江苏省南通市汇龙中学2024-2025学年高一（上）数学第17周阶段性训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏省南通市汇龙中学2024-2025学年高一（上）数学第17周阶段性训练模拟练习【含答案】，共12页。试卷主要包含了函数的零点个数是，已知，若关于x的方程，函数f，已知函数f，下列函数中，在区间，将函数f，设a为非零常数，函数f等内容，欢迎下载使用。
1．函数的零点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．已知，若关于x的方程（m为常数）在（0）内有两个不同的解a，β，则sin2α+sin2β＝（ ）
A．3﹣2mB．4m﹣3C．m2﹣1D．m2+1
3．函数f（x）＝•sinx的部分图象大致为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数f（x）是定义在R上的增函数，A（0，﹣1），B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（2sinx+1）|≤1的解集为（ ）
A．{x|kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z}
B．{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}
C．{x|kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z}
D．{x|2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z}
二．多选题（共5小题）
（多选）5．下列函数中，在区间（1，）上为增函数的是（ ）
A．y＝2x+1B．y＝lg2（x﹣1）
C．y＝x|x﹣2|D．y＝tanx
（多选）6．将函数f（x）＝2sinx的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到g（x）的图象，则（ ）
A．
B．g（x）在]上单调递减
C．直线是g（x）图象的一条对称轴
D．g（x）在[﹣π，π]上的最小值为﹣2
（多选）7．设a为非零常数，函数f（x）的定义域为R．对于任意的实数x，下列说法正确的是（ ）
A．若f（a﹣x）＝f（a+x），则函数f（x）的图象关于直线x＝a对称
B．若f（x﹣a）＝﹣f（x），则a为函数f（x）的一个周期
C．若f（x﹣a）＝f（x+a），则2a为函数f（x）的一个周期
D．若f（a﹣x）＝﹣f（x），则函数f（x）的图象关于点（，0）对称
（多选）8．若x＞0，y＞0，n≠0，m∈R，则下列各式中，恒等的是（ ）
A．lgx+lgy＝lg（x+y）B．lg＝lgx﹣lgy
C．lgxnym＝lgxyD．lgx＝
（多选）9．已知函数f（x），x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），对于任意的x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（xy）＝f（x）+f（y），则（ ）
A．f（x）的图象过点（1，0）和（﹣1，0）
B．f（x）在定义域上为奇函数
C．若当x＞1时，有f（x）＞0，则当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0
D．若当0＜x＜1时，有f（x）＜0，则f（x）＞0的解集（1，+∞）
三．填空题（共4小题）
10．若tanθ＝﹣2，则的值为 ．
11．已知函数，且关于x的方程f（x）＝t（t∈R）在区间[0，]上有唯一解，则t的取值范围是 ．
12．若不等式|x|＜a的一个充分条件为﹣2＜x＜0，则实数a的取值范围是 ．
13．若函数f（x）＝x2+ax﹣在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 ．
四．解答题（共4小题）
14．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明：，使得成立．
15．已知函数f（x）＝ax2﹣（2a+1）x+2．
（1）解关于x的不等式ax2﹣（2a+1）x+2＞0；
（2）若f（x）＞（a﹣1）x2+2x﹣1在区间（∞，1]上恒成立，求实数a的取值范围．
16．已知函数f（x）＝2cs（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4个单位长度，所得图象的函数为g（x），若不等式g（x）﹣m≤0在x∈[0，6]恒成立，求实数m的取值范围．
17．已知a∈R，函数f（x）＝lg2（+a）．
（1）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过2，求a的最小值；
