湖北省武汉市第六中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

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一、单选题
1. 已知等轴双曲线过点，则该双曲线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设等轴双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出该双曲线的方程.
【详解】设等轴双曲线的方程为，
将点的坐标代入等轴双曲线的方程可得，
因此，该双曲线的方程为.
故选：C.
2. 已知双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据双曲线离心率公式求得，再代入椭圆的离心率公式求解即可.
【详解】∵双曲线的离心率为，
，即.
∴椭圆的离心率为：.
故选：A.
3. 已知双曲线的一条渐近线过点，则此双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出双曲线的渐近线方程，代入可得，然后计算离心率即可.
【详解】因为双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为，
所以点在上，所以，解得：，
所以.
故选：B.
4. 设椭圆的两个焦点分别为，，，P是C上一点，若，且，则椭圆C的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题目中已知的焦距，可得的值，联立焦半径的性质与题目中的等式，可得焦半径的表示，利用余弦定理，可得答案.
【详解】由，则，设，由题意可得，解得
，
由，则，
在中，由余弦定理可得，
代入可得，化简可得，解得，
易知，所以椭圆.
故选：D.
5. 椭圆左右焦点分别为，，过垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且，求椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用通径长求得三角形的面积，从而确定值，得出，然后求得离心率．
【详解】由得，由题意，
∴，解得（负值舍去），
即，
∴离心率为，
故选：A．
6. 设是椭圆上的上顶点，点在上，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】设，则，把转化成二次函数的最值问题求解.
【详解】设，则，，.
易知，
所以，.
当时，有最大值，为：.
所以的最大值为：.
故选：A
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点，且线段的中点在C的渐近线上，当点P在C的右支上运动时，的最小值为6，则此双曲线的焦距为（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】结合双曲线定义可得，进而可得，再由线段的中点在C的渐近线上得到，从而求得即可得解.
【详解】依题意，，
当三点共线时，取等号，此时，即，
因为渐近线为，
又的中点坐标为，代入渐近线方程得，则，
所以，则，得，所以，
则此双曲线的焦距为.
故选：C.
8. 已知为椭圆的右焦点，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，若△OFP是以OF为底边的等腰三角形，且外接圆的面积为，则椭圆C的长轴长为（ ）
A. B. C. 4D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由外接圆面积求半径，应用正弦定理求中的，结合已知有，根据中点弦，应用点差法有即可求椭圆的长轴长.
【详解】由外接圆的面积为，则其外接圆半径为.
∵是以为底边的等腰三角形，设，则，
∴，得，
∴或.
不妨设点在轴下方，
由是以为底边的等腰三角形，知：或
设，则
，，
所以，
所以，
因为四点共线，为线段的中点，
所以，，
所以，
所以或（此时焦点在轴上，舍去）
∵为椭圆的右焦点，
，
∴，故椭圆的长轴长为.

故选：B.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中解决弦的中点相关问题，经常利用点差法解决.
二、多选题
9. 已知曲线的方程为（），则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，曲线表示椭圆
B. “”是“曲线表示焦点在y轴上的双曲线”的充分必要条件
C. 存在实数，使得曲线的离心率为
D. 存在实数，使得曲线表示渐近线方程为的双曲线
【答案】BC
【解析】
【分析】当时可判断A；根据充分条件和必要条件的定义以及表示双曲线的等价条件可判断B；根据曲线表示椭圆的条件可得的范围，再讨论椭圆焦点在轴和轴上，由离心率公式列方程求得的值可判断C；根据曲线表示双曲线的条件可得的范围，再由焦点在轴和轴上由列方程求的值可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A，当时，曲线为，曲线表示圆，故选项A不正确；
对于B，曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，可得，
若，则，曲线表示焦点在轴上的双曲线，所以 “”是“曲线表示焦点在轴上的双曲线”的充分必要条件，故选项B正确；
对于C，假设存在实数，使得曲线的离心率为，
曲线表示椭圆，则，可得：，
若椭圆焦点在轴上，
由 ，可得，可得符合题意，
若椭圆焦点在轴上，
由，可得，可得符合题意，
所以存在或，使得曲线的离心率为，故选项C正确；
对于D，假设存在实数，使得曲线表示渐近线方程为的双曲线，
此时有，得或，
当时，，无解；当时，，无解，
所以满足题意的实数不存在，故选项D不正确．
故选：BC.
