湖北省市级示范高中智学联盟2025届高三上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省市级示范高中智学联盟2025届高三上学期12月月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合,,则( )
A.B.C.D.
2．若复数,在复平面内对应的点关于x轴对称,且,则复数( )
A.1B.C.iD.
3．已知等差数列的公差为,若,,成等比数列,是的前项和,则等于( )
A.8B.6C.D.0
4．已知随机变量,且,则的最小值为( )
A.9B.3C.D.
5．已知的三个角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,,则( )
A.B.C.D.
6．将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合,则的最小值为( )
A.B.C.D.
7．已知函数,若,则的单调递减区间为( )
A.或B.
C.或D.
8．如图,底面同心的圆锥高为,A,B在半径为1的底面圆上,C,D在半径为2的底面圆上,且,,当四边形面积最大时,点O到平面的距离为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法中正确的有( )
A.函数在上单调递增
B.函数的定义域是,则函数的定义域为
C.不等式的解集为
D.函数关于点中心对称
10．在四棱锥中,底面是矩形,,,平面平面,点M在线段上运动（不含端点）,则( )
A.存在点M使得
B.四棱锥外接球的表面积为
C.直线与直线所成角为
D.当动点M到直线的距离最小时,过点A,D,M作截面交于点N,则四棱锥的体积是1
11．设函数,,则下列结论正确的是( )
A.,在上单调递减
B.若且,则
C.若在上有且仅有2个不同的解,则的取值范围为
D.存在,使得的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数
三、填空题
12．已知函数为偶函数,则________.
13．若n为一组从小到大排列的数,1,3,5,7,9,11,13的第六十百分位数,则的展开式中的系数为________.
14．已知,,若关于x的不等式在上恒成立,则的最小值为________.
四、解答题
15．已知数列满足.
（1）求数列的通项公式;
（2）求的前n项和.
16．在中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,.
（1）若,求面积的最大值;
（2）若,在边AC的外侧取一点D（点D在外部）,使得,,且四边形的面积为,求的大小.
17．若OA为平面的一条斜线,O为斜足,OB为OA在平面内的射影,OC为平面内的一条直线,其中为OA与OC所成的角,为OA与OB所成的角,即线面角,为OB与OC所成的角,那么简称为三余弦定理.如图,在三棱柱中,底面是边长为4的等边三角形,,,,D在上且满足.
（1）求证:平面平面;
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知函数,.
（1）求的单调区间;
（2）设函数,若存在,对任意的,总有成立,求实数m的取值范围.
19．黄冈地处湖北省东部,以山带水,胜迹如云.为了合理配置旅游资源,管理部门对首次来黄冈旅游的游客进行了问卷调查,据统计,其中的人计划只参观罗田天堂寨,另外的人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁.每位游客若只参观罗田天堂寨,则记1分;若既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁,则记2分.假设每位首次来黄冈旅游的游客计划是否游览东坡赤壁相互独立,视频率为概率.
（1）从游客中随机抽取2人,记这2人的合计得分为X,求X的分布列和数学期望;
（2）从游客中随机抽取n人,记这n人的合计得分恰为分的概率为,求;
（3）从游客中随机抽取若干人,记这些人的合计得分恰为n分的概率为,随着抽取人数的无限增加,是否趋近于某个常数?若是,求出这个常数;若不是,请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,,
又,所以.
故选:B.
2．答案：C
解析：因为复数,在复平面内对应的点关于x轴对称,且,
所以,
所以.
故选:C
3．答案：D
解析：,,成等比数列,,
,化为,解得,
则.
故选:D.
4．答案：B
解析：因为随机变量,且,可得,
.
当且仅当,即时,等号成立,
所以的最小值为3.
故选:B.
5．答案：D
解析：因为,,所以,
因为,所以,所以,即,
又,得,
所以.
故选:D.
6．答案：B
解析：将函数的图象向右平移个单位长度后
得到的图象,
又,,
由题可知,,,解得,,
又,当时,取得最小值.
故选:B.
7．答案：C
解析：图象如下,
所以,解得,
故,
,
令,解得或,
所以在或上单调递减.
故选:C.
8．答案：C
解析：如图,设直线AB交大圆于点F,E,连接CE,DF,由,知四边形为等腰梯形,
取AB,CD的中点M,N,连接MN,则,
因为,所以,
因为,所以四边形是矩形,
因此四边形为矩形,过O作于Q,连接OB,OC,OA,OD,
从而四边形的面积,
当且仅当,即时取等号,
此时,
如图,在几何体中,连接PQ,PO,因为平面,平面,
所以,又,
,,平面,所以平面,
因为平面,
所以平面平面,
显然平面平面,在平面内过O作于R,
从而平面,即OR长即为点O到平面的距离,
在中,,,
所以,
所以点O到平面的距离是.