（2）若关于x的方程f（）﹣lg2[（a﹣2）x+3a﹣5]＝0的解集中恰好只有一个元素，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．【解答】解：函数，可得，解得x＝0．
x＞0时，lg2（x+2）＝0，解得x∈∅．
所以函数的零点个数是1．
故选：B．
2．【解答】解：已知，若关于x的方程（m为常数），
整理得sinx+cs2x＝m，
整理得：sin2x﹣sinx+m﹣1＝0，
设sinx＝t，（0＜t＜1），
故关于t的方程t2﹣t+m﹣1＝0在（0，1）内有两个不同的解t1，t2；
即t1＝sinα，t2＝sinβ，
故sin2α+sin2β＝．
故选：A．
3．【解答】解：f（﹣x）＝•sin（﹣x）＝•（﹣sinx）＝•sinx＝f（x），
则f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除C，D，
由f（x）＝0得x＝0或sinx＝0，即x＝π是右侧第一个零点，
当0＜x＜π时，f（x）＞0，排除B，
故选：A．
4．【解答】解：由已知得f（0）＝﹣1，f（3）＝1，
则不等式|f（2sinx+1）|≤1，即﹣1≤f（2sinx+1）≤1，即f（0）≤f（2sinx+1）≤f（3），
又因为函数f（x）是定义在R上的增函数，
所以0≤2sinx+1≤3，即﹣≤sinx≤1，
结合正弦函数的图象，可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，
即不等式的解集为{x|2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z}．
故选：D．
二．多选题（共5小题）
5．【解答】解：结合指数函数与对数函数的性质可知，A，B符合题意；
当x∈（1，）时，y＝x|x﹣2|＝x（2﹣x）在区间（1，）上单调递减，不符合题意，C错误；
根据正切函数的性质可知y＝tanx在（）上单调递增且（1，）⊂（），
所以y＝tanx在区间（1，）上为增函数，符合题意．
故选：ABD．
6．【解答】解：将函数f（x）＝2sinx的图象向右平移个单位长度，可得y＝2sin（x﹣），
再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得y＝2sin（x﹣），
即g（x）＝2sin（x﹣），所以A正确，
由+2kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z，得+4kπ≤x≤+4kπ．k∈Z，所以g（x）在]上单调递减，所以B正确，
因为g（）＝2sin（﹣）＝0，所以直线x＝不是g（x）图象的一条对称轴，所以C错误，
由﹣π≤x≤π，得﹣≤x﹣≤，所以当x﹣＝﹣时，g（x）取得最小值﹣2，所以D正确．
故选：ABD．
7．【解答】解：对于A，若f（a﹣x）＝f（a+x），则函数f（x）的图象关于直线x＝＝a对称，故A正确；
对于B，若f（x﹣a）＝﹣f（x），而a为函数f（x）的一个周期必有f（x﹣a）＝f（x），所以f（x）＝﹣f（x）与已知矛盾，故B不正确；
对于C，若f（x﹣a）＝f（a+x），取x＝t+a，则f[（t+a）﹣a]＝f[（t+a）+a]，即f（t）＝f（t+2a），所以2a为函数f（x）的一个周期，故C正确；
对于D，若f（a﹣x）＝﹣f（x），取x＝t+，则f[a﹣（t+）]＝﹣f（t+），即f（﹣t）+f（t+）＝0，所以函数f（x）的图象关于点（，0）对称，故D正确，
故选：ACD．
8．【解答】解：由x＞0，y＞0，n≠0，m∈R，得：
对于A，lgx+lgy＝lg（xy）≠lg（x+y），故A错误；
对于B，lg＝lgx﹣lgy，故B正确；
对于C，lgxnym＝＝＝lgxy，故C正确；
对于D，lgx＝lgx＝，故D正确．
故选：BCD．
9．【解答】解：对于A，对任意的x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（xy）＝f（x）+f（y），
令x＝y＝1，则f（1×1）＝f（1）+f（1），解得f（1）＝0，
再令x＝y＝﹣1，则f[（﹣1）×（﹣1）]＝f（﹣1）+f（﹣1），解得f（﹣1）＝0，
所以f（x）的图象过点（1，0）和（﹣1，0），故A正确；
对于B，令y＝﹣1，则f（﹣x）＝f（x）+f（﹣1），所以f（﹣x）＝f（x），
又函数f（x）的定义域关于原点对称，所以函数f（x）为偶函数，故B错误；
对于C，设x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，
若当x＞1时，有f（x）＞0，所以f（）＞0，
所以f（x1）﹣f（x2）＝f（x2•）﹣f（x2）＝f（x2）+f（）﹣f（x2）＝f（）＞0，
所以f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在（0，+∞）上的是增函数，
