（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+随堂检测11椭圆方程及其性质（2份，原卷版+教师版）

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考点01椭圆的定义
【例1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的动点，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆定义得，再利用基本不等式求解最值即可.
【详解】因为点P是椭圆上的动点，，，所以，
所以，
当且仅当即时，等号成立.故选：A.
【变式1-1】已知点满足方程，点．若斜率为斜率为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，根据题意分析可知点在以为焦点的椭圆上，结合椭圆方程运算求解.
【详解】设，则，可得，即点在以为焦点的椭圆上，且，所以点的轨迹为，整理得，由题意可知：，所以.故选：A.
【变式1-2】已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为 .
【答案】.
【分析】根据三角形三边之间的不等关系可得，再结合椭圆定义将化为，结合以及图形的几何性质即可求得答案.
【详解】由题意知为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，
故，

故，当且仅当共线时取等号，所以
，当且仅当共线时取等号，而,故的最小值为，故答案为：
考点02椭圆的标准方程
【例2】（多选）如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】焦点在x轴上，则标准方程中，解得或．又，，得，所以或．故选:BC．
【变式2-1】已知m、n均为实数，方程表示椭圆，且该椭圆的焦距为4，则n的取值范围是 .
【答案】
【分析】由椭圆的定义可得，，，再分和两种情况讨论，结合椭圆的焦距即可得解.
【详解】由题意得，，，所以，
①若，即时，则焦点在轴上，则，所以，
代入，，，得，解得；
②若，即时，则焦点在轴上，则，所以，
代入，，，得，解得；综上，n的取值范围是.
故答案为：.
考点03椭圆的焦点三角形问题
【例3】已知椭圆C：的左､右焦点分别是，，为椭圆C上一点，则下列结论不正确的是（ ）
A．的周长为6 B．的面积为
C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的直径为
【答案】D
【详解】由题意知，，，，由椭圆的定义知，，，
∴的周长为，即A正确；将代入椭圆方程得，解得，∴的面积为，即B正确；设的内切圆的半径为r，则，即，∴，即C正确；不妨取，则，，∴的面积为，即，，
由正弦定理知，的外接圆的直径，即D错误，故选:D.

【变式3-1】（多选）若是椭圆上一点，，为其左右焦点，且不可能为钝角，则实数的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】CD
【分析】根据椭圆的几何性质可判断为椭圆的短轴端点时，此时最大，即可列不等式求解.
【详解】由椭圆的性质可得当点为椭圆的短轴端点时，此时最大，若不可能为钝角，当点为椭圆的短轴断点时，则，则，即，
又焦点在轴上，解得，所以实数的值可以是4，5，故选：CD

【变式3-2】已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为 ．
【答案】
【分析】由向量的夹角公式可得，利用余弦定理、椭圆定义可得，再由三角形面积公式可得答案.
【详解】因为，，所以，若，因为，则可得，由余弦定理可得
，所以，则.
故答案为：.

考点04椭圆的简单几何性质
【例4】曲线与曲线的（ ）.
A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等
【答案】B
【详解】曲线是焦点在轴上的椭圆，则，长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率.曲线，由得，且，故曲线也是焦点在轴上的椭圆，，长轴长、离心率、短轴长均与有关，不一定与曲线的相同；而其焦距为，与曲线的焦距相同.故选：B.
【变式4-1】设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第二象限．若为等腰三角形，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】先根据方程求，由题意分析可得，列方程求解即可.
【详解】由题意可知：，设，因为为上一点且在第二象限，则，，又因为为等腰三角形，且，则，
即，解得，所以点的坐标为.故答案为：.
考点05求椭圆离心率
【例5】已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由令，得，由于与轴平行，且在第一象限，
所以.由于，所以，
即，将点坐标代入椭圆的方程得，
，，
所以离心率.故选：B

【变式5-1】如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，易知，则，，又，
所以.故选：C
【变式5-2】已知椭圆的左､右焦点为，点在椭圆上，分别延长，交椭圆于点，且，则线段的长为 ，椭圆的离心率为 .
【答案】
【详解】根据，以及椭圆定义，得，设，则，根据，由勾股定理，得；
在中，，在中，由余弦定理，得，所以，所以，
在中，由勾股定理，得.，在中，由余弦定理，
得，所以，离心率.故答案为：；

考点06求椭圆离心率的取值范围
【例6】已知圆与椭圆 ，若在椭圆上存在一点，使得由点所作的圆的两条切线的夹角为，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设椭圆上任意点(与上下顶点不重合)作圆的切线，且，根据题意问题化为保证时，进而得到关于椭圆参数的不等式，结合椭圆离心率范围及求法确定离心率的取值范围.
【详解】由题设，圆与椭圆在上下顶点处相切，椭圆上任意点(与上下顶点不重合)作圆的切线，如下图，

