2024年宁夏中考数学试题

这是一份2024年宁夏中考数学试题，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列各数中，无理数是（ ）
A．B．C．D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．小明与小亮要到科技馆参观小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的（ ）
A．南偏东方向B．北偏西方向C．南偏东方向D．北偏西方向
4．某班19名学生参加一分钟跳绳测试，成绩（单位：次）如下表：
则本次测试成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．172和172B．172和173C．173和172D．173和173
5．用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（ ）
A．①号位置B．②号位置C．③号位置D．④号位置
6．已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．数学活动课上，甲，乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍．设乙每小时做个盒子，根据题意可列方程（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，，，，点在直线上，点，在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．下列结论：
①当时，四边形的周长是；
②当时，点到直线的距离等于；
③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大；
④若点，分别是线段，的中点，在点运动过程中，线段的长度不变．其中正确的是（ ）
A．①④B．②③C．①③D．②④
二、填空题
9．地球上水（包括大气水，地表水和地下水）的总体积约为亿．请将数据用科学记数法表示为 ．
10．为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：
估计这种幼苗移植成活的概率是 （结果精确到0.1）
11．某水库警戒水位为29.8米，取警戒水位作为0点．如果水库水位为31.4米记作米，那么水库水位为28米记作 米．
12．若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是 ．
13．如图，在正五边形的内部，以边为边作正方形，连接，则 ．
14．在平面直角坐标系中，一条直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形，则该直线的解析式可能为 （写出一个即可）．
15．观察下列等式：
第1个：
第2个：
第3个：
第4个：
按照以上规律，第个等式为 ．
16．如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流，四边形是器身，．器身底部距地面的高度为，则该陶盉管状短流口距地面的高度约为 （结果精确到）（参考数据：）
三、解答题
17．解不等式组．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，在中，点是边的中点，以为直径的经过点，点是边上一点（不与点重合）．请仅用无刻度直尺按要求作图，保留作图痕迹，不写作法．
(1)过点作一条直线，将分成面积相等的两部分；
(2)在边上找一点，使得．
20．中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和创造力．某店销售扎染和刺绣两种工艺品，已知扎染175元/件，刺绣325元/件．
(1)某天这两种工艺品的销售额为1175元，求这两种工艺品各销售多少件？
(2)中国的天问一号探测器，奋斗者号潜水器等科学技术世界领先，国人自豪感满满，相关纪念品深受青睐．该店设立了一个如图所示可自由转动的转盘（转盘被分为5个大小相同的扇形）．凡顾客在本店购买一件工艺品，就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，顾客即可免费获得指针指向区域的纪念品一个（指针指向两个扇形的交线时，视为指向右边的扇形）．一顾客在该店购买了一件工艺品，求该顾客获得纪念品的概率是多少？
21．如图，在中，点在边上，，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交CD的延长线于点F．求证：．小丽的思考过程如下：
参考小丽的思考过程，完成推理．
22．尊老敬老是中华民族的传统美德，爱老是全社会的共同责任．为了解某地区老年人的生活状况，随机抽取部分65岁及以上的老年人进行了一次问卷调查．
将调查结果绘制成如下统计图表请阅读相关信息，解答下列问题：
健康状况统计表
(1)参与本次调查的老年人共有___________人，有“医疗服务”需求的老年人有___________人；
(2)已知该地区65岁及以上的老年人人口总数约为6万人，估计该地区健康状况较差的老年人人口数；
(3)根据以上信息，针对该地区老年人的生活状况，你能提出哪些合理化的建议？（写出一条即可）
23．在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究．
(1)【动手操作】
列表：
描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象．
(2)【探究发现】
①将反比例函数的图象向___________平移___________个单位长度得到函数的图象．
②上述探究方法运用的数学思想是（ ）
整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想
(3)【应用延伸】
①将反比例函数的图象先___________，再___________得到函数的图象．
②函数图象的对称中心的坐标为___________．
24．如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)连接，若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
25．综合与实践
如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点．
【发现结论】
结论1：___________；
结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是___________．
