（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+随堂检测12双曲线方程及其性质（2份，原卷版+教师版）

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考点01双曲线的定义及标准方程
【例1】设是双曲线左支上的动点，分别为左右焦点，则（ ）
A． B． C．4 D．
【变式1-1】如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（ ）
A． B． C．或 D．不确定
【变式1-2】已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
考点02根据方程表示圆、椭圆、双曲线求参数
【例2】已知方程表示的焦点在y轴的双曲线，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【变式2-1】“”是“表示双曲线”的（ ）．
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【变式2-2】（多选）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则
考点03双曲线的焦点三角形问题
【例3】已知双曲线 的左焦点为为坐标原点，右焦点为，点为双曲线右支上的一点，且的周长为为线段的 中点，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3-1】设，是双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线的左支于，两点，若直线为双曲线的一条渐近线，，则的值为（ ）
A．11 B．12 C．14 D．16
【变式3-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，，且的周长为10，则双曲线C的焦距为 ．
考点04双曲线的简单几何性质
【例4】已知双曲线与，下列说法正确的是（ ）
A．两个双曲线有公共顶点
B．两个双曲线有公共焦点
C．两个双曲线有公共渐近线
D．两个双曲线的离心率相等
【变式4-1】已知离心率为的双曲线C：的左、右焦点分别为，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且，O为坐标原点，若，则双曲线的实轴长是（ ）
A．32 B．16 C．84 D．4
【变式4-2】已知双曲线的离心率为，虚轴长为4，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
考点05求双曲线离心率
【例5】已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】已知双曲线（，），直线的斜率为，且过点，直线与轴交于点，点在的右支上，且满足，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【变式5-2】设，是双曲线C：的左、右焦点，过的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，点M在x轴上，，平分，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
考点06求双曲线离心率的取值范围
【例6】已知点F是双曲线（）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】已知双曲线的左、右焦-1点分别为，，若在上存在点不是顶点，使得，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】已知双曲线为左焦点，分别为左､左顶点，为右支上的点，且（为坐标原点）.若直线与以线段为直径的圆相交，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
考点07双曲线的渐近线
【例7】已知双曲线C：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】过双曲线的左焦点F作C的其中一条渐近线的垂线l，垂足为M，l与C的另一条渐近线交于点N，且，则C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
考点08双曲线的弦长问题
【例8】已知双曲线C：的渐近线方程为，左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线l交双曲线的右支于M，N两点，若的周长为36，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】设动点与点之间的距离和点到直线的距离的比值为，记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若为坐标原点，直线交曲线于两点，求的面积.
考点9双曲线的中点弦问题
【例9】已知双曲线C：，若双曲线C的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．
【变式9-1】已知双曲线的中心在原点，且它的一个焦点为，直线与其相交于、两点，线段中点的横坐标为，求此双曲线的方程．
考点10直线与双曲线的综合问题
【例10】已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线与曲线交于两点，直线与相交于．求证：点在定直线上．
【变式10-1】如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.

(1)求双曲线的标准方程；
(2)设直线，的斜率分别为，，求的值；
(3)证明：直线过定点.
双曲线方程及其性质 随堂检测
1.已知双曲线与双曲线，则两双曲线的（ ）
A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
2.（多选）若方程所表示的曲线为，则下面四个说法中正确的是（ ）
A．若，则为椭圆
B．若为椭圆，且焦点在轴上，则
C．曲线可能是圆
D．若为双曲线，则
3.双曲线C：的右顶点为，点均在C上，且关于y轴对称.若直线AM，AN的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4.已知点，，动点P满足，当点P的纵坐标是时，额点P到坐标原点的距离为 ．
5.如图，双曲线的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为 ．

6.已知点是双曲线上一点，分别是双曲线的左、右焦点，的周长为，则的面积为 ．
7.已知斜率为的直线经过双曲线的上焦点，且与双曲线的上、下两支都相交，则双曲线的离心率的取值范围是 ．
8.过点作直线与双曲线相交于B，C两点，且A为线段BC的中点，求这条直线的方程.