2024-2025学年山东省青岛市高三上册期中考试数学检测试题

这是一份2024-2025学年山东省青岛市高三上册期中考试数学检测试题，共5页。试卷主要包含了本试卷分第I卷和第II卷， 已知，则等于， 下列不等式恒成立是等内容，欢迎下载使用。
2.请将第I卷题目的答案选出后用2B铅笔涂在答题纸对应题目的代号上；第II卷用黑色签字笔将正确答案写在答题纸对应的位置上，答在试卷上作废.
第I卷（选择题，共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A. B.
C. D.
2. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，则等于（ ）
A B. C. D.
4. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，其中谈到的“堑堵”是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有堑堵如图所示，其中，若，平面将堑堵分成了两部分，这两部分体积比值为（ ）

A. 1:1B. 1:2C. 1:3D. 1:4
5. 在中，，，，P为所在平面内的动点，且．则的最大值为（ ）
A. 12B. C. D.
6. 已知函数，若对于任意实数k，总存在实数，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法错误的是（ ）
A. 的图象关于点对称
B. 的图象关于直线对称
C. 图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D. 若方程在上有且只有两个极值点，则t的最大值为
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列不等式恒成立是（ ）
A. B.
C D.
10. 已知向量，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 的最大值为6
D. 若，则
11. 如图，正方体棱长为2，、分别是棱，棱的中点，点是其侧面上的动点（含边界），下列结论正确的是（ ）
A. 沿正方体的表面从点到点的最短距离为
B. 过点，，的平面截该正方体所得的截面面积为
C. 当时，点的轨迹长度为
D. 保持与垂直时，点的运动轨迹长度为
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知角的终边上一点，且，则___________.
13. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，P为线段AE上一点，且满足，则________.
14. 设函数和的定义域为，若存在非零实数，使得，则称函数和在上具有性质.现有四组函数：①，；②，；③，；④，.其中具有性质的是__________.（写出所有满足条件的函数的序号）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设函数
（1）求函数的最小正周期，并解不等式；
（2）先将图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变；再向左平移 个单位；最后向下平移 个单位得到函数的图象．若对，不等式恒成立，求实数的取值范围
16. 如图，在三棱锥中，为在平面内的射影点，已知，，，，.
（1）请以、为基底表示，并证明.
（2）求证平面.
17. 在中，角对边分别为.且满足.
（1）求角的大小；
（2）若的面积，内切圆的半径为，求；
（3）若的平分线交于，且，求的面积的最小值.
18. 如图，垂直于梯形所在平面，为的中点，，四边形为矩形．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
19. 凸函数是数学中一个值得研究的分支，它包括数学中大多数重要的函数，如，等．记为的导数．现有如下定理：在区间I上为凸函数的充要条件为．
（1）证明：函数为上的凸函数；
（2）已知函数．
①若为上的凸函数，求的最小值；
②在①的条件下，当取最小值时，证明：，在上恒成立．