故选:C
9．答案：BD
解析：对于A,函数在上单调递减,故A错误;
对于B,函数的定义域是,可得,解得,所以函数的定义域为,故B正确;
对于C,不等式,
当时解集为;
当时解集为;
当时解集为,故C错误;
对于D,的图象可由向左平移1个单位,再向上平移2个单位得到,可得关于点中心对称,故D正确.
故选:BD.
10．答案：BD
解析：如图1,取的中点G,连接,,,,则,
因为平面平面,平面平面,平面,
所以平面,平面,则.
又因为,所以,
又,,平面,所以平面.
因为平面,平面,所以不成立,A错误.
因为为等腰直角三角形,将四棱锥的侧面作为底面一部分,补成棱长为的正方体.
如图2,则四棱锥的外接球即为正方体的外接球,其半径,
即四棱锥外接球的表面积为,B正确.
如图2,直线与直线所成角即为直线与直线所成角,而是正三角形,故该夹角为,C错误.
如图1,因为平面,当动点M到直线的距离最小时,
由上推导知,,,
,,
,,
因此M为的中点,如图3,由M为的中点,即为中点,
平面即平面与的交点也即为与的交点,可知N为的中点,
故,D正确.
故选:BD.
11．答案：ACD
解析：,
对于A,,当时,,
由复合函数、正弦函数单调性可知在上单调递减,故A正确;
对于B,若且,则,故B不正确;
对于C,若,则,
若在上有且仅有2个不同的解,如图所示:
可得,解得,也就是的取值范围为,故C正确;
对于D,,可知当时,
是奇函数,故D正确.
故选:ACD.
12．答案：
解析：由题设,,
所以,得,得对均成立.
所以,解得.经检验,满足要求.
故答案为:.
13．答案：
解析：由,得,
于是展开式中含的项为,
所以的展开式中的系数为.
故答案为:
14．答案：8
解析：设,,
又,所以在单调递增,
当时,;当时,,
由图象开口向上,,可知方程有一正根一负根,
即函数在有且仅有一个零点,且为异号零点;
由题意知,则当时,;当时,,
所以是方程的根,
则,即,且,
所以,
当且仅当,即时,等号成立,
则的最小值是8,
故答案为:8
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
当时,得,
当时,由,得
,
两式相减得:,则,
不满足上式,故;
（2）由（1）知,则;
当时,,
故,
两式相减可得:,
故;
所以.
16．答案：（1）
（2）.
解析：（1）由
因为,可得,
又由正弦定理得,即,
由余弦定理得,
因为,可得,所以,
在中,由余弦定理得,
即,当且仅当时取等号,
所以,
所以面积的最大值为.
（2）设,则,
在中,由余弦定理得,
由（1）知,且,所以为正三角形,
所以,
可得,
故,因为,所以,可得.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:如图,过点D作交于E,连接CE,BE,设,
连接,,,
D在上且满足,
,
,,
四边形为正方形,,
,,,
,,
为CE的中点,,
因为,,平面,平面,
又平面,平面平面.
（2）在中,,
,
又,,
,,
又,,,平面,
平面,
故建立如图空间直角坐标系,
则,,,,.,
,,.
设平面的一个法向量为,
则,
令,得,
设平面一个法向量为,则,
令,得,
所以,
故平面与平面夹角的余弦值为.
18．答案：（1）的单调增区间为,单调减区间为.
（2）
解析：（1）,
令,则,故
且.
当时,,故在为增函数;
当时,,故在为减函数.
故的单调增区间为,单调减区间为.
（2）
,
因为,故,
所以在上为增函数,故,
图像的对称轴为,
故当时,.
因为存在,对任意的,总有成立,
故,即,故
19．答案：（1）分布列见解析,
（2）
（3）趋近于常数.
解析：（1）由题意得,随机变量X的可能取值为2,3,4,
可得,,.
所以X的分布列如下表所示:
所以,数学期望为.
（2）由这n人的合计得分为分,则其中只有1人计划既参观罗田天堂寨又游览东坡赤壁,
所以,,
则,
由两式相减,可得,
所以.
（3）在随机抽取的若干人的合计得分为分的基础上再抽取1人,则这些人的合计得分可能为n分或分,
记“合计得n分”为事件A,“合计得分”为事件B,A与B是对立事件,
因为,,
所以,即,
因为,
则数列是首项为,公比为的等比数列,
所以,
所以随着抽取人数的无限增加,趋近于常数.
X
2
3
4
P