江苏省南京市秦淮区钟英中学2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试题

这是一份江苏省南京市秦淮区钟英中学2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试题，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C． D．
2．若的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在外B．点P在上C．点P在内D．无法确定
3．抛物线y=-x2+3的顶点坐标是( )
A．(0，3)B．(0，-3)C．(3，0)D．(-3，0)
4．一组数据：7，5，9，3，9，15，关于这组数据说法错误的是（ ）
A．极差是12B．众数是9C．中位数是7D．平均数是8
5．如图，点A是优弧的中点，过点B作的垂线交于点E，与圆交于点D．若，且，则圆的半径为（ ）

A．B．3C．D．
6．如图，多边形为正六边形，点P在边上，过点P作交于点Q，连接，且满足设四边形、四边形和的面积分别为、、，则正六边形的面积为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
7．方程的解是 ．
8．若，则 ．
9．已知关于x的方程的根是和3，则 ．
10．若圆锥的底面半径是，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的母线长是 ．
11．如图，直线，交于点，，若，，，则的值为 ．
12．若函数的图象与x轴有一个公共点，则m的范围是 ．
13．关于x的方程，无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 ．
14．如图，A、B、C、D在⊙O上，AB＝BC＝DA，AD、BC的延长线交于点P，且∠P＝40°，则弧CD的度数为 ．
15．当时，二次函数的最大值与最小值的差为，则实数a的值为 ．
16．如图，中，，，，P是AB上方一动点，射线，连接交的外接圆于点D，则的最小值为 ．
三、解答题
17．解下列方程：
(1)；
(2)．
18．如图，已知抛物线经过，，三点，点的坐标为，点的坐标为2,0，点的坐标为．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)将抛物线的图像向上平移个单位后恰与坐标轴有两个公共点，则的值为______．
19．如图，在中，，D，E分别是，上的点，且，求证：．

20．一个不透明的袋中装有分别标着汉字“百”、“廿”、“钟”、“英”的四个小球，除标注的汉字不同外，小球无任何区别，每次摸球前先搅匀．
(1)从袋中摸出一个球，球上的汉字刚好是“百”的概率是______；
(2)先从袋中任意摸出一个球，不放回，再从袋中任意摸出一个球，求摸到的两个球上的汉字恰好能组成“钟英”的概率．
21．为了解学生物理实验操作情况，随机抽取小青和小海两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下：
①操作规范性：
②书写准确性：
小青：1 1 2 2 2 3 1 3 2 1
小海：1 2 2 3 3 3 2 1 2 1
操作规范性和书写准确性的得分统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的 ，比较和的大小： ；
(2)计算表格中b的值；
(3)综合上表的统计量，请你对两名同学的得分进行评价并说明理由．
22．如图，已知A是直线l外一点．用两种不同的方法作⊙O，使⊙O过A点，且与直线l相切．
要求：（1）用直尺和圆规作图；
（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．

23．己知二次函数（a为常数，且）．
(1)求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；
(2)若点，在函数图象上，比较与的大小；
(3)若点，在二次函数的图象上，且，则a的取值范围是______．
24．如图，是的直径，点，在上，平分.

