（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+随堂检测05三角函数的图象及性质（2份，原卷版+教师版）

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考点01：三角函数的定义域、值域
【例1】已知函数.
(1)求的最小正周期和单调增区间；
(2)求证：当时，恒有.
【答案】(1)的最小正周期为，单调增区间为；(2)证明见解析
【详解】（1）函数
，∴函数的最小正周期，
令，得，
∴函数的单调增区间为.
（2）当时，∴
即当时，恒成立，得证.
【变式1】函数的最小值是______．
【答案】
【详解】函数，令，所以，
因为函数的对称轴为，所以函数在上为增函数，在上为减函数，
所以当时，函数有最小值.故答案为：
解得，故选：D
【变式2】函数，的值域是______.
【答案】
【详解】，且，，，，因此函数在的值域是.故答案为：.
考点02：由三角函数的值域（最值）求参数
【例2】设函数，已知，当______时，的最小值为-2，此时______.
【答案】
【详解】.∵，
∴，∴当，即时，取得最小值为，∴.
故答案为：；
【变式3】已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为________．
【答案】
【详解】，因为在区间上存在最大值，所以在区间上存在最小值，由，得，所以，即.故答案为：
【变式4】已知函数的部分图象如图所示，且在上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是______.

【答案】
【分析】由，推出，从而知，再由，求得的取值范围，并结合正弦函数的图象与性质，即可得解．
【详解】由图知，所以，因为，所以，即，
由，知，因为在上恰有一个最大值和一个最小值，
所以，解得．故答案为：．
考点03：求三角函数的周期性，奇偶性，单调性，对称性
【例3】（多选）设函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的图像关于直线对称
C．的一个零点为 D．在单调递减
【答案】ABD
【详解】函数，最小正周期为，A选项正确；由，解得图像的对称轴方程为，当时，，B选项正确；
，不是的零点，C选项不正确；
时，有，是正弦函数的单调递减区间，所以在单调递减，D选项正确.故选：ABD
【变式5】（多选）下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【详解】对于A：的最小正周期，且在区间上单调递增，故A符合题意；
对于B：，将在x轴下方的图象翻折到上方，可知最小正周期，在区间上单调递减，故B不符合题意；对于C，的最小正周期，
，则在区间上单调递增，故C正确；
对于D，，的最小正周期，
，则在区间上有增有减，故D不正确.故选：AC.
【变式6】（多选）已知函数，则（ ）
A．的最小值为－2
B．的单调增区间为，
C．的对称中心为，
D．若为偶函数，则最小值是
【答案】BD
【分析】根据二倍角的正弦余弦公式和辅助角公式，利用三角函数的性质及诱导公式即可求解.
【详解】，
可得的最小值为，故A错误；
由，得，所以的单调增区间为，，故B正确；
由，得，所以的对称中心为，，故C错误；
若为偶函数，即是偶函数，所以，解得，可得最小值是，故D正确.故选：BD.
考点04：解三角不等式
【例4】在中，是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】在中，，则或，故推不出，可推出，则在中，是的必要不充分条件，故选：B.
【变式7】求函数的定义域为_________．
【答案】
【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式组，再利用正余弦函数的性质求解作答.
【详解】函数有意义，则，即，
解，得，解，得，
于是，所以所求定义域为.
故答案为：
考点05：根据单调求参数
【例5】函数的最小正周期为________，若函数在区间上单调递增，则的最大值为________.
【答案】
【详解】函数的最小正周期.由，，得，，所以的单调递增区间为，，若函数在区间上单调递增，则，，则，则，即的最大值为.
【变式8】（多选）已知函数的图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则以下（ ）可能是的值.
A．B．4C．D．
【答案】ABC
【分析】根据的对称中心和单调性列不等式，求得的范围，从而确定正确答案.
【详解】由于关于点对称，所以，①.
由于，且在区间上是单调函数，所以在上递减，
，所以②.由①②得，
所以或或，所以，或，或.故选：ABC
【变式9】（多选）若函数在区间上单调，则的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】方法一：首先求得，由在上单调可构造不等式组，结合可确定所有可能的取值，由此可得的范围，进而确定选项；
方法二：利用诱导公式可化简得到，得到，根据，可确定，结合正弦函数的单调性可构造不等式组求得的范围，进而确定选项.
【详解】方法一：当时，，在区间上单调，
或，
或；
由得：；又，；，
又，，，又，；
由得：；又，，，
又，，，即；综上所述：.
方法二：，当时，；
在上单调，，；由，
知：或，解得：或，.故选：AC.
考点06：根据对称求参数
【例6】若函数在区间上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，因为，，所以，
因为区间上恰有唯一对称轴，故，解得.故选：D
【变式10】已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为________．
【答案】
【分析】代入余弦函数的零点满足的公式判断即可.
【详解】的图象关于点对称，，即，令，可得的最小值为．故答案为：
【变式11】（多选）已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数
D．函数在上有且仅有一个零点
【答案】ACD
【详解】因为函数在上单调，所以的最小正周期满足，即，所以.因为的图象关于点对称，所以，，得，，由，得，因为，所以，.
所以.对于A，的最小正周期为，故A正确；
对于B，，，
所以，故B不正确；对于C，将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为为偶函数，故C正确；对于D，，令，得，令，由，得，作出函数与直线的图象如图：

由图可知，函数与直线的图象有且只有一个交点，所以函数在上有且仅有一个零点，故D正确.故选：ACD
考点07：由图象确定三角函数解析式
【例7】（多选）如图是函数的部分图象，则下列结论正确的有（ ）

