（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+随堂检测13抛物线方程及其性质（2份，原卷版+教师版）

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考点01抛物线的定义与方程
【例1】若动点到点的距离和它到直线的距离相等，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．双曲线
【变式1-1】（多选）若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标可以为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】若抛物线上一点到拋物线焦点的距离为，则点到原点的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
考点02抛物线方程与位置特征
【例2】（多选）关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴
【变式2-1】（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为
【变式2-2】抛物线的准线方程是，则实数 .
考点03距离的最值问题
【例3】抛物线的顶点为原点，焦点为，则点到抛物线上动点的距离最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】若点在焦点为的抛物线上，且，点为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【变式3-2】已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
考点04抛物线中的三角形和四边形问题
【例4】已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，若，则的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
【变式4-1】设F为抛物线的焦点，点M在C上，点N在准线l上，且平行于x轴，准线l与x轴的交点为E，若，则梯形的面积为（ ）
A．12 B．6 C． D．
【变式4-2】过的直线l与抛物线E：交于，两点，且与E的准线交于点C，点F是E的焦点，若的面积是的面积的3倍，则
考点05抛物线的简单几何性质
【例5】定义：既是中心对称，也是轴对称的曲线称为“尚美曲线”，下是方程所表示的曲线中不是“尚美曲线”的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
考点06直线与抛物线的位置关系
【例6】已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条
【变式6-1】（多选）已知直线l过定点，则与抛物线有且只有一个公共点的直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
考点07抛物线的焦点弦问题
【例7】直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点．若，则（ ）
A．4 B． C．8 D．
【变式7-1】已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】设抛物线的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则弦AB的长为 ．
考点08抛物线的中点弦问题
【例8】已知直线与抛物线相交于两点，若线段的中点坐标为，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】抛物线：与直线交于，两点，且的中点为，则的斜率为 .
【变式8-2】已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为，则弦的长
考点9直线与抛物线的综合问题
【例9】设O为坐标原点，点M，N在抛物线上，且.
(1)证明：直线过定点；
(2)设C在点M，N处的切线相交于点P，求的取值范围.
【变式9-1】已知F是抛物线C：的焦点，是抛物线上一点，且.
(1)求抛物线C的方程；
(2)直线l与抛物线C交于A，B两点，若（O为坐标原点），则直线l否会过某个定点？若是，求出该定点坐标.
抛物线方程及其性质 随堂检测
1.已知是抛物线：的焦点，点在上且，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2.设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，点，则的最小值为 .
3.已知抛物线的顶点为坐标原点，准线为，直线与抛物线交于两点，若线段的中点为，则直线的方程为 ．
4.如图，已知点P是抛物线上的动点，点A的坐标为，则点P到点A的距离与到x轴的距离之和的最小值为 .

5.倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于A，两点
(1)求抛物线的准线方程；
(2)求的面积（为坐标原点）.
6.在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为.
(1)求轨迹为的方程
(2)设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点时的相应取值范围.