2025年中考数学一轮复习 课件 微专题7　全等三角形“手拉手”模型.

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如图，AB＝AC，AD＝AE，点B，D，E在同一条直线上，∠BAC＝∠DAE.若∠1＝35°，∠2＝30°，求∠3的度数．
【解答】由“手拉手”全等模型的结论，得△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠2＝30°，∴∠3＝∠1＋∠2＝65°.
【例1变式】(改编角度：将等腰三角形变为等边三角形)如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE.若∠CAE＝25°，则∠EBC＝______．
【思路导引】第一步：识别模型1．寻题眼：AB＝AC，AD＝AE(双等腰，共顶点)；2．配模型：“手拉手”全等模型．第二步：使用模型模型结论：△ABD≌△ACE.第三步：解题思路由△ABD≌△ACE得到∠ABD＝∠2，再由三角形的外角的性质即可求出∠3的度数．
1．找模型：当题目中出现两个等腰三角形，且这两个三角形具有共顶点和两个顶角相等(相当于两个人的双手张开的角度一样)的特点时，可考虑“手拉手”全等模型；2．用模型：连接拉手线，可证明三角形全等，再根据全等三角形的性质解决相关问题．
如图，在Rt△ABC与Rt△EDC中，直角顶点重合于点C，点D在AB上，∠BAC＝∠DEC，且sin∠BAC＝ ，连接AE.若BD＝2，AD＝7，求AE的长．
【思路导引】第一步：识别模型1．寻题眼：在Rt△ABC与Rt△EDC中，直角顶点重合于点C；2．配模型：“手拉手”相似模型．第二步：解题思路先利用勾股定理求出AC的长，再利用相似三角形的性质和已知条件求出AE的长．
1．找模型：当两个三角形共顶点的两个角相等，且等角两边成比例时，可考虑用“手拉手”相似模型．2．用模型：若原来两个三角形相似，则旋转后得到的新的两个三角形也是相似的．
一阶　基础模型1．如图，大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DEC的直角顶点重合在点C处，连接AE，BD，点A恰好落在线段BD上．求证：△ACE≌△BCD.
证明：∵△ABC与△DCE都是直角顶点为C的等腰直角三角形，∴BC＝AC，CD＝CE.∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠BCD＝∠ACE.∴△ACE≌△BCD(SAS)．
2．如图，△ABC与△ADE均为等边三角形，连接CD，BE.求证：△ACD≌△ABE.
证明：∵△ABC与△ADE均为等边三角形，∴AC＝AB，AD＝AE，∠CAB＝∠DAE＝60°，∴∠CAD＋∠DAB＝∠DAB＋∠BAE，∴∠CAD＝∠BAE.
∴△ACD≌△ABE(SAS)．
二阶　综合应用3．如图，在△ABC和△ADE中，点D在BC边上，∠B＝∠ADE＝30°，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CE，求 的值．
解：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△ACE∽△ABD，
4．如图，C是线段AB上任意一点(点C与点A，B不重合)，分别以AC，BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE与CD相交于点M，连接BD与CE相交于点N，连接MN.(1)求证：△ACE≌△DCB；
证明：∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AC＝DC，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，∴∠ACE＝∠DCB.
在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB(SAS)．
(2)求证：△ACM≌△DCN.
证明：由(1)得AC＝DC，△ACE≌△DCB，∴∠EAC＝∠BDC.由(1)得∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠DCE.在△ACM和△DCN中，∴△ACM≌△DCN(ASA)．
5．如图，在四边形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE，CE，AC，∠BAE＝∠EBC＝∠CAD＝45°，BE＝2DE，CE⊥BD.
解：∵∠BAE＝∠EBC＝∠CAD，∴∠BAC＝∠EAD.∵∠ABC＝∠ABE＋∠EBC，∠AED＝∠ABE＋∠BAE，∴∠ABC＝∠AED，∴△ABC∽△AED，
(2)求证：AE∥CD.
∵∠CAD＝∠BAE＝45°，∴△CAD∽△BAE，∴∠ACD＝∠ABE.
如答图，设BE的中点为F，连接CF.∵BE＝2DE，∴BF＝EF＝DE.