2023-2024学年重庆市武隆区八年级上学期期末数学试题及答案

这是一份2023-2024学年重庆市武隆区八年级上学期期末数学试题及答案，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
2.下列分式中是最简分式的是( )
A. B. C. D.
3.分别剪一些边长相同的正三角形、正五边形、正六边形、正八边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，能镶嵌成一个平面的图案共有( )
A. 种B. 种C. 种D. 种
4.如图，，，欲证≌，则可增加的条件是( )
A.
B.
C.
D.
5.一个边形的每个外角都是，则这个边形的内角和是( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接若的周长为，，则的周长为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，有两个正方形纸板，，纸板与的面积之和为现将纸板按甲方式放在纸板的内部，阴影部分的面积为若将纸板，按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
8.如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，已知，为的平分线上一点，连接、；如图，已知，、为的平分线上两点，连接、、、；如图，已知，、、为的平分线上三点，连接、、、、、；，依次规律，第个图形中全等三角形的对数是( )
A. B. C. D.
10.将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中为含有角的三角板，直线是等腰直角三角板的对称轴，且斜边上的点为另一块三角板的直角顶点，、分别交、于点、则下列四个结论：；≌；；其中结论正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.如果分式有意义，那么的取值范围是______．
12.如果点与点关于轴对称，那么______ ．
13.如图，在中，，是高，，则______ ．
14.如果，那么代数式的值是 ．
15.若，，，为正整数，则______．
16.如图是可调躺椅示意图，与的交点为，，，，为了舒适，需调整的大小，使，且、、保持不变，则图中应______ 填“增加”或“减少”______ 度
17.如图，中，，点在上，，，延长至点，使，过点作于点，交于点，若，则______ ．
18.一个三角形有一内角为，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能是______ ．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
运用平方差公式计算：；
解方程：．
20.本小题分
如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是．
在图中，已知线段，画线段，使它与，组成轴对称图形要求画出一种符合题意的线段；
在图中，找一格点，满足到、的距离相等；到点、的距离相等．
21.本小题分
先化简再求值：，然后从，，中选择一个合适的数代入求值．
22.本小题分
几何原本是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角．”
请补全上述命题的证明．
已知：如图，在中，．
求证：______．
证明：如图，由于，故在边上截取，连接在图中补全图形
，
____________填推理的依据
是的外角，
______填推理的依据
．
．
，
．
．
23.本小题分
今年杭州亚运会期间，某商店用元购进一批亚运会吉祥物，很快售完，第二次购进时，每个吉祥物的进价提高了，同样用元购进的数量比第一次少了个．
求第一次购进的每个吉祥物的进价为多少元？
若两次购进的吉祥物售价均为元，且全部售出，则该商店两次购进吉祥物的总利润为多少元？
24.本小题分
八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解经过小组合作交流，得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
小明由此体会到，对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的这种方法可以称为分组分解法温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止
请你也试一试利用分组分解法进行因式分解：
Ⅰ因式分解：；
Ⅱ因式分解：．
25.本小题分
如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，沿线段，运动，且它们的速度都为当点到达点时，，两点停止运动，设点的运动时间为．
当为何值时，是直角三角形？
连接、，相交于点，则点，在运动的过程中，会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．
26.本小题分
在中，，点在边上，且，是射线上的一个动点不与点重合，且，在射线上截取，连接．
当点在线段上时，
若点与点重合，请根据题意补全图，并直接写出线段与的数量关系为______；
如图，若点不与点重合，请证明；
当点在线段的延长线上时，用等式表示线段，，之间的数量关系直接写出结果，不需要证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方法则，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则，对各选项分析判断后得结论．
【解答】
解：与不是同类项，选项A不正确；
，选项B不正确；
，选项C正确；
，选项D不正确．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：．，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.是最简分式，符合题意；
故选：．
根据最简分式的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
此题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
3.【答案】
【解析】解：、正三角形的每个内角是，能整除，能密铺；
、正五边形每个内角是，不能整除，不能密铺；
、正六边形的每个内角是，能整除，能密铺；
、正八边形的每个内角是，不能整除，不能密铺；
故能镶嵌成一个平面的图案共有种．
故选：．
分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除即可作出判断．
本题考查平面镶嵌问题．用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．
4.【答案】
【解析】解：，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出≌，故本选项不符合题意；
B.，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出≌，故本选项不符合题意；
C.，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出≌，故本选项不符合题意；
D.，
，
即，
，，，符合全等三角形的判定定理，能推出≌，故本选项符合题意；
故选：．
根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．
5.【答案】
【解析】解：多边形的边数是：，
则多边形的内角和是：．
故答案为：．
本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化，因而把求多边形内角的计算转化为外角的计算，可以使计算简便．
6.【答案】
【解析】解：在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接．
是的垂直平分线，
，
的周长为，
，
，
的周长为：．
故选：．
首先根据题意可得是的垂直平分线，即可得，又由的周长为，求得的长，则可求得的周长．
此题考查了线段垂直平分线的性质与作法．题目难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．
7.【答案】
【解析】解：设的边长，的边长是，则，
根据题意得：，
，
，
乙图阴影部分的面积为：，
故选：．
先设，的边长分别是，，再用，边上阴影部分的面积求解．
本题考查了完全平方公式的几何背景，用字母表示面积是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：连接．
