河北省石家庄市第四十中学2024-2025学年上学期九年级数学期末模拟卷

这是一份河北省石家庄市第四十中学2024-2025学年上学期九年级数学期末模拟卷，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若四边形四边形，且，已知，则BC的长是（ ）
A．25B．9C．20D．15
2．2023年10月26日，搭载三名航天员汤洪波、唐胜杰、江新林的神舟十七号载人飞船发射成功，三名航天员顺利进驻我国空间站．根据安排此次航天员乘组将进行出舱开展科学实验，每名航天员出舱的机会均等，若某次安排两名航天员出舱，则航天员汤洪波和唐胜杰同时出舱的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成．现对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（ ）
A．1B．C．D．5
5．如图，在△ABC纸片中，∠A＝76°，∠B＝34°．将△ABC纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（ ）
A．①②B．②④C．①③D．③④
6．若的每条边长增加各自的得，则的度数与其对应角的度数相比（ ）
A．增加了B．减少了C．增加了D．没有改变
7．如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，E，F五个点均在格点上，，，则与的面积比为（ ）
A．5：3B．3：5C．25：9D．9：25
8．已知一个圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，两个反比例函数y1＝和y2＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（ ）
A．4B．2C．1D．6
10．2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ）

A．千米B．千米C．千米D．千米
11．如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高（ ）
A．5mB．6mC．7mD．8m
12．因为，，所以；由此猜想、推理知：当为锐角时有，由此可知：=（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．图①是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图②是其示意图，其中物距，像距．若像的高度是，则物体的高度为 ．
14．如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么 ．

15．已知的顶点坐标是，以点为位似中心，将缩小为原来的，则点A的对应点的坐标为 ．
16．如图，点在反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、y轴，点D在位于右侧的反比例函数的图象上，，分别垂直于x轴、，若四边形为正方形，则这个正方形的面积等于 ．
三、解答题
17．计算．
(1)
(2)解方程
18．如图，某数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，在某一时刻测得长的竹竿竖直放置时影长为，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一教学楼，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，测得落在地面上的影长为，留在墙上的影高为，求旗杆的高度．
19．郑州东站(图1)是京广高速铁路和徐兰高速铁路的交汇站，也是以高速铁路为中心，集高速铁路、城际铁路、城市地铁、公路客运、城市公交、机场巴士、出租车等多种交通方式为一体的交通枢纽．某数学兴趣小组想要用无人机测量东站入口 的高度(垂直于水平地面)，测量方案如图2，先将无人机垂直上升至距水平地面高的点 P，在此处测得东站入口顶端A的俯角为 再将无人机沿水平方向向东站入口飞行到达点Q，此时测得东站入口底端B的俯角为 ，求东站入口 的高度．（直线l，点A，B，P，Q均在同一平面内．参考数据： ，，)
20．为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表
参加四个社团活动人数扇形统计图
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)抽取的学生共有 人，其中参加围棋社的有 人；
(2)若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？
(3)某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．
21．如图，在中，，是边上的中线，．
(1)求的长；
(2)求的值．
22．如图，E是矩形的边上的一点，于点F．
(1)求证：；
(2)若，，当点E为中点时，求线段的长度．
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．

