湖北省武汉外国语学校2024-2025学年九年级上学期学情调研（二）数学试题

这是一份湖北省武汉外国语学校2024-2025学年九年级上学期学情调研（二）数学试题，共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知的半径等于3，圆心O到点P的距离为5，那么点P与的位置关系是（ ）
A．点P在外B．点P在内C．点P在上D．无法确定
2．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A．B．C．D．
3．若点与点关于原点成中心对称，则（ ）．
A．B．11C．D．3
4．如图，已知的半径为4，则该圆内接正六边形的边心距的长为（ ）
A．B．C．D．3
5．若圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图的圆心角的大小是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，，过点作于点，交于点．若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
7．已知二次函数（为常数），当时，的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，半径为的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E．若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，直线经过点，一组抛物线的顶点，，，…，（n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：，，，…，（n为正整数）．若，当d为（ ）时，这组抛物线中存在顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形的抛物线．
A．B．或C．或D．或
二、填空题
11．如图，已知，，，则CD的长度是 ．
12．如图，半圆的直径，，是半圆上的三等分点，是的中点，则阴影部分面积是 ．
13．如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是 ．
14．已知抛物线、直线，若对于任意的x的值，恒成立，则m的值为 ．
15．抛物线经过点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：
①；②若点、在图象上，则；③为任意实数，则；④．其中正确结论的序号为 ．
16．如图，在等腰中，，，、两点分别是边、AB上的动点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，若，则线段长度的最小值为 ．
三、解答题
17．若关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0有两个相等的实数根，求m的值及此时方程的根．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高．
（1）求证：△ABC∽△CBD；
（2）如果AC = 4，BC = 3，求BD的长．

19．如图，在长为，宽为的矩形地面内修筑上下、左右分别等宽的道路，余下的铺上同原矩形长、宽比相同草坪．若道路的面积为，则左右道路的宽为多少？

20．已知等腰中，AB＝AC．
（1）如图1，若为的外接圆，求证：；
（2）如图2，若，，I为的内心，连接IC，过点I作交AC于点D，求ID的长．
21．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（每个作图任务画线条数不超过四条）
(1)，均为格点，且经过，两点，在图1作出的中点；
(2)经过格点、、三点，在图2中的圆上找一点，使平分．
(3)，，，四点都在圆上，且，在图3作出的中点；
(4)经过格点、、三点，点是圆与格线的交点，在图4中的圆上找一点，使．
22．为适应体育中考改革，学校购入一台羽毛球发球机，羽毛球飞行路线可以看作是抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，发球机放置在球场中央离球网水平距离的点O处，球从点O正上方的A处发出，其飞行路线在球网右侧1米时，最大高度为h米．小明同学站在球网另一侧，距离球网水平距离（如图所示），在头顶至处称为有效击球高度．（球网高度不影响有效击球）
(1)若，
①求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
②如果小明的身高为，试判断他能否在原地有效击球？
(2)如果小明的身高为，并且能在原地有效击球，直接写出a的取值范围．
23．四边形是矩形，，H是对角线DB（端点除外）上的点，K在线段上，．
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，连接，求的值（用含m的式子表示）；
(3)如图3，连接，当，时，若，直接写出的面积．
24．已知抛物线与直线交于A，B两点（A在B左）．
(1)求A，B两点的坐标及的长；
(2)如图1，点是直线上B点右侧一动点，过点P作直线与抛物线有唯一公共点M，若，求点P的坐标；
(3)若抛物线向右平移1个单位，向上平移2个单位后所得的抛物线交轴于D、E，点P是第二象限内新抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为H，的外接圆与相交于点K．试问：线段的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】本题考查点与圆的位置关系，解答的关键是熟知点与圆的位置关系：设圆半径为r，点与圆心的距离为d，当时，点在圆内；当时，点在圆上；当时，点在圆外．根据圆心O到点P的距离与的半径的大小关系，即可得出结果．
【详解】解：∵的半径为3，点P到圆心的距离为5，
