z，不合题意；
若k＝4n+2，
则Tk＝，
整理可得，
可知2n+1＝1，13，169，代入检验可得仅n＝0，d1＝83，k＝2成立；
若k为奇数，则Tk＝（a1+a3+⋯+ak）+（b2+b4+⋯+bk﹣1）
＝，
因为k为奇数，则k＝4m+3或k＝4m+1，m∈N*，
若k＝4m+1，m∈N*，则，即Tk∈Z，不合题意；
若k＝4m+3，m∈N*，则，
整理可得，
显然为偶数，方程无解，不合题意；
综上所述：d1＝83，k＝2．
21．【解答】解：（1）由题意可知，，又，
则，所以b2＝a2﹣c2＝1，
所以椭圆C的方程：；
（2）证明：当直线l斜率不存在时，与圆x2+y2﹣1不相切，
且此时，
当直线l斜率存在时，设l：，即：，
联立，化简得 ，
设M（x1，y1）N（x2，y2），
则，，
所以
＝
＝，
令，解得：k＝±1，
所以直线l：或，
此时圆心到直线l的距离或，
所以当时，直线l与圆x2+y2＝b2相切，
当直线与圆y2+y2＝b2相切时，，解得k2＝1，
此时|MN|＝＝，
综上所述：当且仅当直线l与圆x2+y2＝b2相切时，．
22．【解答】（1）证明：因为直三棱柱ABC﹣AB1C的所有棱长均为2，E，F分别是AC，CC1的中点，
所以BE⊥AC，AA1⊥平面ABC，
因为BE⊂平面ABC，所以AA1⊥BE，
因为AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面AA1C1C1，
所以BE⊥平面AA1C1C，因为BE⊂平面BEF，
所以平面BEF⊥平面AA1C1C；
（2）解：取A1C1的中点M，连接EM，则EB，EC，EM两两垂直，
以EB，EC，EM所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
易知，A1（0，﹣1，2），E（0，0，0），F（0，1，1），
则，，，
设平面BEF的一个法向量为，
则有，取y＝﹣1，可得，
设直线A1B与平面BEF所成角为θ，
则，
故，
所以直线A1B与平面BEF所成角的余弦值为．
23．【解答】解：（1）联立，消去x并整理得y2﹣4y+1＝0，
此时Δ＝42﹣4＝12＞0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由韦达定理得y1+y2＝4，y1y2＝1，
所以；
（2）若双曲线C上存在两点A，B，满足，
设直线F1A与双曲线的另一个交点为B′，
由对称性可知，
又，
易知直线F1A的斜率存在，
设直线F1A的方程为，A（x3，y3） B′（x4，y4），
联立，消去y并整理得，
此时，
解得k≠，
由韦达定理得，，
因为，
所以，
解得，
即，
因为，
所以，，
因为，
所以，
因为1﹣2k2≠0，
所以．
解得．
24．【解答】解：（1）因为动点P到点F（0，1）的距离比它到直线y＝﹣2的距离小1，
所以动点P到点F（0，1）的距离等于它到直线y＝﹣1的距离，
则动点P的轨迹是抛物线，且＝1，
解得2p，
所以轨迹C的方程为x2＝4y；
（2）设，
此时，
因为点D在y轴的正半轴上，
所以，
即，
此时，
设，
则直线l1的方程为，
即，
联立，消去y并整理得，
此时，
即，
解得，
即，
所以直线AE的方程为，
即．
故直线AE过定点（0，1）．
25．【解答】解：（1）因为的短轴长为2，离心率为，
所以，
解得a＝2 ，
则C的方程为；
（2）①证明：设直线MN的方程为x＝ty﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，消去x并整理得（1+t2）y2﹣2ty﹣3＝0，
此时Δ＝4t2+12（1+t2）＝16t2+12＞0，
由韦达定理得，
此时，
所以
＝；
②若△PTN，△QTM的面积分别为S1，S2，
此时，，
因为|TM|＝|TN|，
所以，
由椭圆的对称性可知|OP|＝|OQ|，
所以，
因为直线MN的方程为x＝ty﹣1，
所以，
因为PQ⊥MN，
所以直线PQ的方程为y＝﹣tx，
联立，
解得，，
所以，
此时，
令3+4t2＝m，m≥3，
则，
所以，
易知函数在[3，+∞）上单调递增，
所以，
当且仅当m＝3，即t＝0时，等号成立，
所以，
即．
综上所述，的取值范围为．权属菁优网所有，