A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称
C．D．函数在上有2个零点
【答案】ACD
【详解】由函数的图象，可得，解得，所以，
又由，可得，所以，解得，因为，所以，即，所以A正确，B不正确；
又由，所以C正确；当时，可得，当时，即时，可得；当时，即时，可得，所以函数在上有2个零点，所以D正确.故选：ACD.
【变式12】（多选）已知是定义在闭区间上的偶函数，且在y轴右侧的图象是函数图象的一部分(如图所示)，则（ ）
A．的定义域为
B．当时，取得最大值
C．当时，的单调递增区间为
D．当时，有且只有两个零点和
【答案】BCD
【详解】由图得，且位于增区间上，所以，又因为，所以，
，则，得，所以，所以，由图可知，原点右侧的第二个零点为，所以的定义域为，故A错误；当时，，因为为最大值，则当时，取得最大值，故B正确；当时，令，则，
又因为，所以当时，的减区间为，因为函数为偶函数，所以当时，的单调递增区间为，故C正确；当时，，令，
得或，则或，因为函数为偶函数，所以当时，有且只有两个零点和，故D正确.故选：BCD.
考点08：描述三角函数的变换过程
【变式8】已知函数的部分图象如下所示，其中，为了得到的图象，需将（ ）
A．函数的图象的横坐标伸长为原来的倍后，再向左平移个单位长度
B．函数的图象的横坐标缩短为原来的后，再向右平移个单位长度
C．函数的图象向左平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的倍
D．函数的图象向右平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的倍
【答案】D
【详解】依题意，，解得，故，则，而2，故，而，故.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到，再将横坐标伸长为原来的倍，得到.故选：D.
【变式13】（多选）为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有点（ ）
A．向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍
B．向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍
C．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度
D．横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度
【答案】ABD
【详解】因为，
所以将向左平移个单位长度得到，再将横坐标缩短到原来的倍得到，故A正确；
将向右平移个单位长度得到，再将横坐标缩短到原来的倍得到，故B正确；
将横坐标伸长到原来的倍得到，再将向左平移个单位长度得到，故C错误；
将横坐标缩短到原来的倍得到，再将向左平移个单位长度得到，故D正确；故选：ABD
【变式14】已知函数的最小正周期为T．若，把的图象向右平移个单位长度，得到偶函数的图象，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【详解】由题知，把函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象．因为为偶函数，所以，即．又，所以．
因为的最小正周期为，所以，
即，解得．所以，所以．故选：A．
考点9：三角函数图象与性质的综合应用
【例9】已知函数，，
(1)求的单调递减区间；
(2)求在闭区间上的最大值和最小值；
(3)将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数在上所有零点之和．
【答案】(1)；(2)最小值为，最大值为；(3)
【详解】（1）函数.
令解得，
所以函数的单调递减区间为，
（2）由（1）得，由于，所以，
所以，故，
当时，函数的取最小值，最小值为，
当时，函数的取最大值，最大值为.
（3）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，
令，，即，
整理得，即或，
当时，或，即，；当时，，；当时，；
故所有零点之和为．
【变式15】（多选）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则（ ）
A．的最小正周期为B．在上单调递增
C．函数的最大值为D．方程在上有5个实数根
【答案】ACD
【详解】函数的图象向右平移个单位长度后得到，所以的最小正周期为，则是的半个最小正周期，又是的一个单调递增区间，所以，即，，解得，，因为，所以，故，的最小正周期，故A正确；
令，，解得，，即的递增区间为，，所以在上单调递增，故B错误；
，所以
，所以函数的最大值为，故C正确；
当时，令，则、、、、，即方程在上有5个实数根，故D正确.故选：ACD.
三角函数的图象及性质 随堂检测
1.函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，所以所求最小正周期为.故选：C.
2.若函数的图像关于轴对称，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为函数的图像关于轴对称，所以当时，取得最值，
所以，得，对于A，若，则，解得，不合题意，对于B，若，则，解得，不合题意，对于C，若，则，解得，题意，对于D，若，则，解得，不合题意，故选：C
3.为了得到函数的图象，需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】D
【详解】易知，，因为，所以函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.故选：D．
4.已知向量，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是（ ）
A．关于直线对称B．关于点对称
C．周期为D．在上是增函数
【答案】D
【详解】因为向量,
.
所以.对于A，把代入得，没有取得最值，所以不成立.
对于B，把代入得，所以不成立.对于C，由于周期,所以不成立.对于D，因为，又，所以在上是增函数.故选：D.
5.函数的定义域为，值域为，则α的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，令，得：，二次函数开口向下，对称轴为，因为，所以函数为递增函数，因为当时， ，当时， ，所以，即时，，使函数的值域为，所以由余弦函数图象与性质可知， ，所以的取值范围是：．故选：A
6．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，，所以，又因为在上单调递减，所以，,解得：，因为，故，而，故，故.故选：C
7.函数的值域为______.
【答案】
【详解】，，则，，故.
故答案为：
8.已知函数的部分图象如图．

(1)求的表达式；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍得到函数的图象．若关于方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）函数的周期为，由图象可得，得所以，
所以，因为的图象经过点，
所以，解得，得，
因为，所以，所以，
（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线：，
因为再把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍得到函数的图象，
所以，因为关于的方程在上有两个不同的实数解，
所以在上有两个不同的实数解，令，则，
因为，所以，所以，所以，
所以只需与的图象在有两个不同的公共点，作出在上的简图如下，

由图可知当或时，与的图象有两个不同的公共点，所以实数的取值范围为.