(1)求证：；
(2)延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长.
25．商贸公司购进某种水果的成本为元，经过市场调研发现，这种水果在未来天的销售单价（元）与时间（天）之间的函数关系式为，为整数，且其日销售量与时间（天）的关系如表：
(1)已知与之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第天的日销售量是多少？
(2)问未来天中哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
26．阅读下面的问题及其解决途径．
结合阅读内容，完成下面的问题．
(1)填写上面的空格．
(2)将函数（a，b，c是常数，）的图象先向左平移个单位长度，再沿轴翻折，最后绕原点旋转，求所得到的图象对应的函数表达式．
27．【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长；
（4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值．
项目
统计量
学生
操作规范性
书写准确性
平均数
方差
平均数
中位数
小青
4
1.8
a
小海
4
b
2
时间（天）
1
3
6
10
20
日销售量
118
114
108
100
80
问题：将函数的图象向右平移2个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是什么？
解决途径：
问题：将函数的图象沿轴翻折，所得到的图像对应的函数表达式是什么？
解决途径：
参考答案：
1．A
【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，含未知数的项的最高次数为2的整式方程，进行判断即可．
【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意；
B、，含未知数的项的最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意；
C、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、含有两个未知数，且未知数的次数为1，不是一元二次方程，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义，是解题的关键．
2．C
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟记点与圆的位置关系的判定是解题的关键．
根据点到圆心的距离与圆的半径比较大小即可得出结论．
【详解】解：的半径为2，在同一平面内，点与圆心的距离为1，，
点与的位置关系是：点在内，
故选：C．
3．A
【详解】本题考查二次函数的图象性质,根据二次函数图象性质顶点坐标是（0,3）.
4．C
【分析】根据众数、极差、平均数、中位数的含义和求法，逐一判断即可．
【详解】解：∵7，5，9，3，9，15这组数据的最大值是15最小值是3
∴这组数据的极差是：15﹣3＝12，
选项A正确，不符合题意；
∵这组数据中9出现了2次，最多，
∴众数为9，
∴选项B确，不符合题意；
∵7，5，9，3，9，15这组数据排列顺序后是：3，5，7，9，9，15，
∴这组数据的中位数是
∴选项C不正确，符合题意；
这组数据的平均数是：
．
∴选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了众数、极差、平均数、中位数的含义和求法，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
5．A
【分析】连接，首先根据圆周角定理得到，然后得到，，证明出，是圆的直径，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】如图所示，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点A是优弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是圆的直径，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴圆的直径为，
∴圆的半径为．
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理和垂径定理，勾股定理等知识，作出合适的辅助线是解题的关键．
6．A
【分析】本题考查正多边形与圆，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转变换等知识，如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于H．证明，可得结论．
【详解】解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于H．
∵，
∴，
∴，
∴四边形是等腰梯形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
7．或
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
因式分解得：，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
8．/
【分析】本题主要考查了等式的性质，分式的加减，分式的求值等知识点，利用等式的性质将原式变形为是解题的关键．
先利用等式的性质将原式变形为，然后左边通分并相减、同时右边相加即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
9．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解二元一次方程组，代数式求值等知识点，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键：使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．
根据一元二次方程的解的定义可得，解方程组即可求出、的值，进而可求出的值．
【详解】解：和是关于x的方程的根，
，
解得：，
，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查扇形和圆锥的有关计算，解题的关键是掌握扇形的弧长公式，以及圆锥和侧面展开的扇形的关系．先根据圆锥的底面半径求出底面圆周长，也就是侧面图扇形的弧长，再利用弧长公式求出扇形半径，也就是圆锥的母线．
【详解】解：圆锥的底面周长为，
则：，
解得．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质．根据题意求出，再根据相似三角形的判定和性质计算即可．
【详解】解：，，
，
∵，
∴，
，
故答案为：．
12．或4
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．分和两种情况讨论，然后根据二次函数的定义和判别式的意义得到且，进而求解即可．
【详解】当时，，此时是一次函数，与x轴有一个公共点；
当时，是二次函数，
∵函数与x轴有一个公共点，
∴，
∴．
故答案为：或4．
13．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，不等式的性质等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．先将方程整理为一般形式，根据“无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根”可得，解得，然后利用不等式的性质即可得出实数m的取值范围．
【详解】解：，
整理，得：，
无论实数p取何值，该方程总有两个不相等的实数根，
，
解得：，
，
，
，
，
故答案为：．
14．30°
【分析】连接BD、AC,根据AB=BC=DA可得，得到∠ABD-∠ADB-∠BAC，根据三角形的内角和定理列式计算即可.
【详解】
解：如图：连接BD、AC，
∵AB＝BC＝AD，
∴
∴∠ABD＝∠ADB＝∠BAC，
∵∠ADB＝∠DCP+∠P＝∠DBP+40°，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠DBP+40°+∠DBP+∠DBP+40°+∠DBP+40°＝180°，
解得，∠DBP＝15°．
∴的度数为30°，
故答案为30°．
【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键.
15．或
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为，和三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断．
【详解】解：∵，
∴二次函数对称轴为：直线，
∴在对称轴右侧，y的值随着x的值增大而增大；在对称轴左侧，y的值随着x的值增大而减小；
①当时，即，则最小值为，最大值为，
∵函数的最大值与最小值的差为，
∴，
解得（舍），
②当时，即，
，则最小值，最大值，
∵函数的最大值与最小值的差为，
∴，
解得（舍）或，
，则最小值，最大值，
∵函数的最大值与最小值的差为，
∴，
解得或（舍），
③当时，即，则最大值为，最小值为，
∵函数的最大值与最小值的差为，
∴，
解得（舍），
综上所述，或，
故答案为：或．
16．/
【分析】连接，取中点M，连接，，中，根据，，可得，即可得是直角三角形，且，再根据，可得，进而得，即有点D在以为直径的圆上，即点M为该圆圆心，结合图形有，当且仅当A、M、D三点共线时取等号，即当A、M、D三点共线时，有最小值，最小值为：，问题随之得解．
【详解】解：连接，取中点M，连接，，如图，
∵中，，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D在以为直径的圆上，即点M为该圆圆心，
∵如图，，当且仅当A、M、D三点共线时取等号，
∴当A、M、D三点共线时，有最小值，最小值为：，
∵中，，，
∴，
∵，
∴，
即有最小值，最小值为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形、圆周角定理、勾股定理等知识，构造合理的辅助线，证明是直角三角形，点D在以为直径的圆上，是解答本题的关键．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
∵，，，
∴，
，
∴，；
（2）解：，
整理，得：，
分解因式，得：，
即：，
或，
解得：，．
18．(1)
(2)或
【分析】本题考查了求解二次函数表达式的方法以及与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数与坐标轴交点是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解表达式即可；
（2）分当抛物线与轴有1个公共点，与轴有一个公共点或抛物线与轴有两个公共点，其中一个是原点两种情况分别求解即可．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式，
把，，三点代入，
可得，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：将抛物线的图像向上平移个单位后，得到的抛物线的函数表达式为，
此时抛物线与坐标轴有两个公共点，
抛物线与轴有两个交点并过原点，或是与轴只有一个交点，且不过原点，
①抛物线与轴有两个交点并过原点，即过，
，
解得，
此时函数为与坐标轴的交点为，符合题意；
②与轴只有一个交点，且不过原点，
即方程有两个相等的实数根，
，
解得，
此时函数为与坐标轴的交点为，符合题意；
故答案为：或．
19．见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定．等边对等角，得到，利用外角的性质，推出，即可得证．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了列表法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握列表法或树状图法求概率以及概率公式是解题的关键．
（1）直接利用概率公式计算概率即可；
（2）先列出表格，得出所有等可能的结果数以及摸到的两个球上的汉字恰好能组成“钟英”的结果数，然后利用概率公式计算概率即可．
【详解】（1）解：由题意可得，从袋中摸出一个球，一共有种等可能的结果，其中球上的汉字刚好是“百”的结果有种，
球上的汉字刚好是“百”的概率为，
故答案为：；
（2）解：列表如下：
由表格可知，共有种等可能出现的结果，其中摸到的两个球上的汉字恰好能组成“钟英”的结果有种，
摸到的两个球上的汉字恰好能组成“钟英”的概率．
21．(1)，
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，也考查了平均数、中位数．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析．
（1）根据中位数的求法求解即可，根据折线图，观察波动大小，即可判断方差的大小；
（2）利用加权平均数的求法即可求解；
（3）从平均分和方差进行判断即可．
【详解】（1）解：小青书写准确性从小到大重新排列为1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，
中位数为，
观察折线图，知小青得分的比小海的波动大，则，
故答案为：2，；
（2）解：小海书写准确性的平均数为（分）；
（3）解：从操作规范性来分析，小青和小海的平均分相同，但小海的方差小于小青的方差，
所以小海在物理实验操作中发挥稳定．
22．见解析
【分析】方法一：过点A作l的垂线，垂足为P．作AP的垂直平分线，与AP的交点为圆心O．以O为圆心，OA（或OP）为半径，作⊙O．方法二：取l上任意一点Q，作出AQ的垂直平分线．过点Q作l的垂线，与垂直平分线的交点为圆心O．以O为圆心，OA（或OQ）为半径，作⊙O．
【详解】方法一：过点A作l的垂线，垂足为P．
作AP的垂直平分线，与AP的交点为圆心O．
以O为圆心，OA（或OP）为半径，作⊙O．
方法二：取l上任意一点Q，作出AQ的垂直平分线．
过点Q作l的垂线，与垂直平分线的交点为圆心O．
以O为圆心，OA（或OQ）为半径，作⊙O．