由函数f（x）为偶函数，可得f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，
所以当﹣1＜x＜0时，f（x）＜f（﹣1）＝0，故C正确；
对于D，设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则0＜＜1，
当0＜x＜1时，有f（x）＜0，则f（）＜0，
所以f（x1）﹣f（x2）＝f（x2•）﹣f（x2）＝f（x2）+f（）﹣f（x2）＝f（）＜0，
所以f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在（0，+∞）上的是增函数，
由函数f（x）为偶函数，可得f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，
因为当0＜x＜1时，f（x）＜0，可得当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0，
当x＜﹣1时，f（x）＞f（﹣1）＝0，当x＞1时，f（x）＞f（1）＝0，故D错误．
故选：AC．
三．填空题（共4小题）
10．【解答】解：因为tanθ＝﹣2，
所以＝＝＝．
故答案为：．
11．【解答】解：函数f（x）＝2sin（2x﹣），
由于，
整理得，
所以f（x）＝2sin（2x﹣）∈[﹣1，2]，当时，函数的值为，
由于关于x的方程f（x）＝t（t∈R）在区间[0，]上有唯一解，
故﹣1≤t＜1或t＝2．即t∈[﹣1，1）∪{2}．
故答案为：[﹣1，1）∪{2}．
12．【解答】解：由题意知a＞0，
由|x|＜a得﹣a＜x＜a，
若不等式|x|＜a的一个充分条件为﹣2＜x＜0，
则﹣a≤﹣2，得a≥2，
即实数a的取值范围是[2，+∞），
故答案为：[2，+∞）．
13．【解答】解：若函数f（x）＝x2+ax﹣在区间（﹣1，1）上有两个不同的零点，
则，解得：0＜a＜，
故答案为：（0，）．
四．解答题（共4小题）
14．【解答】解：（1）由题意可得：．得T＝π，ω＝2，
由，
因为，
所以，
所以．
（2）证明：因为∃，＝，
又因为，所以，
所以≤，当且仅当，即时取到，
又因为，即，
所以，
所以≤成立，
要存在，使成立，只需存在），
使得，即，
解得：，即与有交集，
当，
所以存在，使得成立．
15．【解答】解：（1）当a＝0时，﹣x+2＞0，不等式的解集为{x|x＜2}；
当a≠0时，由ax2﹣（2a+1）x+2＞0，可得（ax﹣1）（x﹣2）＞0，
方程（ax﹣1）（x﹣2）＝0的根为，2，
①a＜0时，，不等式的解集为}；
②a＞0时，若，即时，不等式的解集为{x|x≠2}；
若，即时，不等式的解集为或x＜2}；
若，即时，不等式的解集为{x|x＞2或x＜}；（6分）
（2）由f（x）＞（a﹣1）x2+2x﹣1，得x2﹣（2a+3）x+3＞0，
所以对于任意的x∈（﹣∞，1]，有x2﹣（2a+3）x+3＞0恒成立；
设函数g（x）＝x2﹣（2a+3）x+3，其对称轴方程为，（7分）
①当，即，时取得最小值，
，解得，所以（9分）
②当，即，函数g（x）在x∈（﹣∞，1]单调递减．
所以x＝1时取得最小值，g（x）min＝g（1）＞0，得，所以．（11分）
综上，a的取值范围为（﹣﹣，）．（12分）
16．【解答】解：（1）根据题中函数f（x）＝2cs（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，
可得＝5﹣1，∴ω＝，
根据五点法作图，可得 ×1+φ＝，∴φ＝，故函数f（x）＝2cs（x+）．
（2）将函数f（x）图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），
可得y＝2cs（x+）的图象；
再将得到的图象向右平移4个单位长度，所得图象的函数为g（x）＝2cs（x﹣）的图象，
若不等式g（x）﹣m≤0在x∈[0，6]恒成立，
即x∈[0，6]时，g（x）的最大值小于或等于m．
当x∈[0，6]时，x﹣∈[﹣，]，故当x﹣＝0时，g（x）取得最大值为2，
∴m≥2．
17．【解答】解：（1）因为在x∈[t，t+1]上为减函数，
所以，
又因为y＝lg2x在上为增函数，
所以，
所以在恒成立，
即对恒成立，
即3at2+3（a+1）t﹣1≥0对恒成立，
等价于y＝3at2+3（a+1）t﹣1在的最小值大于等于0，
因为y＝3at2+3（a+1）t﹣1在为增函数，
所以，
故，解得，
所以a的最小值为；
（2）方程f（）﹣lg2[（a﹣2）x+3a﹣5]＝0，
即，
可转化为（a﹣2）x2+（2a﹣5）x﹣2＝0且，
①当a﹣2＝0，即a＝2时，x＝﹣2，符合题意；
②当a﹣2≠0，即a≠2时，，
1°当，即时，符合题意；
2°当，即a≠﹣2且时，
要满足题意，则有或，解得；
综上可得，a的取值范围为．
声明：试