【应用结论】
（1）求证：；
（2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：．
26．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，过作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，当时，求的值；
(3)如图点F1,0，连接并延长交直线于点，点是轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
成绩
171及以下
172
173
174
175及以上
人数
3
6
5
3
2
移植总数
40
150
300
500
700
1000
1500
成活数
35
134
271
451
631
899
1350
成活的频率
0.875
0.893
0.903
0.902
0.901
0.899
0.900
调查问卷
以下问题均为单选题，请根据实际情况选择（例：65~70岁表示大于等于65岁同时小于70岁）．
1．您的年龄范围（ ）
A．65~70岁 B．70~75岁 C．75~80岁 D．80岁及以上
2．您的养老需求（ ）
A．医疗服务 B．社交娱乐 C．健身活动
D．餐饮服务 E．其他
3．您的健康状况（ ）
A．良好 B．一般 C．较差
65～70岁
70～75岁
75～80岁
80岁及以上
良好
65%
58%
50%
40%
一般
25%
30%
359%
40%
较差
10%
12%
15%
20%
1
2
3
4
5
2
1
0
1
2
3
4
2
1
参考答案：
1．D
【分析】本题考查无理数的识别．熟练掌握无理数的定义是解题关键．无限不循环小数是无理数，分数，整数属于有理数．
利用无理数的定义逐个分析判断即可．
【详解】A、是有理数，不合题意；
B、是有理数，不合题意；
C、，是有理数，不合题意；
D、是无理数，符合题意．
故选：D．
2．B
【分析】根据积的乘方的运算法则，合并同类项的方法，有理数的减法的运算方法，以及负整数指数幂的运算方法，逐项判断即可．
【详解】解：A、，故选项A不符合题意；
B、，故选项B符合题意；
C、，故选项C不符合题意；
D、，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了积的乘方的运算法则，合并同类项的方法，有理数的减法的运算方法，以及负整数指数幂的运算等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键．
3．A
【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义和平行线的性质是正确解决本题的关键．
作，根据平行线的性质得，再根据，可得，根据方向角的定义即可得到答案．
【详解】解：如图，作，
则，
，
，
，
，
科技馆位于小亮家的南偏东方向，
故答案为：A．
4．C
【分析】本题考查中位数和众数的概念．找中位数要把数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于最中间的一个数或中间两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，众数可以不止一个．
【详解】解：将这组数据按从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是173，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是；
在这组数据中172是出现次数最多的，
故众数是172；
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了由三视图判断几何体，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键．根据题意主视图和左视图即可得到结论．
【详解】据主视图、左视图可知，最后一个小正方体应放在②号位置．
故选：B
6．A
【分析】本题主要考查了绝对值的性质，解一元一次不等式．根据绝对值的性质，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
则的取值范围在数轴上表示正确的是：
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设乙每小时做个盒子，根据“甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍”，则甲每小时做个盒子，根据“甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟”，列出方程即可．
【详解】解：设乙每小时做个盒子，则甲每小时做个盒子，
由题意得：，
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中位线定理，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．①当时，得到四边形是矩形，即可求解；②根据“平行线间的距离处处相等”，即可判断；③根据②中的发现即可判断；④利用三角形的中位线定理即可判断．
【详解】解：①当时，，
，
，，
四边形是矩形，
，
，四边形的周长是，故①正确；
②，，，
直线与直线之间的距离是，
当时，点到直线的距离等于，故②错误；
③由②可知点到的距离为定值，即的边上的高为，
又，
的面积为定值，故③错误；
④点，分别是线段，的中点，
是的中位线，
，
即线段的长度不变，故④正确；
故选：A．
9．
【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可．
【详解】解：，
故答案为：．
10．0.9
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可．
【详解】解∶根据表中数据，试验频率逐渐稳定在0.9左右．
这种幼苗在此条件下移植成活的概率是0.9；
故答案为 ∶0.9．
11．
【分析】本题考查正数和负数，理解正数和负数的实际意义是解题的关键．根据正数和负数的实际意义即可求得答案．
【详解】解：某水库警戒水位为29.8米，取警戒水位作为0点．如果水库水位为31.4米记作米，那么水库水位为28米记作米，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一元二次方程根的情况和二次函数与x轴交点个数的关系是解题的关键；根据二次函数的图象与轴有交点时解题即可.