【点睛】本题主要考查了利用尺规作图画圆，熟练掌握线段垂直平分线的性质，切线的性质是解题的关键．
23．(1)证明见解析
(2)当或时，；当时，；当时，
(3)或
【分析】（1）令，则，解得，，再根据可得，于是可知方程有两个不相等的实数根，即说明该函数的图象与轴总有两个公共点；
（2）将，代入，得，，进而可得，然后分类讨论即可解答；
（3）将，代入，得，，进而可得，由可得，然后分四种情况讨论，分别求解一元一次不等式组，汇总即可得出的取值范围．
【详解】（1）证明：令，则，
或，
，，
，
，
方程有两个不相等的实数根，
该函数的图象与轴总有两个公共点；
（2）解：点，在函数图象上，
当时，，
当时，，
，
当或时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
（3）解：点，在二次函数的图象上，
当时，，
当时，，
，
，
，
，
，
分四种情况讨论：
，
该不等式组无解；
，
该不等式组无解；
，
解得：；
，
解得：；
综上，的取值范围是：或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，因式分解法解一元二次方程，不等式的性质，二次函数的图象与系数的关系，的图象与性质，有理数乘法运算律，解一元一次不等式组等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，得，结合，得到，继而得到，根据平分，得到，继而得到，可证；
（2）不妨设，则，求得，证明，，求得，取的中点M，连接，则，求得，，结合切线性质，得到，解答即可.
【详解】（1）根据题意，得，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
不妨设，则，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
解得，
取的中点M，连接，
则
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
解得，
故半径的长为.