∴点P在的外部，
故选A．
2．C
【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题关键．将常数项移到方程的右边，两边再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方公式即可．
【详解】解：，
，
，
．
故选C．
3．A
【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的点的横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数是解题关键．利用关于原点对称的点的坐标特点得出m，n的值，进而得出答案．
【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称，
∴，，
∴，，
∴．
故选A．
4．C
【分析】本题为正多边形与圆的综合题，考查等边三角形的判定和性质，解直角三角形，连接常用辅助线是解题关键．连接，，结合正多边形的性质可知，即易证为等边三角形，再根据锐角三角函数求解即可．
【详解】解：如图，连接，，
∵六边形为正六边形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
故选C．
5．B
【分析】本题考查了圆锥的计算．根据圆锥的母线长等于展开图扇形的半径，求出圆锥底面圆的周长，也即是展开图扇形的弧长，然后根据弧长公式可求出圆心角的度数．
【详解】解：圆锥的底面半径为，
则底面周长为，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长为，
母线长为，则扇形的半径为，
根据弧长公式可得：，解得：，
故选：B．
6．D
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．依据可得，再根据，即可得到相似比为，即可得到的值．解题的关键是掌握：相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形对应边上的高之比等于相似比．
【详解】解：∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴或（负值不符合题意，舍去），
∴，
∴，
即．
故选：D．
7．B
【分析】求得二次函数的对称轴是直线，可知当时，随x的增大而减小，即当x=1时，最大，计算即可．
【详解】解：
∵位于对称轴左侧，随x的增大而减小，
当x=1时，最大为．
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的增减性，解题的关键是求出二次函数的对称轴，利用二次函数的性质解答．
8．C
【分析】本题考查轨迹、圆的弧长公式，如图，圆心运动路径的长度的长，根据弧长公式计算即可．解题的关键是搞清楚轨迹是什么图形，记住弧长公式，圆周长公式．
【详解】解：如图，圆心运动路径的长度：
的长，
∴圆心运动路径的长度等于．
故选：C．
9．B
【分析】作交延长线于点F，连接．易证四边形为矩形，为的切线，得出，．由切线长定理可知，设，，则，，．在和中，利用勾股定理可求出，即得出，最后求比即可．
【详解】解：如图，作交延长线于点F，连接．
∵，，
∴，为的切线，
∴四边形为矩形，
∴，．
∵以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，
∴，．
设，，
∴，，．
∵在中，，
在中，，
又∵，
∴，
解得：，（舍），
∴，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，切线的判定和性质，切线长定理，一元二次方程的应用，正确作出辅助线是解题关键．
10．D
【分析】由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半．又，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的顶点纵坐标必定小于1，再结合一次函数求出各顶点坐标即可解答．
【详解】解：∵直线经过点，
∴，
∴直线．
∵抛物线关于其对称轴对称，
∴抛物线顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必是等腰直角三角形，
∴该等腰直角三角形底边（斜边）上的高为其底边的一半．
∵，
∴此时构成的等腰直角三角形的斜边长小于2，
∴该等腰直角三角形底边（斜边）上的高小于1，即抛物线顶点的纵坐标小于1．
∵抛物线的顶点，，，…，（n为正整数），依次是直线l上的点，
∴，，，…，
∴只有，两点满足．
当为顶点时，；
当为顶点时，．
故选D．
【点睛】本题为一次函数与二次函数的综合题，考查抛物线的对称性，利用待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识．理解抛物线顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必是等腰直角三角形是解题关键．
11．6
【分析】本题考查相似三角形的性质和判定等知点， 由已知的平行关系可以得到；由相似三角形的性质可以得到，结合已知条件即可求出答案，熟练掌握其性质和判定是解决此题的关键．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
12．
【分析】此题主要考查了扇形面积求法，利用已知得出理解阴影部分的面积等于扇形的面积是解题关键．连接，，，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形的面积，然后计算扇形面积就可．
【详解】解：连接，如图所示：
和等底等高，
，
点，是半圆上的三等分点，，
，
阴影部分的面积．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧展开图圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可．