【详解】解：二次函数的图象与轴有交点，
，
解得，
的取值范围为，
故答案为：.
13．81
【分析】本题考查正多边形的内角问题，正方形的性质，等腰三角形的性质等．先根据正多边形内角公式求出，进而求出，最后根据求解．
【详解】解：正五边形中，，，
正方形中，，，
，，
，
，
故答案为：81．
14．（答案不唯一）
【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，一次函数的几何应用，如图，直线过，，再求解一次函数的解析式即可．
【详解】解：如图，直线过，，
∴为等腰直角三角形，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
故答案为：，（答案不唯一．）
15．
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号减1，据此可得答案．
【详解】解：观察算式可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号减1，
所以第个等式为：，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查解直角三角形的知识，解题的关键是过点作交于点，过点作交的延长线于点，根据，求出，根据，求出，根据，，求出，根据该陶盉管状短流口距地面的高度为：，即可．
【详解】解：过点作交于点，过点作交的延长线于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴该陶盉管状短流口距地面的高度为：．
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查解不等式组，掌握不等式的性质，取值方法是解题的关键．
先根据不等式的性质分别求出各不等式的解集，再根据取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”即可求解．
【详解】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为．
18．，
【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
先将先括号内通分，去括号，除式分子分解因式，再约分化简，继而将a的值代入计算可得．
【详解】解：，
当时，
原式．
19．(1)作图见详解
(2)见解析
【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握中线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据三角形中线平分三角形面积作图即可；
（2）根据直径或半圆所对圆心角为直角，可得，结合可得AD是线段的垂直平分线，如图所示，连接交AD于点，连接CE并延长交AB于点，可证，可得，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵点是边的中点，
∴，
∴根据三角形中线平分三角形面积，作图如下，
∴
（2）解：∵以为直径的经过点，
∴，即，
又∵，
∴AD是线段的垂直平分线，
∴，
∴，AD平分，即，
如图所示，连接交AD于点，连接CE并延长交AB于点，
∴，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．(1)该店销售扎染3件，刺绣2件
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及概率公式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）设扎染工艺品销售扎染x件，刺绣工艺品销售y件，根据某天这两种工艺品的销售额为1175元，列出二元一次方程，求出正整数解即可；
（2）直接由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：设销售扎染件，刺绣件．
根据题意得，．
∴．
∵均为非负整数．
∴当时，（舍去）；
当时，（舍去）；
当时，；
当时，（舍去）．
答：该店销售扎染3件，刺绣2件．
（2）解：转动一次转盘所有等可能结果共5种，指针指向有纪念品的扇形（记为事件）的结果有3种，
所以，．
答：该顾客获得纪念品的概率是．
21．见解析
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明，可得，同理可得：，再进一步证明即可．
【详解】证明：四边形是平行四边形
，，
，
同理可得，，
∴
又，
即，
又，
．
22．(1)1200，660
(2)7650人
(3)根据养老需求统计图可知，医疗服务需求占比大，因此建议提高本地区老年人的医疗服务质量（只要建议合理即可）
【分析】（1）根据样本容量等于所有的频数和解答即可，列式解答即可；
（2）利用样本估计总体的思想列式解答即可；
（3）根据以上信息，针对该地区老年人的生活状况，选择一条解答即可．
本题考查了样本容量，样本估计总体，提出决策，熟练掌握样本容量，样本估计总体是解题的关键．
【详解】（1）解：根据样本容量等于所有的频数和，列式得：
（人），
根据题意，得（人），
故答案为：1200，660．
（2）解：根据题意，得该地区健康状况较差的老年人人口数为：（人）．
故估计该地区健康状况较差的老年人人口数为7650人．
（3）解：根据养老需求统计图可知，医疗服务需求占比大，因此建议提高本地区老年人的医疗服务质量．
23．(1)图见解析
(2)①左，1；②B
(3)①右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）；