【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算，等量代换思想，熟练掌握三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算是解题的关键.
25．(1)
(2)第天的销售利润最大，最大日销售利润为元
【分析】（1）设，把，和，代入，可得二元一次方程组，解方程组即可求出与的值，进而可得一次函数解析式，将代入，即可求出在第天的日销售量；
（2）根据“日利润每公斤利润日销售量”分别表示出前天和后天的日利润，然后求二次函数的最大值，进行比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：与之间的变化规律符合一次函数关系，
设，
把，和，代入，得：
，
解得：，
，
当时，，
答：在第天的日销售量是；
（2）解：设利润为元，
当时，
，
当时，取得最大值，元；
当时，
，
当时，取得最大值，元；
，
综上，当时，元，
答：第天的销售利润最大，最大日销售利润为元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用（其他问题），实际问题与二次函数（销售问题），求一次函数解析式，解二元一次方程组，求一次函数的函数值，计算多项式乘多项式，把化成顶点式，的图象与性质，二次函数的最值，有理数大小比较的实际应用等知识点，根据题中的数量关系正确列式是解题的关键．
26．(1)，，
(2)
【分析】（1）设翻折后新的函数图象上任意点的坐标为，将点沿轴翻折得点，由于点在原函数图象上，因而将代入原函数表达式，整理后即可得出翻折后的图象对应的函数表达式；
（2）设新函数图象上任意一点的坐标为，则绕原点旋转，得点，再沿轴翻折，得点，再向右平移个单位长度，得点，由于点在原函数图象上，因而将代入，整理后即可得出新图象所对应的函数表达式．
【详解】（1）解：设翻折后新的函数图象上任意点的坐标为，
将点沿轴翻折得点，
点在原函数图象上，
翻折后的图象对应的函数表达式为：
，
整理，得：，
故答案为：，，；
（2）解：设新函数图象上任意一点的坐标为，则绕原点旋转，得点，
再沿轴翻折，得点，
再向右平移个单位长度，得点，
点在原函数图象上，
将代入，得：
，
整理，得：
所得到的图象对应的函数表达式为．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——平移，坐标与图形变化——轴对称，坐标与图形变化——旋转，求二次函数解析式等知识点，熟练掌握坐标与图形变化（平移、轴对称、旋转）的规律是解题的关键．
27．（1）2（2）（3）（4）
【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案；
（2）如图，由，证明，再结合图形变换可得答案；
（3）如图，将绕点逆时针旋转，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，可得当与相切时，最大，再进一步解答即可；
（4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接，再将沿方向平移，使与重合，如图，得，由（2）可得：，当三点共线时，最短，再进一步解答即可.
【详解】解：如图，
∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形，
∴设，，
∴，，
∴，，
∴大正方形面积是小正方形面积的2倍．
（2）如图，∵，
∴，，
，，
∴，
如图，
结合图形变换可得：；
（3）如图，∵将绕点逆时针旋转，
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，
∵为圆外一个定点，
∴当与相切时，最大，
∴，
∴，
由（2）可得：，
∵，，
∴
，
∴；
（4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接，
∴，，
再将沿方向平移，使与重合，如图，得，
由（2）可得：，
∴当三点共线时，最短，
∵，，
∴，，
∴；
∴的最小值为；
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
题号
1
2
3
4
5
6




答案
A
C
A
C
A
A




百
廿
钟
英
百
（百，廿）
（百，钟）
（百，英）
廿
（廿，百）
（廿，钟）
（廿，英）
钟
（钟，百）
（钟，廿）
（钟，英）
英
（英，百）
（英，廿）
（英，钟）