10. 设椭圆的左、右焦点分别为，，坐标原点为O.若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（ ）
A. B. 的面积为2
C. D. 的内切圆半径为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据已知求出P点坐标，根据两点间距离公式分布求出，在中利用余弦定理可判定A，三角形面积公式可判定B，利用向量数量积公式可判定C，根据等面积法可判定D.
【详解】由题意得，，则，．
由对称性可设（，），，，，
由，解得，又，，
所以，，
所以．
由椭圆的定义得，
对于A，在中，设，由余弦定理，得，
即，
解得，故A正确；
对于B，的面积为，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，设的内切圆半径为r，由的面积相等，得，
即，解得，故D正确．
故选：ABD．
11. 已知双曲线的焦距为4，，为左右焦点，A，B，D为双曲线上不同的三点，其中A，B两点关于原点对称，直线DA与DB斜率的乘积为1，则下列说法正确的是（ ）
A. 若过点F2直线l与C的右半支交于两点，则直线l的倾斜角的取值范围为
B. 若P为双曲线C上一点，且，则
C. 若N为双曲线C上任意一点，则
D. 若M为双曲线右支上一点，延长MF2交双曲线右支于点Q，设与的内切圆半径分别为，，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据和焦距可求得双曲线的方程；根据直线与双曲线交点情况可确定其斜率与渐近线斜率之间的关系，由斜率和倾斜角的关系可判断A；结合双曲线定义和余弦定理可判断B；利用双曲线方程化简与，可判断C；根据双曲线焦点三角形内心在轴投影为双曲线的顶点，结合可判断D.
【详解】设，，则，
，
又，，，，
双曲线的方程为：；
对于A，由双曲线方程可得渐近线方程为：，
过点的直线与的右半支交于两点，或，
直线的倾斜角的取值范围为，A正确；
对于B，由双曲线定义知：，，
，B错误；
对于C，设，则，
，，，，
，
，，，
，即，C正确；
对于D，设的内切圆与分别相切于点，
则，，，
，又，
，，即，
在直线上，同理可知：的内切圆圆心在直线上；
平分，平分，，
，即，又轴，
，即，D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题求解焦点三角形相关问题的关键是，能够熟练应用双曲线的定义对长度关系进行转化，同时能够熟练掌握焦点三角形内心的位置特征.
三、填空题
12. 已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】首先设出与共渐近线的双曲线方程，再代入点，求出，从而求出的方程.
【详解】设双曲线：，
将代入可得，
故双曲线：.
故答案为：.
13. 已知椭圆的焦距为2c，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据椭圆焦点坐标以及直线过定点可得点在椭圆内部，整理不等式，可得离心率.
【详解】将直线整理可得，
易知该直线恒过定点，
若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，
可知点在椭圆内部，
易知椭圆上的点当其横坐标为时，纵坐标为，即可得，
整理可得，即，
解得，.
故答案为：.
14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为A，延长与另一条渐近线交于点，若（为坐标原点），则该双曲线的渐近线方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】利用已知条件求出点坐标，求出点到渐近线的距离，结合可以得到点到渐近线的距离为，进而利用点到直线的距离公式求出与的关系，然后求解该双曲线的渐近线方程即可.
【详解】
由题意知，双曲线两条渐近线方程分别为：与，
过点且与渐近线垂直的直线方程为，
联立，可解得，
点到渐近线的距离，
因为，所以点到渐近线的距离为，
所以，即，所以，
即双曲线的渐近线方程为：.