②
【分析】（1）列表，描点、连线画出函数的图象即可；
（2）结合图象填空即可；
（3）根据发现的规律填空即可．
【详解】（1）描点、连线画出函数图象如图所示：
（2）①函数的图象可以看作是由函数的图象向左平移1个单位长度，
②上述探究方法运用的数学思想是类比思想．
故答案为：左，1；B
（3）①函数的图象可以看作是由函数的图象向右平移2个单位长度；
向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）而得到；
②根据平移的性质，函数图象的对称中心的坐标为．
故答案为：右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）；
【点睛】本题考查了反比例函数的图象，一次函数的图象，正比例函数图象，一次函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角函数的定义，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算．
（1）连接，交于点G，根据等腰三角形的性质得到，由D为的内心，得到，求得，根据圆周角定理得到∠，求得，根据切线的性质得到，根据平行线的判定定理得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到，求得，求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，交于点，
，
，
又为的内心，
，
，
∴，
又为的直径，
，
又为的切线且为的半径，
，
，
∴；
（2）解：，
，
，
，
，
．
25．【发现结论】结论1：；结论2：相等（或）；【应用结论】（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形外角的性质、等边对等角、等角对等边、勾股定理等知识，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键．
[发现结论]结论1：根据角平分线的定义、三角形外角的性质，推出， ，即可得出；
结论2：根据已知，和结论1 ，得出，根据角平分线的定义得出，进一步推出，利用证明，即可得出；
[应用结论]（1）根据过点作的垂线交于点，得出，推出，结合结论2： ，利用证明，即可证明；
（2）连接，，延长交于点，根据垂线的定义得出，由结论2得：，由（1）过程得：，根据等边对等角、勾股定理、全等三角形的性质，推出，，，根据对顶角相等得出 ，推出，进一步得出，，根据等角对等边得出，，即可证明．
【详解】解：[发现结论]结论1：
∵是的平分线，的延长线交外角的平分线于点，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：；
结论2：
∵，由结论1得，
∴，
∵是的平分线，过点作的垂线交于点，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：相等（或）；
[应用结论]（1）证明：∵过点作的垂线交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵由结论2得：，
∴在和中，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，，延长交于点，
∵过点作的垂线交于点，
∴，
∵由结论2得：，由（1）过程得：，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
26．(1)
(2)
(3)存在，或或或
【分析】（1）将点代入抛物线解析式，可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值，进而得出抛物线的解析式；
（2）令，可得B4,0，令，可得，则，利用待定系数法可求得的解析式为，根据题意可知点的坐标为，，把分别代入抛物线和直线的解析式，可得，，进而可得，，由轴可得轴，据此可证得，于是可得，即，则，由已知条件可得，由此可建立关于m的方程，解之即可；
（3）由C、F的坐标可求得直线的解析式为，进而可得，当时，，解方程即可求得点的坐标为−2,3或，然后分情况讨论：当时，；当时，；分别求解即可得出答案．
【详解】（1）解：把点代入，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：令，则，
解得：，，
点的坐标为，
当时，，
点的坐标为，
，，
，
根据题意得，点的坐标为，则，
把代入，得：
，
点的坐标为，
设直线的解析式为y=kx+bk≠0，
把，代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
点的坐标为，
，
，
又轴，
∴轴，
，
，
，
，
又，
，
解得：，（不合题意，故舍去），
∴的值为；
（3）解：存在，点的坐标为或或或，
理由如下：
设直线的解析式为，
把，代入，得：
，
解得：，
的解析式为：，
当时，，
点的坐标为，
又点是轴上方抛物线上的一点，
当时，，
解得：，，
点的坐标为−2,3或，
分情况讨论：
当点的坐标为−2,3时，
，
点的坐标为或；
当点的坐标为时，
，
点的坐标为或；
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，求二次函数与坐标轴的交点坐标，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，因式分解法解一元二次方程，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
D
B
A
C
B
A
C
A