（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+随堂检测06平面向量（2份，原卷版+教师版）

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考点01 平面向量的基本概念
【例1】给出下列3个命题，①相等向量是共线向量；（2）若与不相等，则向量与是不共线向量；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故相等向量一定是共线向量，即①正确；
若与不相等，则向量与也可以共线，只要与模不同即可，故②错误；平行于同一个向量的两个向量不一定是共线向量，如，，，此时，，但是与不一定共线，故③错误；即真命题只有个.故选：B
【变式1】（多选）下列叙述中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．已知非零向量与且//，则与的方向相同或相反
D．对任一非零向量是一个单位向量
【答案】CD
【详解】A：若时，不一定有，错误；B：向量不能比较大小，错误；C：非零向量与且//，则与的方向相同或相反，正确；D：非零向量，则是一个单位向量，正确.故选：CD
【变式2】（多选）下列说法正确的有（ ）
A．
B．λ、μ为非零实数，若，则与共线
C．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小
D．若平面内有四个点A、B、C、D，则必有
【答案】BCD
【详解】对于A选项，，故错误；对于B选项，因为为非零实数，且，与一定共线，故正确；对于C选项，向量不能比较大小；向量的模可比较大小，故正确；对于D选项，由，所以，故正确.故选：BCD.
考点02 平面向量的线性运算
【例2】如图所示，，，M为AB的中点，则为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，，M为AB的中点，所以.
故选：B
【变式3】在如图所示的五角星中，以A、B、C、D、E为顶点的多边形为正五边形，且，设，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将转化为，结合已知可得.
【详解】在五角星中，，，则，，，
，.故选：C.
【变式4】在中，E为AC上一点，，P为线段BE上任一点，若，则的最小值是（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】B
【详解】由题可得B，P，E三点共线，则.又，，
则，则.
当且仅当，即时取等号.故选：B
考点03 向量共线与三点共线
【例3】如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设.
(1)用向量与表示向量；
(2)若，求证：三点共线.
【答案】(1)，；(2)证明见解析
【详解】（1）是的中点，
；.
（2），
与平行，又与有公共点，三点共线.
【变式5】设是不共线的两个向量，.若三点共线，则k的值为__________.
【答案】
【详解】因为三点共线，故,则，使得，
又，故，则，解得，
故答案为：
【变式6】已知是不共线的向量，且，则（ ）
A．A、B、D三点共线 B．A、B、C三点共线
C．B、C、D三点共线 D．A、C、D三点共线
【答案】D
【详解】因为，所以，
若A、B、D三点共线，则，而 无解，故A错误；
因为，所以，
若A、B、C三点共线，则，而 无解，故B错误；
因为，所以，
若B、C、D三点共线，则，而 无解，故C错误；
因为，所以，
即，所以A、C、D三点共线，故D正确.故选：D
考点04 平面向量共线定理的推论
【例4】如图所示，在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用共线定理的推论可得.
【详解】因为，所以，所以，
因为P，B，N三点共线，所以，解得.故选：D
【变式7】如图，在△ABC中，点P在边BC上，且，过点P的直线l与射线AB，AC分别交于不同的两点M，N，若，，则实数的值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合向量的运算可得，然后由三点共线得，可得答案.
【详解】由题意知：，又，，即，由三点共线，可得，即.故选：B.
【变式8】在中，点O满足，过点O的直线分别交射线AB，AC于点M，N，且，，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】利用共线定理的推论可得，然后妙用“1”可得.
【详解】由题可知，，因为，，所以，，
又，所以，所以，
因为三点共线，所以，所以，
当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为.故选：A

考点05 平面向量基本定理
【例5】（多选）已知M为△ABC的重心，D为边BC的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】如图，根据向量加法的平行四边形法则，易得，故A正确；
由题意得M为线段AD的靠近D点的三等分点，所以，又，
所以，故B正确；，故C正确；
，，又，所以，故D错误. 故选：ABC
【变式9】在中，点为与的交点，，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量基本定理得到，，从而列出方程组，求出，得到，求出答案.
【详解】因为，所以为中点，三点共线，故可设，
即，整理得，
因为，所以，即，三点共线，
可得，所以，解得，
可得，则，.故选：B
考点06 平面向量的坐标运算
【例6】若，，C为AB的中点，D为AB上更靠近A的三等分点，则C的坐标为______，D的坐标为______．
【答案】
【分析】根据中点的坐标公式求的坐标，利用求的坐标.
【详解】根据中点坐标公式，的坐标为，，则．因为，所以的坐标为．故答案为：，
【变式11】已知，，．
(1)若，求的值；
(2)若，且，，三点共线，求的值．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）因为，，所以，因为，所以，解得.
（2）因为，，因为，，三点共线，所以，所以，解得，故的值为．
【变式12】在矩形中，，，E为CD的中点，若，，则________．
【答案】
【详解】建立如下图的平面直角坐标系，
由已知得，，，，由得，设，则，可得，解得，所以，，又因为，所以，解得，，则.
故答案为：.
考点07 求数量积
【例7】在平面直角坐标系中，设向量，
(1)当时，求，的值；
(2)若且，求的值.
【答案】(1)，；(2)
【详解】（1）因为，，
当时，，所以，，
（2）∵，，
∴，∴，
∵，，∴，解得，∴.
【变式13】如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在该坐标系中，，，则______.

