贵州省2024年12月普通高中学业水平合格性考试数学试卷

这是一份贵州省2024年12月普通高中学业水平合格性考试数学试卷，共12页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数（为虚数单位），则的实部为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．某田径队有男运动员40人，女运动员20人，按性别进行分层随机抽样，从该田径队全体运动员中抽取一个容量为6的样本，则应抽取男运动员的人数为（ ）
A．6B．5C．4D．3
4．函数，的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
5．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现点数为偶数的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．下列几何体为旋转体的是（ ）
A．三棱锥B．四棱台C．五棱柱D．圆柱
7．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
8．已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
9．若，，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
10．的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ）
A．B．C．1D．2
11．如图，已知正方体，下列棱中与垂直的是（ ）

A．B．C．D．
12．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
13．命题：，的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
14．已知10位同学的身高（单位：）分别为：161，161，162，165，165，165，170，173，178，181，则这组数据的第50百分位数为（ ）
A．163B．165C．175D．178
15．（ ）
A．7B．5C．4D．2
16．已知向量，，且，则实数的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
17．某校高二年级1000名学生参加一次交通安全知识测试，所得成绩的频率分布直方图如图所示，则成绩不低于90分的人数为（ ）
A．500B．300C．200D．100
18．向量，的夹角为，且，则（ ）
A．5B．3C．1D．0
19．下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
20．已知，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
21．已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
22．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
23．某公司生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产一台需增加投入20万元，若年销售收入（单位：万元）关于年产量（单位：台）满足函数：则当该公司所获年利润最大时，年产量为（ ）
A．50B．80C．100D．120
24．若函数在区间上有且仅有5个零点，则取值范围是（ ）
A．B．C．D．
25．若函数的图象关于直线对称，则的值是（ ）
A．1B．C．D．
26．在平面四边形中，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、解答题
27．如图，在直三棱柱中，，，为的中点，交于点.
(1)异面直线与所成的角为________（填度数）；
(2)若三棱柱的体积为6，则棱的长是________；
(3)求证：平面.
28．的内角，，所对的边分别为，，，且，.
(1)若，则________；
(2)若，则的面积为________；
(3)已知的角平分线交于，求的最大值.
参考答案：
1．B
【分析】由集合的交集运算得解.
【详解】因为集合，，
所以，
故选：B
2．A
【分析】根据复数的实部为即可求解.
【详解】因为复数的实部为，
所以复数的实部为2.
故选：A.
3．C
【分析】根据分层抽样的比例关系，列式求得答案.
【详解】由题意，应抽取男运动员的人数为.
故选：C
4．B
【分析】根据正弦函数直接得解.
【详解】由正弦函数的性质知，最小正周期为,
故选：B
5．A
【分析】根据古典概型的概率公式即可求解.
【详解】由题意，抛掷一枚质地均匀的骰子一次，有6种结果，并且每种结果等可能出现，
其中“出现的点数为偶数”的情况有3种，
故所求概率为.
故选:A
6．D
【分析】根据旋转体定义得解.
【详解】根据旋转体的定义知，圆柱为旋转体.
故选：D.
7．D
【分析】根据函数有意义列出不等式即可求解.
【详解】由解得，
所以函数的定义域为.
故选：D
8．A
【分析】根据向量加法的坐标运算求解.
【详解】向量，，
所以，
故选：A
9．A
【分析】根据不等式性质判断A，特殊值验证BCD即可.
【详解】对于A，若，则，故A正确；
对于B， 当，则；故B错误；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，当时，，故D错误.
故选：A
10．D
【分析】根据正弦定理求解即可.
【详解】由正弦定理，得.
故选：D.
11．C
【分析】根据正方体的性质即可得解.
【详解】在正方体中，与所成的角为，
棱平面,平面，所以，
故选：C
12．A
【分析】根据指数的运算直接得解.
【详解】因为，，，
所以，
故选：A
13．D
【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题直接判断即可.
【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题“，”的否定是“，”.
故选：D.
14．B
【分析】根据百分位数的定义求解.
【详解】一共有10个数据，故这组数据的第50百分位数为第5,6位数的平均值，
故选：B
15．D
【分析】根据对数的定义求解即可.
【详解】.
故选：D.
16．C
【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】因为向量，，且，
所以，
解得
故选：C
17．C
【分析】根据频率分布直方图求出不低于90分的频率，即可求得人数.
【详解】由频率分布直方图可知，成绩不低于90分的频率为：，
所以成绩不低于90分的人数为.
故选：C
18．C
【分析】根据向量的数量积求解即可.
【详解】.
故选：C.
19．B
【分析】根据对数函数，幂函数，一次函数的单调性即可得到答案.
【详解】根据对数函数的图象与性质可知在单调递增，故A错误；
根据幂函数的图象与性质可知在单调递减，故B正确；
根据幂函数的图象与性质可知在单调递增，故C错误；
根据一次函数图象与性质可知在上单调递增，故D错误.
故选：B.
20．A
【分析】根据基本不等式直接求解即可.
【详解】因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为2.
故选：A.
21．B
【分析】根据充分条件、必要条件概念得解.
【详解】因为，反之不成立，
所以是的必要不充分条件，
故选：B
22．A
【分析】根据余弦函数图象平移规律进行求解即可.
【详解】因为函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到的图象.
故选：A
23．B
【分析】根据利润为总收入减去总成本，得到关于利润的解析式，借助函数的性质即可求解.
【详解】由题意，设该公司所获年利润为（单位：万元），
当时，，
所以当时，取到最大值；
当时，，
单调递减，
所以.
综上所述，当时，该公司所获年利润最大.
故选：B
24．D
【分析】根据题意先求出在上由小到大的第5与第6个零点，列不等式组可解得的范围.
【详解】由，，得，，
所以函数在上由小到大的第5个零点为，
第6个零点为，
由题知，，解得，
故选：D
25．C
【分析】化简函数解析式后根据正弦型函数对称轴的性质代入求解.
【详解】因为
，且函数图象关于直线对称，
所以，解得.
故选：C.
26．D
【分析】根据题意作出四边形的外接圆，结合圆的几何性质转化所求数量积，利用基本不等式求最值.
【详解】如图，