平分，平分，，
，
，
，
，，
，，
，
故选：．
连接首先求出，再证明即可解决问题．
本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型．
9.【答案】
【解析】解：由题知，第个图形中全等三角形的对数为：；
第个图形中全等三角形的对数为：；
第个图形中全等三角形的对数为：；
第个图形中全等三角形的对数为：；
第个图形中全等三角形的对数为：；
故选：．
根据图形得出当有点时，有对全等三角形；当有点、时，有对全等三角形；当有点、、时，有对全等三角形；根据以上结果得出当有个点时，可求得有对全等三角形．
本题主要考查全等三角形的判定，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度．
10.【答案】
【解析】解：，，
是等腰直角三角形，
点为中点，
，故正确；
，，
，
是直角，
，
，
，
在和中，
，
≌，故正确；
、，
是等腰直角三角形；
，，
，故错误；
≌，
，
，故正确；
正确的有：．
故选：．
根据等腰直角三角形的性质可得，故正确，，根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，判断出正确，根据全等三角形对应边相等可得、，求出，根据，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得，判断出错误；根据全等三角形的面积相等可得，从而求出，判断出正确．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，同角的余角相等的性质，熟记三角形全等的判定方法并求出和全等是解题的关键．
11.【答案】
【解析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义得到分母为零；
分式有意义得到分母不为零；
分式值为零得到分子为零且分母不为零．
根据分式有意义，分母不等于，列不等式求解即可．
解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：点与点关于轴对称，
．
故答案为：．
根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．
本题考查了关于轴、轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数
13.【答案】
【解析】解：在直角中，，，且，
，
，
，
．
故答案为：．
根据同角的余角相等知，，所以分别在和中利用锐角所对的直角边等于斜边的一半即可求出．
本题考查了同角的余角相等和锐角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握锐角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：当时，
即，
原式
．
故答案为：．
根据分式的运算法则得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
15.【答案】
【解析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则是解答本题的关键．
根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
解：，，
则．
故答案为：．
16.【答案】增加
【解析】解：连接，并延长至点，如图所示．
在中，，，
，
．
，，
，
即，
，
应增加度．
故答案为：增加；．
连接，并延长至点，在中，利用三角形内角和定理，可得出的度数，结合对顶角相等，可得出的度数，利用三角形外角的性质，可得出，，二者相加后，可求出的度数，再结合的原度数，即可求出结论．
本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，根据各角之间的关系，找出与之间的关系是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由“”可证≌，可得，由直角三角形的性质可得，，由线段的数量关系可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18.【答案】，，，，
【解析】解：如图所示，当时，那么它的最大内角是
当时，有以下种情况，
故答案为：，，，，
当它为顶角时，根据等腰三角形的性质，可以求得最大角是度，如图所示；当它是侧角时，用同样的方法，可求得最大角有种情况．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，此题涉及等知识点并不多，但是要分种情况解答，因此，属于难题．
19.【答案】解：原式
；
原方程去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为得：，
检验：将代入得：，
故原方程的解为．
【解析】利用平方差公式计算即可；
利用解分式方程的步骤解方程即可．
本题考查平方差公式及解分式方程，熟练掌握相关运算法则及解方程的方法是解题的关键．
20.【答案】解：如图，线段即为所求；
如图，点即为所求．
【解析】根据轴对称的性质画出线段即可；
找一格点，满足点到、的距离相等；到点、的距离相等即可．
本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
21.【答案】解：原式
，
由题意得：、、，
当时，原式．
【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
22.【答案】 ； ；等边对等角；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
【解析】已知：如图，在中，．
求证：．
证明：如图，由于，故在边上截取，连接在图中补全图形．
因为，
所以等边对等角，
因为是的外角，
所以三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以．
故答案为：；；等边对等角；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
根据文字题目的要求写出已知，求证，利用等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质解决问题即可．
本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】解：设第一次每个的进价为元，则第二次进价为，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是方程的解，且符合题意，
答：第一次购进的每个吉祥物的进价为元；
元，
答：该商店两次购进吉祥物的总利润为元．
【解析】设第一次每个的进价为元，则第二次进价为，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；
根据总利润总售价总成本，列出算式，即可求解．
本题主要考查分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程，是解题的关键．
24.【答案】解：Ⅰ
；
Ⅱ．
．
【解析】认真读懂题意，利用因式分解解决问题．
本题考查了因式分解，解题的关键是掌握分组因式分解．
25.【答案】解：设时间为，则，
当时，
，
，得，；
当时，
，
，得，；
当第秒或第秒时，为直角三角形．
不变．
在与中，
，
≌，
，
．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质．掌握判定三角形全等的方法，分类讨论是解决问题的关键．
需要分类讨论：分和两种情况；
不变．通过证≌得到：，由三角形外角定理得到．
26.【答案】解：
证明：在上截取，连接，
，，
是等边三角形．
同理，也是等边三角形．
，
，．
又，
，
在与中，，
≌，
，
；

如图，连接，
由知，，，
；
，
如图，连接，
由知，，，
；
．
【解析】解：如图，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在与中，，
≌，
；
故答案为：；
见答案
见答案
【分析】如图，根据已知条件得到是等边三角形，由等边三角形的性质得到，，由邻补角的性质得到，推出≌，根据全等三角形的性质即可得到结论；证明：在上截取，连接，得到是等边三角形．同理，也是等边三角形．求得，通过≌，得到，根据线段的和差即可得到结论；
如图，连接，由知，，，根据线段的和差和等量代换即可得到结论；如图，连接，由知，，，根据线段的和差和等量代换即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．