浙江省六校联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷(含答案)

这是一份浙江省六校联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的倾斜角是( )
A.B.C.D.
2．双曲线的焦距为( ).
A.2B.C.D.4
3．已知平面的一个法向量,点在平面内,则点到平面的距离为( )
A.10B.3C.D.
4．已知圆与圆的位置关系为( )
A.相离B.相交C.外切D.内切
5．已知直线l经过两条直线的交点,且l的一个方向向量为,则直线l的方程为( )
A.B.C.D.
6．已知双曲线的左右焦点分别为,,且,当点到渐近线的距离为时,该双曲线的离心率e为( )
A.B.C.D.
7．已知点M在椭圆上运动,圆的圆心为椭圆的右焦点,半径,过点M引直线,与圆相切,切点分别为P,Q,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．在三棱锥中,,,,若为三棱锥的外接球直径,且与所成角的余弦值为,则该外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面
B.直线l的方向向量,平面的法向量,则
C.已知直线l经过点,,则到l的距离为
D.若,则为钝角
10．已知直线,则下列选项正确的是( )
A.当直线l与直线平行时,
B.当直线l与直线垂直时,
C.当实数k变化时,直线l恒过点
D.直线l和x,y负半轴构成的三角形面积最小值是4
11．如图,在长方体中,,,点P是平面上的动点,满足,( )
A.P在底面上的轨迹是一条直线
B.三棱锥的体积是定值
C.若角是直线和平面所成角,则的最大值是
D.不存在点P,使得
三、填空题
12．向量与共线,且方向相同,则________.
13．设,是双曲线的两个焦点,P是双曲线上的一点,且,则的面积等于________.
14．圆和圆锥曲线的关系十分密切,它们有很多相似的结论.例如,过圆上任意不同两点作圆的切线,如果切线垂直且相交于P点,则动点P的轨迹为圆.在椭圆中也有类似的结论.已知椭圆,过椭圆C上任意不同两点作椭圆的切线,若两切线垂直且相交于P点,则动点P的轨迹方程是________.
四、解答题
15．如图,在正四面体中,,M为棱的中点,N为棱（靠近点）的三等分点,设,,.
（1）用,,表示;
（2）求的长.
16．在坐标平面上有两定点,,动点P满足
（1）求动点P的轨迹方程;
（2）若直线与圆交于P,Q两点,且,求实数k的值.
17．如图,在四棱锥中,平面平面,,,且,,,.
（1）求证:平面平面;
（2）设.若直线与平面所成角的正弦值为,求二面角夹角余弦值的大小.
18．已知椭圆焦距为2,离心率e是
（1）求椭圆E的标准方程;
（2）过点作两条互相垂直的弦,,其中B,D在x轴的上方,且B在D的右侧,设弦,的中点分别为M,N.
①若弦,的斜率均存在,求四边形面积的最小值;
②判断直线是否过定点,若过定点,则求出该定点坐标,若不过定点,请说明理由.
19．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度,常用测量距离的方式有种.设,,则欧几里得距离;曼哈顿距离,余弦距离,其中（O为坐标原点）.
（1）若,,求A,B之间的曼哈顿距离和余弦距离;
（2）若点,,求的最大值;
（3）已知点P,Q是直线上的两动点,问是否存在直线l使得,若存在,求出所有满足条件的直线l的方程,若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：设直线的倾斜角为,,
由,得,
所以.
故选:B.
2．答案：D
解析：因为双曲线方程为,所以,,因为,所以,所以双曲线的焦距是4.
故选D.
3．答案：C
解析：由题得,
所以到平面的距离为,
故选:C.
4．答案：C
解析：圆圆心为,半径,
圆圆心,半径,
则,,
圆心距,
因为,
所以两圆位置关系为外切.
故选:C.
5．答案：C
解析：已知直线l经过两条直线,的交点,
则,解得,故交点坐标为,
因为l的一个方向向量为,
所以直线方程为,即,
故选:C.
6．答案：D
解析：由题设可得双曲线渐近线为,且,
所以,即,又,所以,
所以.
故选:D
7．答案：B
解析：因为椭圆,即,,,
所以右焦点坐标为,
又圆的圆心为椭圆的右焦点,半径,
所以圆的标准方程为:,
设,根据圆的性质得,,
,
因为,,四边形的面积,
即,
设,则,
因为点M在椭圆上,所以,
将代入到中得
,
对于二次函数,其对称轴为,
所以,,所以,
当时,,
当时,,
所以,
故选:B.