由题意知，为四边形外接圆的直径，由可知，
，设，
所以垂直平分于点,
由正弦定理，，
，
当且仅当，即时等号成立.
故选：D
【点睛】关键点点睛：利用所给条件恰当转化，利用已知及角转化为三角函数式子求最值，变形后利用基本不等式得最值，本题思路比较难寻，需要一定创造力.
27．(1)
(2)3
(3)证明见解析
【分析】（1）根据线线平行可得异面直线所成的角得解；
（2）由直三棱柱的体积公式计算得解；
（3）根据线面平行的判定定理证明即可.
【详解】（1），
异面直线与所成的角为,
故答案为：
（2）由直三棱柱的体积公式可得：
，
解得，
故答案为：3
（3）因为直三棱柱中，平面为矩形，
所以为的中点，又为的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
28．(1)4
(2)
(3)3
【分析】（1）根据题意，由直角三角形求解即可；
（2）结合面积公式求解即可；
（3）由余弦定理得出的关系，再由角平分线的性质及三角形面积公式建立关于的方程，化简后再换元求最值即可.
【详解】（1）因为，所以，
即.
（2）当时，，由（1）知，
所以，
所以.
（3）由余弦定理可得,
即，可得，当且仅当时等号成立，
所以，
由面积公式可得，
即，所以，
所以，
令，则，
所以当时，有最小值，有最大值，
即三角形为正三角形时，有最大值3.
【点睛】关键点点睛：本题的第三问关键在于利用面积公式建立关于的表达式，再平方后运用余弦定理得到的条件，转化为二次函数求最值，难度较大.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
B
A
D
D
A
A
D
题号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
答案
C
A
D
B
D
C
C
C
B
A
题号
21
22
23
24
25
26




答案
B
A
B
D
C
D