故答案为：
四、解答题
15. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，C的右顶点D在圆上，且
（1）求C的方程；
（2）点P在C上，且轴，过点P作C的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知可得，由可得，进而得到，即可确定双曲线方程；
（2）由（1）有，令、渐近线为，应用点线距离公式求距离，即可得结果.
【小问1详解】
由题意，即，又，
则，，
则，即，
则，即.
【小问2详解】
由（1）知：，将代入双曲线，得，
不妨令，又双曲线渐近线为，如下图示，
所以，，则.
16. 已知椭圆的焦点是，，且，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C与直线交于M，N两点，且，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意求出，进而得到，求出椭圆方程；
（2）联立直线与椭圆方程，根据根的判别式得到，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式表达出弦长，得到方程，检验后求出答案
【小问1详解】
由题意得：，，解得，
故，
故椭圆C的方程为；
【小问2详解】
联立与得，，
，解得，
设，则，
故
，
又，
所以，解得，满足，
故实数的值为
17. 如图，等腰梯形中，，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.
（1）证明：平面；
（2）若为上一点，且三棱锥的体积是三棱锥体积的2倍，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）在梯形中，取的中点，证明四边形为平行四边形，再根据圆的性质得出，利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，由得出，利用向量法即可得出二面角的余弦值.
【小问1详解】
在梯形ABCD中取AD中点N，连接CN，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，又因为，所以，
所以点在以为直径的圆上，所以.
又因为，，平面
所以平面.
【小问2详解】
取中点，连接，因为，所以，
由（1）得平面，又因为面，
所以平面面，因为为两平面交线，
所以面，
以为原点，为轴，过且与垂直的直线为轴，为轴建立直角坐标系，
设，则，，，，
由，得，
所以，
设平面的法向量为，
所以，即，
取，则，，所以，
又因为平面的法向量，
所以,
因为二面角为锐二面角，所以其余弦值为.
18. 已知双曲线的左、右顶点分别为，，直线与C的右支交于，两点.
（1）求实数的取值范围；
（2）若直线，的斜率分别为，，证明：是定值.
【答案】（1）
（2）是定值
【解析】
【分析】（1）设，，直线，联立双曲线方程，得到两根之积小于即可求解；
（2）对进行配凑得，代入计算即可.
【小问1详解】
设，，直线，
由，消元得：，
整理得：.
因为直线过定点且与双曲线右支有两个交点，
因为在轴上，且在双曲线的内，
所以有：，，且，
则，解得：.
【小问2详解】
，，，，
由（1）可知，直线与双曲线联立消元可得：，
所以，根据已知条件有：
，
所以是定值.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
19. 在平面直角坐标系中，为直线上一动点，椭圆：的左右顶点分别为，，上、下顶点分别为，．若直线交于另一点，直线交于另一点．
（1）求证：直线过定点，并求出定点坐标；
（2）求四边形面积的最大值．
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）依题求出椭圆方程，设，由直线，方程分别与椭圆方程联立，求出点的坐标，由对称性知，定点在轴上，设为，由求出的值即得；
（2）根据图形，可得四边形的面积，代入和，经过换元，运用基本不等式和函数的单调性即可求得面积最大值.
【小问1详解】
由题意知，，椭圆：
如图，设，
当时，直线方程为：，代入，
得，则，从而，点
又直线的方程为：，代入，
得则，从而，点
由对称性知，定点在轴上，设为
由，即，化简得，
因故得，解得.
即直线过定点，而当时，直线也过定点．
综上，直线恒过定点．
【小问2详解】
由图可知四边形的面积为
，
令，当且仅当时等号成立，
因在上单调递增，而，
故当时，四边形面积有最大值．
【点睛】方法点睛：本题主要考查直线过定点和四边形面积的最值问题，数据计算较大.
求解直线过定点问题，一般是通过消参后将直线方程化成含一个参数的方程，再求定点；对于四边形面积问题，常运用合理的拆分或拼接，使其表达式易于得到，再利用基本不等式，或函数的单调性求其范围即可.