【答案】
【详解】由平面向量数量积的定义可得，由题意可得，，所以，.故答案为：.
考点08 垂直关系的判断及应用
【例8】已知平面向量，，，，，则的值是______.
【答案】
【详解】，因为，所以，解得，
又因为，所以，故答案为：
【变式15】已知向量，．若，则实数的值为 ．
【答案】
【详解】， ，
因为，所以整理得，故．
【变式16】已知向量 ， ，若 ，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】已知向量 ， ，且，则，即，
若，则，这与矛盾，所以，，故，
因此，.故选：A.
考点09 向量的模
【例9】已知三个不共线的平面向量，，两两所成的角相等，，，，则______.
【答案】5
【详解】由题知三个不共线的平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是，
因为，，，所以
，所以.故答案为：5
【变式17】如图，在平面四边形中，，，，则的最小值为__________．

【答案】
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设，利用垂直关系和模的坐标公式可得，故可求模的最小值.
【详解】以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设，
因为，且，故，故，，
故，而，故，故，即，
所以，当时，.
故答案为：
考点10 求两个向量的夹角
【例10】设两个向量，满足，．
(1)若，求，的夹角；
(2)若，的夹角为60°，向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)且.
【分析】（1）根据数量积运算以及结果，结合模长，即可求得，再根据数量积求得夹角；
（2）根据夹角为锐角则数量积为正数，求得的范围，再排除向量与不为同向共线向量对应参数的范围，则问题得解.
【详解】（1）因为，所以，又，，所以，
所以，又，所以向量、的夹角是.
（2）因为向量与的夹角为锐角，所以，且向量与不同向共线，
即，又、夹角为，所以，
所以，解得，又向量与不同向共线，
所以，解得，所以的取值范围是且.
【变式18】已知向量，．
(1)若，求实数k的值；
(2)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
【答案】(1)k＝；(2)．
【分析】（1）先求出，然后再根据垂直关系即可求出；
（2）由与的夹角是钝角得到且与方向不相反，得到不等式组，求出实数k的取值范围.
【详解】（1），因为，所以，解得：.
（2）若与的夹角是钝角，则且与方向不相反，即，且解得：且，
故实数k的取值范围是.
考点11求投影向量
【例11】已知向量，且满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，得，所以，，
所以向量在向量上的投影向量为.故选：C
【变式19】已知，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用在方向上投影向量公式计算即可得出结果.
【详解】在方向上的投影向量为，故选：C
考点12 最值、范围问题
【例12】已知是单位向量，向量满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量数量积公式得到，结合，得到不等式，求出的取值范围.
【详解】设的夹角为，由题意得，因为是单位向量，故，显然，且，所以，因为，所以，所以，解得.故选：C
【变式20】在中，，为边上的动点，则的最小值为_________．
【答案】.
【详解】由于，所以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系如图所示：

则有：，设点，且，
所以，，
则，
当时，取得最小值．故答案为：．
平面向量 随堂检测
1.已知向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，且，所以，所以.故选：C.
2.（多选）如图，是正六边形的中心，则（ ）

A． B．
C． D．在上的投影向量为
【答案】CD
【分析】根据向量的线性运算法则，可判定A、B不正确，结合向量的数量积的定义域运算，可判定C正确，结合向量的投影的定义与运算，可判定D正确.
【详解】根据题意，结合平面向量的线性运算法则，可得：对于A中，由，所以A不正确；对于B中，由，所以B不正确；
对于C中，设正六边形的边长为，可得，，所以，所以C正确；对于D中，如图所示，连接，可得，可得，所以在向量上的投影向量为，所以D正确.故选：CD.

3.已知，是平面上的非零向量，则“存在实数，使得”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分性必要性的定义，结合向量共线的结论进行判断.
【详解】因为分别表示与方向相同的单位向量，所以由可知，方向相同；
“存在实数，使得”即共线，包含方向相同或方向相反两种情况．
所以，“存在实数，使得”不能推出是“”；“” 可以推出“存在实数，使得”，
所以“存在实数，使得”是“”的必要不充分条件．故选：B.
4若两个非零向量满足，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量夹角公式结合数量积公式计算求解.
【详解】设向量与的夹角为θ.由，左右两边平方得,
得.由，得，从而.
故选:B.
5.如图，在中，点，分别在边和边上，，分别为和的三等分点，点靠近点，点靠近点，交于点，设，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，，所以，又，所以，因为，所以，
所以，解得，所以，故选：B.
6.在中，点是边所在直线上的一点，且，点在直线上，若向量，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．9
【答案】B
【分析】由题意可得，又点，，三点共线，所以，再利用“1”的代换，结合基本不等式求解即可．
【详解】，，，点，，三点共线，，
又，，，当且仅当，即，时，等号成立，的最小值为4．故选：B．
7.设，是两个不共线的向量，关于向量，有①，；②，；③；，④；．其中，共线的有________．（填序号）
【答案】①②③
【详解】①，共线；②，共线；③，共线；④和无法表示成，所以不共线.
故答案为：①②③
8.如图，在的方格中，已知向量的起点和终点均在格点，且满足，那么______.

【答案】1
【详解】如图所示，作单位向量,

则，，所以.又，
所以,所以，解得，所以.故答案为:1.
9.已知平面向量满足,且，则=___________．
【答案】
【分析】由数量积的运算律求出，再由向量的模长公式即可得出答案.
【详解】由,得,
所以.故答案为：
10.已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为______.
【答案】
【分析】先利用数量积定义及运算律求出和，再利用投影向量的定义求解即可.
【详解】因为，与的夹角，则，所以，所以在上的投影向量为.
故答案为：
11.已知，，.
(1)若，求；
(2)设，求的单调递增区间.
【答案】(1);(2)，.
【详解】（1）解：当时，则，，所以，.
（2）解：因为，
由，，解得，.
所以的单调递增区间为，.