(1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)设直线与x轴交于点C，若为y轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标．
24．【问题呈现】
（1）如图1，和都是等边三角形，连接、．求证：．
【类比探究】
（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接、，则______．
【拓展提升】
（3）如图3，和都是直角三角形，，
，连接、．
①求的值；
②延长交于点，交于点，求的度数．
．
社团活动
舞蹈
篮球
围棋
足球
人数
50
30
80
参考答案：
1．B
【分析】本题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例．
由相似多边形的性质推出，代入有关数据，即可求出的值．
【详解】解：∵四边形四边形，
∴，
∵，，
∴．
故选：B．
2．B
【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率，根据题意，列出图表或树状图，利用概率公式计算概率即可．根据列表法得出所有等可能情况，找出符合条件的情况数，利用概率公式即可求解．
【详解】解：根据题意，列表如下：
由上表得共有6种等可能结果，航天员汤洪波和唐胜杰同时出舱的情况有2种，故
航天员汤洪波和唐胜杰同时出舱的概率为．
故选：B
3．B
【分析】列出所有可能的情况，找出符合题意的情况，利用概率公式即可求解．
【详解】解：对每个小正方形随机涂成黑色或白色的情况，如图所示，
共有8种情况，其中恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形情况有3种，
∴恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为，
故选：B
【点睛】本题考查了用列举法求概率，能一个不漏的列举出所有可能的情况是解题的关键．
4．C
【分析】设P点表示的数为x，则根据平行线分线段成比例可得，解分式方程再进行检验，符合题意即可解答．
【详解】解：设P点表示的数为x，则根据平行线分线段成比例可得
解得，
经检验，是分式方程的解且符合实际意义，
即P点表示的数为．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线和分式方程，根据平行线的性质列出方程，再进行解答即可．
5．C
【分析】根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】图①中，∠B＝∠B，∠A＝∠BDE＝76°，所以△BDE和△ABC相似；
图②中，∠B＝∠B，不符合相似三角形的判定，不能推出△BCD和△ABC相似；
图③中，∠C＝∠C，∠CED＝∠B，所以△CDE和△CAB相似；
图④中，∠C＝∠C，不符合相似三角形的判定，不能推出△CDE和△ABC相似；
综上分析可知，阴影三角形与原三角形相似的有①③，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，能熟记有两个角对应相等的两三角形相似是解此题的关键．
6．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据两个三角形三边对应成比例，得出，再根据相似三角形对应角相等解答即可．
【详解】解：∵的每条边长增加各自的得，
∴与的三边对应成比例，
∴，
∴．
故选：D．
7．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．先根据平行线的性质得到，，则可判断，然后根据相似三角形的性质解决问题．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴与的面积比．
故选：C．
8．C
【分析】根据三视图确定圆锥的底面半径和高，然后利用圆锥的体积计算公式求得答案即可．
【详解】解：观察三视图得：圆锥的底面半径为，高为，
所以圆锥的体积为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆锥的三视图，圆的面积公式，根据主视图与左视图得到圆锥的底面直径是解题的关键．
9．C
【分析】根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义得到，然后利用进行计算即可．
【详解】解：∵PA⊥x轴于点A，交于点B，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
10．A
【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解
【详解】解：由题意得：
∴千米
故选：A
11．D
【分析】栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应变成比例解题．
【详解】解：设长臂端点升高x米，
则，
经检验，x=8是原方程的解，∴x=8．
故选D．
12．C
【分析】当α为锐角时有．把代入计算即可．
【详解】解：，
．
故本题选：C．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，本题是信息题，按照“一般地当α为锐角时有”去答题．同时熟记特殊角的三角函数值也是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：根据题意得出，利用对应边成比例即可求解．
【详解】解：由题意得：
∴
∴，
∴
∵，．
∴
∴，
∴物体的高度为
故答案为：．
14．43/113
【分析】先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据正切数的定义即可求解．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，，
∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，
∴，，
∴在中，，
∴，
设，则
∵在中， ，
∴，解得，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，正切的定义．
15．或
【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：以原点为位似中心，把缩小为原来的，可以得到，点的坐标为，
点的坐标是或，即或．
故答案为：或．
16．
【分析】本题考查的是求解反比例函数解析式，反比例函数的性质，一元二次方程的解法，如图，延长交轴于，求解反比例函数为：，证明，设正方形的边长为，可得，再解方程可得答案．熟练的利用图形面积建立方程是解本题的关键．
【详解】解：如图，延长交轴于，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数为：，
∴，
∴，
设正方形的边长为，，
∴，，
∴，
整理得，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴正方形的面积为．
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，特殊角三角函数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
或
解得：．
18．15m
【分析】过C作于E，首先证明四边形为矩形，可得，，根据题意得到，求出得长，即可求出旗杆的高度．
【详解】解：如图，过点作于点，
，，
，
四边形为矩形，
，
根据题意可得，即，解得，
，
答：旗杆的高度为．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用物长：影长=定值，解决问题，属于中考常考题型．
19．东站入口的高度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键．延长 交 的延长线于点 C，在中，可求得，所以，，在 中，根据，即可求得，由此即得答案．
【详解】延长 交 的延长线于点 C，
由题意，得，，，
在中，，
，
，
，
，
在 中， ，
，
．
答: 东站入口的高度约为．
20．(1)200，40
(2)人
(3)
【分析】（1）用足球的人数除以足球所占的百分比，即可求得样本容量，进而求出参加围棋社的人数．
（2）先求出参加篮球社的学生所占百分比，再乘以3200，即可得出答案．
（3）用树状图表示3男2女共5名学生，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，所有可能出现的结果情况，进而求出答案即可．
【详解】（1）抽取的学生共有：（人）,
参加围棋社的有：（人）;
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生共有
（人）,
（3）设事件为：恰好抽到一男一女
所有等可能出现的结果总数为20个，事件所含的结果数为12个
恰好抽到一男一女概率为．
【点睛】本题主要考查了读统计表与扇形图的能力和利用图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察，分析，研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了利用树状图或列表法求概率．
21．(1)14
(2)
【分析】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，分别解与，得出，是解题的关键．
（1）先由三角形的高的定义得出，再利用得出；在，根据勾股定理求出，然后根据即可求解．
（2）先由三角形的中线的定义求出的值，则，然后在中根据正弦函数的定义即可求解．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（2）∵是边上的中线，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）依题意得、，即，结合可证得结论；
（2）结合题意由勾股定理求得，再结合即，代入可求解．
【详解】（1）证明：∵，四边形是矩形，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵点E为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，勾股定理；解题的关键是相似三角形的证明和性质的应用．
23．(1)，图见解析
(2)或
(3)或
【分析】（1）先根据反比例函数的解析式，求出的坐标，待定系数法，求出一次函数的解析式即可，连接，画出一次函数的图象即可；
（2）图象法求出不等式的解集即可；
（3）分点在轴的正半轴和负半轴，两种情况进行讨论求解．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
图象如图所示：

（2）解：由图象可知：不等式的解集为或；
（3）解：当点在轴正半轴上时：

设直线与轴交于点，
∵，
当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
解得：；
∴；
当点在轴负半轴上时：
，
∴
解得：或（不合题意，舍去）；
∴．
综上：或．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
24．（1）证明见解析；（2）；（3）①，②
【分析】（1）证明，从而得出结论；
（2）证明，进而得出结果；
（3）①利用含30度的直角三角形的性质以及勾股定理得到，再证明，进而得出结果；②由，得出，进而得出．
【详解】证明：（1）∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）①∵，，
∴，，
由勾股定理得，，
∴，
同理，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质以及勾股定理，锐角三角函数的应用等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
B
C
C
D
C
C
C
A
题号
11
12








答案
D
C








汤洪波
唐胜杰
江新林
汤洪波
—
汤洪波，唐胜杰
汤洪波，江新林
唐胜杰
唐胜杰，汤洪波
—
唐胜杰，江新林
江新林
江新林，汤洪波
江新林，唐胜杰
—