2025江苏省名校协作体高一上学期12月联考试题数学含解析

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（本卷满分150分 考试时间120分钟）
一､单选题（8*5=40分）
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解出不等式，根据交集含义即可.
【详解】，
,
则.
故选：B.
2. 命题“，使得”的否定是（ ）
A. ，均有B. ，均有
C. ，有D. ，有
【答案】B
【解析】
【分析】依据命题否定的书写即可
【详解】根据命题的否定的书写，存在量词变全称量词，后续结论相反可知，该命题的否定为“，均有”，
故选：B
3. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先解不等式，然后根据充分、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为，所以或，解得或，
所以不等式的解集为或；
因为，所以，解得或，
所以不等式的解集为或；
因为或是或的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再由的值，利用排除法判断即可.
【详解】函数的定义域为，
且，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B、D；
又，故排除C.
故选：A
5. 声强级，是指声强x（单位：W/m²）和定值α（单位：W/m²）比值的常用对数值再乘以10，即声强级（单位：dB）．已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为109，那么这种火箭发射的声强级约为（ ）
A. 135dBB. 140dBC. 145dBD. 150dB
【答案】A
【解析】
【分析】根据人与人交谈时的声强级约为45dB可得，这种火箭发射的声强约，代入题目中公式结合对数运算处理．
【详解】设人与人交谈时的声强约为 W/m²，则
火箭发射时的声强约为 W/m²，则
故选：A．
6. 已知函数的图像关于直线对称，当时，恒成立，设则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对称性可得，再根据单调性即可求解.
【详解】因为当时，恒成立，
所以在上单调递减，
又的图像关于直线对称，所以，
因为，所以，即.
故选：A
7. 定义运算“”：，则函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得函数为，再分段求值域即可.
【详解】由，可得，
所以，
当时，，
当时，在上单调递增，所以，
当时，在上单调递减，所以，
所以的值域为.
故选：A.
8. 已知是定义在上的函数，的图象关于点对称，对任意，，都有.若，则实数的取值范围为（ ）
A. 或B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，然后结合函数的单调性和奇偶性求解．
【详解】因为是定义在上的函数，的图象关于点对称，
所以为奇函数，，
因为，即，所以，
构造函数，则有，所以在上单调递增，
因为，所以为奇函数，
变形，
则有，即，
所以，解得：或，
故选：B．
二､多选题（3*6=18分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若函数的定义域是，则函数的定义域为
B. 对应，其中，，，则对应是函数
C. 对于定义在上的函数，若，则不是偶函数
D. 函数在上单调递增，在上单调递增，则在上是增函数
【答案】AC
【解析】
【分析】根据复合函数的性质即可根据求解A，根据函数的定义即可求解B，根据偶函数的定义即可求解C，举反例即可求解 D.
【详解】对于A，根据题意可得，解得，所以的定义域为，故A正确，
对于B, 对应，其中，，，则对应不是函数，比如，则可取，故不符合函数定义，B错误，
对于C，若为偶函数，则需要对定义域内任意的都有，因此对于定义在上的函数，若，则不是偶函数，C正确，
对于D, 函数在上单调递增，在上单调递增，则在上不一定是增函数，比如，但在上不是增函数，故D错误，
故选：AC
10. 若正数，满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用基本不等式化简，可判断各个选项的正误.
【详解】对于A，，所以，化简得，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，根据基本不等式，
，
当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，因为，所以，
所以，
又因为，，
所以，，，，，
所以，故C错误；
对于D，因为，所以，
所以，，
同理，，所以，，
所以，
当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选ABD.
11. 已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（ ）
A.
B.
C. 在上的最大值是10
D. 不等式的解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】依题意令，求出，从而判断A；令得到，再令，，即可判断B；再利用定义法证明函数的单调性即可判断C；依题意原不等式等价于，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，即可判断D.
【详解】因为，则有，
令，则，则，故A正确；
令，则，
令代，则，
即，即，故B错误；
设且，则，由，
令，则，即，
令，，则，即，
因为时，，又，故，
所以，所以，即在上单调递减，
又，所以，，
又，所以，
故在上的最大值为，故C正确；
由，即，
即，即，
又因为，即，
所以，即，
故，即，解得，
即原不等式的解集为，故D正确；
故选：ACD.
三､填空题（3*5=15分）
12. 已知函数（）是偶函数，则函数的单调递增区间为_______________.
【答案】
【解析】
【分析】利用偶函数的定义求出，再结合二次函数单调性求解即得.
【详解】函数是偶函数，则，即，
整理得，而不恒为0，因此，，
函数的定义域为，根据复合函数的单调性，易知单调递增区间为.
故答案为：
13. 已知函数，若关于x的方程恰有两个不同的实数根，则a的值是__________.
【答案】或
【解析】
【分析】根据分段函数作出图象，结合图象性质分析即可得结论.
【详解】因，
作出函数的图象，如图所示：

由此可知函数在和上单调递减，在上单调递增，
且，，
又因为关于的方程恰有两个不同的实数根，
结合图象可得或.
故答案为：或.
14. 已知关于的不等式（其中）的解集为，若满足（其中是整数集），则使得集合中元素个数最少时的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据开口方向的不同分为三种情况讨论，运用基本不等式对集合进行分析.
【详解】当时，原不等式为，解得，此时集合有无穷多个元素，显然不满足题意；
当时，，则不等式解为或，
此时集合有无穷多个元素，显然不满足题意；
当时，，则不等式的解为，而，
则集合至少含有共个元素.