8．答案：A
解析：设外接球的半径为R,则,由于是外接球的直径,
所以,,
,,,所以,
所以,,所以,
所以,
,
设与所成角为,则,
整理得,所以外接球的表面积为.
故选:A
9．答案：AC
解析：A:对于空间向量,,,若,
空间中任意两个向量均是共面的,即,、,均共面,
所以,,一定共面,故A对;
B:因为,,所以与不平行,
故不成立,故B错;
C:由题设,,
则直线l上的单位方向向量为,
故,
所以P到直线l的距离,故C对;
D:当,反向共线时,也有,但此时,不是钝角,故D错.
故选:AC
10．答案：ACD
解析：A:由题意,,则,对;
B:由题意,,则,错;
C:直线可化为,联立,直线恒过点,对;
D:由题意,直线与x,y负半轴均有交点,
令,则,令,则,易知,
所以直线l和x,y负半轴构成的三角形面积,
令,则,
当且仅当,即时取等号,
所以直线l和x,y负半轴构成的三角形面积最小值是4,对.
故选:ACD
11．答案：ABC
解析：A:在上取,连接并延长交延长线于F,
在和中,且,
所以,则,
所以,由长方体性质易得,而都在面内,
所以面,面,故,
根据题设,易知,,同理可证,
由且都在面内,所以面,
即面,又面面,由,
只需P在直线,即P在底面上的轨迹是一条直线,对;
B:由长方体的结构特征知:面,即面,
所以P到面的距离恒定不变,即三棱锥的体积是定值,对;
C:由面,易知是直线和平面所成角的平面角,
所以,要使该值最大,只需最小,显然当时最小,
而,,且,
所以,则,则,,故,对;
D:由面,面,则,
若存在P,使,又且都在面内,
此时面,面,只需,
显然,在面上以为直径的圆与的交点作为P点,满足,
故存在点P,使得,错.
故选:ABC
12．答案：14
解析：因为向量与共线,且方向相同,
所以,则,
得到,解得,,
所以,
故答案为:14.
13．答案：24
解析：由题设,令,且,则,即,
所以,而,则,
所以为直角三角形,且,故其面积为.
故答案为:24
14．答案：
解析：设,
若切线的斜率存在且不为0,则过点的切线方程为,
联立方程,消去y可得,
则,
整理可得,
由题意可知:关于k的方程有两个不同的实数根,,
则且,整理可得;
若切线的斜率不存在或为0,则点P为,满足;
综上所述:,即动点P的轨迹方程是.
故答案为:.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）连接,,
,,
则;
（2）由（1）可得,所以
,
因为是正四面体,,故,,夹角均为,
所以,,
,所以,即的长为.
16．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）设,因为,所以,
平方并整理得,即;
（2）已知直线与圆交于P,Q两点,设,,
联立,得,
所以,得,
,
所以或,又,则.
17．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）在四棱锥中,面面,,面,面面,
所以面,又面,所以面面.
（2）以A为原点,以所在直线为x轴,以所在直线为y轴建立空间直角坐标系,
由,,,,则,,
设,则,,所以,,
设面的法向量为,则,取,则,
所以,即,
化简得,解得或（舍）,所以,,
设平面的法向量,且,,
则,取,则,
设二面角的夹角大小为,则,
所以二面角的夹角的余弦值为.
18．答案：（1）
（2）①;
②直线恒过点
解析：（1）依题意有,,解得,
所以椭圆的方程为;
（2）①设,,,则
联立,,,,
由弦长公式可得:
同理可得:,
所以
令,则
当,S的最小值是;
②,,
,由代替m,得,
当,即时,,过点.
当,即时,,
,
当时,,经验证直线过点,
综上,直线恒过点.
19．答案：（1）5,
（2）
（3）存在,和
解析：（1）由题可得,
,
;
（2）设,由题意得:,
即,而表示的图形是正方形,
其中、、、.
即点N在正方形的边上运动,,,
可知:当最大时,取到最小值,
相应的有最大值,
①点N与点A重合时,则,
可得;
②点N在线段上运动时,此时与同向,取,
则,
因为,所以的最大值为;
（3）易知,设,
则,
当时,,则,,满足题意;
当时,,
由分段函数性质可知,
又且恒成立,
当且仅当时等号成立,
综上,满足条件的直线有且只有两条,和.