【详解】解：∵圆锥的侧展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为n，
根据题意有：，
解得：，如图，
∴，且为最短路径．
∵，，
∴，
故最短路径长是．
故答案为：．
14．0
【分析】本题考查二次函数与不等式（组），掌握二次函数的性质是解题关键．由题意可得出，设，改为顶点式为，即可得出，则说明恒成立，求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
整理，得：．
设，
∴．
∵恒成立，
∴恒成立，
解得：．
故答案为：0．
15．①③④
【分析】根据题意画出函数的图象，然后根据二次函数的图象结合函数的性质依次对个结论进行判断即可求出答案．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴相交于点，对称轴为直线，
∴二次函数的图象与轴另一个交点的坐标为，
∵二次函数的图象与轴的交点在与之间（不包括这两点），
大致图象如图：
当时，，故结论①正确；
∵二次函数的对称轴为直线，且，，，
∴，故结论②不正确；
∵时，函数有最小值，
∴（为任意实数），
∴，故结论③正确；
∵，
∴，
∵二次函数的图象与轴相交于点，，
∴一元二次方程的两根为和，
∴，
∴，
∵∵二次函数的图象与轴的交点在与之间（不包括这两点），
∴，
∴，
∴当时，，
∴，
∴，
即，故结论④正确；
∴正确结论的序号为①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数与一元二次方程及一元二次方程根与系数的关系等知识点．解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．
16．
【分析】在上截取，连接作点关于的对称点，连接，，先明得到，，根据当、、三点共线时，的值最小，最小值为，再证明为等腰直角三角形，利用股定理求出长，即可求出长度的最小值．
【详解】解：在上截取，连接，作点关于的对称点，连接CE，，如图：
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在射线上运动，
点与点的关于对称，
，，
，
当、、三点共线时，的值最小，最小值为，
，，
，
，
由对称性可知，，
，
为等腰直角三角形，
线段长度的最小值为
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定及性质，利用轴对称求最短距离，作出恰当辅助线是解题的关键．
17．，
【分析】利用判别式的意义得到，再解关于的方程得到的值，然后解原方程．
【详解】解：根据题意得，解得．
此时方程为，解得．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
18．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据相似三角形的判定，由已知可证∠A=∠DCB，又因为∠ACB=∠BDC=90°，即证△ABC∽△CBD；
（2）根据勾股定理得到AB=5，根据三角形的面积公式得到CD=，然后根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°．
∴∠A+∠ACD=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠ACD=90°．
∴∠A=∠DCB．
又∵∠ACB=∠BDC=90°，
∴△ABC∽△CBD；
（2）解：∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴CD=，
∵CD⊥AB，
∴BD=．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．
19．左右道路的宽为9米
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题关键．设左右道路的宽为，则草坪的长为，结合题意可求出草坪的宽为，再根据矩形面积-草坪面积=道路面积，列出方程求解即可．
【详解】解：设左右道路的宽为，则草坪的长为，
∵草坪长、宽比与原矩形长、宽比相同，
∴草坪的宽为．
∵道路的面积为，
∴，
解得：，（舍），
答：左右道路的宽为9米．
20．（1）见解析；（2）
【分析】(1) 连接OB、OC，可得AB＝AC,利用垂直平分线的判定可得;
(2) 连接AI并延长交BC于点F，过点I分别作于点G，于点H, 通过，I为的内心，可知,利用勾股定理可求,设，由，可得： ,再设，则，再求解 证明,所以设，，利用勾股定理可得答案.
【详解】（1）证明：连接OB、OC，∵AB＝AC，
∴A在BC的垂直平分线上
又∵OB＝OC，∴O也在BC的垂直平分线上
∴
（2）连接AI并延长交BC于点F，过点I分别作于点G，于点H

∵，I为的内心，∴，，
∴
设，由
可得：
∴
设，则，
∴
解得： 即
∵，平分
∴
∴设，
在中，
∴解得：
∴
【点睛】本题考查了平行线的性质，圆的内心和外心，以及勾股定理，掌握圆的内心和外心的性质是解题的关键．
21．(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
(4)作图见解析
【分析】（1）取格点，连接交于点即可；
（2）取格点、，连接、、，交于点，交于点，连接并延长交圆于点，连接即可；
（3）连接、，交于点，连接并延长、连接并延长，两延长线交于点，过点、作直线交于点；
（4）设圆交格线于点，取格点、，连接并延长交圆于点，连接．
【详解】（1）解：取格点，连接交于点，连接、、、，
设网格中的小正方形的边长为个单位，
∵，，，，
∴，
∴四边形是菱形，
∴与互相垂直且平分，
∴点是的中点，
则点即为所作；
（2）取格点、，连接、、，交于点，交于点，连接并延长交圆于点，连接，连接、，
∵，，，，，
又∵，，
∴，，