综上所述：集合中元素最少为个，此时且，解得.
故答案为：
四､解答题（共5小题满分77分）
15. 计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）3 （2）4
【解析】
【分析】（1）根据对数的运算法则可得答案；
（2）由指数幂的运算法则及平方和，立方差等公式计算可得答案.
【小问1详解】
结合题意可得：
;
【小问2详解】
结合题意可得：
.
16. 已知二次函数的图象与直线有且仅有一个公共点，且不等式的解集为.
（1）求此二次函数的解析式；
（2）关于的不等式的解集中恰有一个正整数，求实数的取值范围；
（3）对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，可得，是方程的两个根，写出解析式，再结合顶点坐标求解即得.
（2）由（1）的结论，分类求解不等式，进而确定的范围.
（3）依题意可得对，不等式恒成立，令，，则，解得即可.
【小问1详解】
由不等式的解集为，得且是关于的方程的两个根，
因此，
所以函数的图象开口向上，其对称轴为，
而该图象与直线有且仅有一个公共点，则图象的顶点为，
于是，解得，
所以此二次函数的表达式为，即.
【小问2详解】
由（1）知不等式为，
整理得，即，
依题意，不等式解集中恰有一个正整数，则，
当时，解得，即不等式的解集为，此时解集中不含正整数，故舍去；
当时，解得，不等式的解集为，要使解集中恰有一个正整数，
则，
所以实数的取值范围是.
【小问3详解】
对，不等式恒成立，
即对，不等式恒成立，
令，，则，解得，
即实数的取值范围为.
17. 某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场．已知该车型年固定研发成本为20亿元，受到场地和产能等其它因素的影响，该公司一年内生产该车万台（）且全部售完，每台售价20万元，每年需投入的其它成本为（单位：亿元）．（其中，利润＝销售收入－总成本）
（1）写出年利润（亿元）关于年产量（万台）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润；
（3）若该企业当年不亏本，求年产量（万台）的取值范围．
【答案】（1）
（2）当年产量为万台时，该企业获利最大，最大年利润为亿元
（3）
【解析】
【分析】（1）根据利润的计算公式，分别对不同的产量范围求出利润函数的表达式.（2）在每个分段上分别求函数的最大值，比较得出整个定义域上的最大利润.（3）对于不亏本的情况，即利润大于等于，分别在不同分段上求解不等式得出产量的取值范围.
【小问1详解】
当时，销售收入为亿元（每台售价万元，万台），总成本为固定研发成本亿元加上其他成本亿元.
根据利润=销售收入-总成本，可.
当时，销售收入为亿元，总成本为亿元.
则.
所以.
【小问2详解】
当时，，图象开口向下，对称轴为.
但，所以在这个区间上函数单调递增，所以亿元.
当时，根据基本不等式，有.
所以亿元，当且仅当，即取等号.
因为，所以当年产量为万台时，该企业获利最大，最大年利润为亿元.
【小问3详解】
当时，，即，解得.
结合，知道此时满足题意.
当时，，即，
即，令，对称轴，
当时，单调递减，且时,.
则当，恒成立，即恒成立.
综上所得，该企业当年不亏本，则年产量（万台）的取值范围为.
18. 已知定义在上的函数在0,+∞上是增函数.为偶函数，且当时，.
（1）当时，求在上的解析式；
（2）是否存在实数，使函数与的值域相同，若存在，求出所有实数的值，若不存在，说明理由；
（3）令，讨论关于的方程的实数根的个数.
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用为偶函数即可求解析式；
（2）根据二次函数、指数函数求值域，结合已知即可求的值；
（3）分类讨论确定零点情况即可.
【小问1详解】
当时，时，，
当时，则，而为偶函数，有，
所以．
【小问2详解】
∵函数在0,+∞上单调递增，
∴，且的值域为，
当时，，且为偶函数，
∴的值域为，
由题意知：．
令，易知在上单调递增，且；
∴．
【小问3详解】
由（2）有，令，
①当时， ，此时仅有一个零点．
②当时，，此时仅有一个零点．
③当时，在中，故无零点；
在中单调递增，而，，
∴故此时，使，即仅有一个有，．
④当时，在中，零点有，故有两个零点；
在中单调递增，而，即无零点；
综上所述，当时，方程有两个实数根；
当时，方程仅一个实数根．
【点睛】关键点点睛：将方程的实数根转化为的零点问题.
19. 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”.
（1）判断是否为区间上的“阶自伴函数”，并说明理由；
（2）若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的最小值；
（3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围.
【答案】（1）不是，详见解析；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）取，根据“阶自伴函数”的定义判断；
（2）根据函数为区间上的“1阶自伴函数”，得到，从而化简得到，则，再根据“1阶伴随函数”的定义得到，从而有，然后利用基本不等式求解；
（3）由是在区间上的“2阶伴随函数”，得到，且在区间上的值域必定包含区间，的值域所对应的自变量唯一求解.
【小问1详解】
解：，，
当时，，则，
所以，则，
即，但，
故不是区间上的“阶自伴函数”；
【小问2详解】
函数为区间上的“1阶自伴函数”，
则，，所以，
则，
因为任意的，总存在唯一的，使成立，
所以，
则，即，
又，所以，
所以，
，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
【小问3详解】
因为是在区间上的“2阶伴随函数”，
所以，
则在区间上的值域必定包含区间，
且的值域所对应的自变量唯一，
当时，在上递增，
则 ，解得 ；
当时，在上递减，
则，解得 ；
当0