若且，要所作的圆的两条切线的夹角最小，只需最大，所以，当与左右顶点重合时，此时最小；靠近上下顶点时无限接近；在椭圆上存在一点，使得所作的圆的两条切线的夹角为，所以，保证时，即，由题意及图知：，故，而，所以椭圆的离心率的取值范围是.
故选：A
考点07直线与椭圆的位置关系
【例7】在椭圆上求一点，使点到直线的距离最大时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可知，当点在第三象限且椭圆在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离取得最大值，可设切线方程为，将切线方程与椭圆方程联立，求出的值，利用平行线间的距离公式可求得结果.
【详解】如下图所示：

根据题意可知，当点在第三象限且椭圆在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离取得最大值，可设切线方程为，联立，消去整理可得，，因为，解得，所以，椭圆在点处的切线方程为，因此，点到直线的距离的最大值为,联立，可得点的坐标为.故选：B.
考点08椭圆的弦长问题
【变式8】（多选）已知过点的直线与椭圆交于、两点，则弦长可能是（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】BC
【详解】当直线斜率存在时，设过斜率存在的直线方程为：，联立方程组消去，并整理得，易得，设，，则，，
，，
当斜率不存在时，故．故选:BC．
考点09椭圆的中点弦问题
【例9】已知椭圆方程为，其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，利用点差法求解即可．
【详解】设，代入椭圆的方程可得，．两式相减可得：．由，，代入上式可得：
＝0，化为．又，，联立解得．∴椭圆的方程为：．
故选：C．
【变式9-1】已知椭圆的长轴长为，且与轴的一个交点是，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】由题意可求得椭圆方程为，由，得点为线段的中点，然后利用点差法可求出直线的方程，则的最小值为点到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可求出结果.
【详解】由题意得，则，，所以椭圆方程为，
因为，所以在椭圆内，所以直线与椭圆总有两个交点，因为，所以点为线段的中点，设，则，，所以，所以，所以，即，所以，所以直线为，即，因为M为直线上任意一点，所以的最小值为点到直线的距离，故选：B
考点10直线与椭圆的综合问题
【例10】已知椭圆：的离心率为，且经过点．
(1)求的方程；
(2)过椭圆外一动点作椭圆的两条切线，，斜率分别为，，若恒成立，证明：存在两个定点，使得点到这两定点的距离之和为定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【分析】（1）根据离心率以及椭圆经过的点，联立的方程即可求解，
（2）联立直线与椭圆的方程，根据相切得判别式为0，进而得到，为关于的方程的两根，利用韦达定理可得，进而得点在椭圆上运动，由椭圆的定义即可求解.
【详解】（1）设的半焦距为，则由离心率，得，所以，
因为经过点，所以，即，得，．所以的方程为．
（2）设，直线的方程为，即，
记，则的方程为，代入椭圆的方程，消去，得．
因为直线，与椭圆相切，所以，即，
将代入上式，整理得，同理可得，
所以，为关于的方程的两根，从而，
整理可得，所以点在椭圆上运动，
所以存在两个定点，，使得，为定值．
椭圆方程及其性质 随堂检测
1.已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】C
【分析】先证明四边形是平行四边形，再利用椭圆的定义求出即得解.
【详解】因为,所以四边形是平行四边形.所以.
由椭圆的定义得.所以.故选：C

2．若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用点差法求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】若直线轴，则点、关于轴对称，则直线的中点在轴，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，设点、，则，
所以，，两式作差可得，即，
即，可得直线的斜率为，
所以，直线的方程为，即.故选：B.
3.已知是椭圆的左焦点，若过的直线与圆相切，且的倾斜角为，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据直线与圆相切的位置关系可构造的齐次方程，结合椭圆关系可求得离心率.
【详解】由题意知：，则直线，即，与圆相切，，即，，，椭圆的离心率.故选：A.
4.已知椭圆为椭圆的对称中心，为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，轴，与椭圆的另一个交点为点为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】如图，不妨设，
因为点在椭圆上，所以，解得，所以，又因为为等腰直角三角形，所以,即，即，所以，解得或（舍），故选:B.
5.椭圆上的一点到左焦点的距离为是的中点，则等于 .
【答案】3
【分析】设椭圆的右焦点，则根据椭圆有定义可求出，再利用三角形的中位线定理可求得答案.
【详解】设椭圆的右焦点，连接，则由，知.又点为的中点，点为的中点，所以.故答案为：3
6.已知椭圆的一个焦点为，椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率取值范围是 ．
【答案】
【详解】依题意不妨设为椭圆的左焦点，则，设，则，，，则，若存在点使得，则存在点使得，即在上有解，即在上有解，令，显然，，所以，即且，由，即，解得或，由，即，解得或，又，所以，即．故答案为：．

7.已知椭圆的下焦点、上焦点为，离心率为.过焦点且与轴不垂直的直线交椭圆于，两点.
(1)求的值；
(2)求（为坐标原点）面积的最大值.
【答案】(1);(2)
【详解】（1）由题意可得，，因为离心率，所以，
又，所以，解得；
（2）由（1）知，椭圆的上焦点为，设，直线，
联立，整理得：，则，且，
所以，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为.