∴和都是经过格点、、三点的圆的直径，
∴点为圆心，
∵，，，，
又∵，，
∴，，
∴点、在上，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴平分，
则点即为所作；
（3）连接、，交于点，连接并延长、连接并延长，两延长线交于点，过点、作直线交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴点为的中点，
则点即为所作；
（4）设圆交格线于点，取格点、，连接并延长交圆于点，连接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
则点即为所作．
【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了正方形的性质，勾股定理及勾股定理的逆定理，菱形的判定与性质，的圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，等腰三角形判定与性质及三线合一，垂直平分线的判定与性质，两平行弦所夹的弧相等，同弧和等弧所对的圆周角相等知识点．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，
22．(1)①；②他能在原地有效击球
(2)
【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意，找出抛物线顶点是解题关键．
（1）①由题意可知，抛物线顶点坐标为，即可设抛物线解析式为，再代入求解即可；
②令，求出y的值，结合小明的身高和在头顶至处称为有效击球高度即可解答；
（2）设y与x的函数关系式为，由题意得：有效击球的纵坐标取值范围为：，分别将，和，代入，求出a的值，即得出其范围．
【详解】（1）解：①由题意可知，抛物线顶点坐标为，
设y与x的函数关系式为，
将代入，得：，
解得：，
∴y与x的函数关系式为；
②令，则，
，
∵，
∴他能在原地有效击球；
（2）解：设y与x的函数关系式为，
由题意得：有效击球的纵坐标取值范围为：，
当抛物线过点，时，，
解得：；
当抛物线过点，时，，
解得：，
∴．
23．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）作交的延长线于点，由题意得四边形是正方形，可推出是等腰直角三角形；证，得，即可求证；
（2）作交的延长线于点，证得，可再证得 ，最后证得，即可求解；
（3）作，易得四边形是矩形，可证，根据推出是解题关键．
【详解】（1）证明：作交的延长线于点，如图所示：
∵，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵．，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：作交的延长线于点，如图所示：
∵．，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）解：作，如图所示：
易得四边形是矩形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
即：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（2）得：，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∴的面积
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，学会举一反三，作出正确的辅助线证相似是解题关键.
24．(1)，，的长为；
(2)点P的坐标为；
(3)线段的长为定值1．
【分析】（1）联立抛物线与直线的解析式求出A，B两点的坐标，进而求出的长；
（2）利用三角形的面积公式，结合得出点M的坐标，代入得出，再联立直线与抛物线，利用求出的值，得出直线的解析式，代入即可求出点P的坐标；
（3）由题意得，平移后的新抛物线解析式为，可得出D、E两点的坐标，设的外接圆的圆心为，作交于点，轴交轴于点，连接、，设点P坐标为，且，再设点K坐标为，利用垂径定理证出点、G分别是、的中点，从而表示出、G的坐标，再利用勾股定理求出和，利用列出等式，化简求出的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：联立，
解得：或，
在B左，
，，
．
综上所述，，，的长为．
（2）如图，连接、，
点P作直线与抛物线有唯一公共点M，
，，
由（1）得，，
，，
，
对于，令，则，
解得：，，
，
，
代入到得，，
，
，
联立，
消去整理得：，
点P作直线与抛物线有唯一公共点M，
方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
，
，
对于，令，则，
解得：，
点P的坐标为．
（3）抛物线向右平移1个单位，向上平移2个单位，
新抛物线的解析式为，
对于，令，则，
解得：，，
，；
设的外接圆的圆心为，作交于点，轴交轴于点，连接、，如图所示：
点P是第二象限内新抛物线上一动点，
设点P坐标为，且，
轴，
，
的外接圆与相交于点K，
设点K坐标为，
，
，
是的中点，
同理可得，为的中点，
由中点坐标公式可得，点F坐标为，点G坐标为，
，，
，轴，
，，即点Q坐标为，
，，
在中，，
在中，，
，
，
，
整理得：，
又，
，
．
线段的长为定值1．
【点睛】本题考查了二次函数与几何综合、中点坐标、垂径定理，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点，待定系数法求函数解析式，中点坐标公式，学会利用垂径定理证明中点，并且利用勾股定理表示出线段的长度是解题的关键，本题是二次函数综合题，需要较强的数形结合和推理能力，适合有能力解决难题的学生．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
C
B
D
B
C
B
D