山西省实验中学2024-2025学年九年级上学期第四次质量监测数学试题

这是一份山西省实验中学2024-2025学年九年级上学期第四次质量监测数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知是锐角，且，则等于（ ）
A．B．1C．D．
2．如图，这是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其主视图为（ ）
A．B．C．D．
3．反比例函数的图象经过第一、三象限，则常数有可能是（ ）
A．4B．5C．6D．
4．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直D．对角相等
5．山西是戏剧大省，典型剧种以晋剧、蒲剧、北路梆子和上党梆子为代表，被称为“四大梆子”．在“戏曲文化进校园”活动中，某班开展戏剧知识宣讲，每个小组可随机选择“四大梆子”中的两个剧种进行宣讲，则甲小组选到蒲剧的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，平面直角坐标系中，已知的顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若，的面积为2，则的面积为（ ）

A．2B．4C．8D．16
7．为促进消费，某超市对部分商品进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价700元的服装，优惠后实际仅需448元．设该服装打x折，则可列出的方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
9．掷实心球是中学生体质健康检测中的一项，体育老师给出标准示范图，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（米）与飞行的水平距离x（米）之间具有函数关系，则小明这次实心球训练的成绩为（ ）
A．B．3C．8D．10
10．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点和边AB的中点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．若，则 ．
12．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都是格点，则的值为 ．

13．对于二次函数，它的顶点坐标为 ．
14．如图，点A是反比例函数图象上的一点，经过点A的直线与坐标轴分别交于点C和点D，过点A作轴于点B，，连接，若的面积为2，则k的值为 ．
15．如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，，，若点G是的中点，H是的中点，连接，则的长为 ．
三、解答题
16．（1）解方程：；
（2）计算：．
17．小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流（单位：）与电阻（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示．
(1)求关于的函数解析式；
(2)当时，求的值；
(3)若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，求该台灯的电阻的取值范围．
18．如图，某办公楼AB的后面有一栋建筑物CD，当光线与地面的夹角是时，办公楼在建筑物的墙上留下高米的影子CE，而当光线与地面夹角是时，办公楼顶在地面上的影子与墙角有米的距离（，，在一条直线上）．求办公楼AB的高度．（参考数据：）
19．随着《黑神话：悟空》这款融合了中国传统文化精髓与现代游戏技术的力作横空出世，不仅激发了玩家对神话故事的无限遐想，更意外地点燃了公众对山西这片古老土地的热情．游戏中精心选取的27处山西实景，如同一幅幅生动的历史画卷，引领我们穿越时空，感受五千年文明的深厚底蕴．某旅游公司推出“跟着悟空游山西”二日游路线．小明家、小米家利用双休日出去旅游．每次出游只能选一条路线．
(1)小米家这周想选A路线，小明家选不到A路线的概率是多少？
(2)如果小明家相约小米家一起出去旅游，两个家庭都从上面四条路线中选一条路线去游玩，请用树状图或列表的方法求出两家选取同一条路线的概率．
20．如图，在中．

【实践与操作】请利用尺规作图完成以下操作：
（1）作的角平分线，交边于点D；
（2）作线段的垂直平分线，分别交边，于点E，F；
（3）连接，连接．
（要求：不写作法，标明字母）；
【猜想与证明】试猜想四边形的形状，并加以证明．
21．我国法律明确规定，驾驶电动自行车必须年满周岁．未成年人操作电动自行车的熟练程度较低、应急能力较差，再加上缺乏对危险隐患的认知，若遇紧急情况，往往很难准确避险：据统计，摩托车、电动自行车、小汽车是导致交通事故死亡最多的车辆，摩托车、电动自行车驾乘人员死亡事故中约为颅脑损伤致死．为确保安全出行，交警提醒骑车出行必须佩戴头盔．某头盔品牌厂商在某电商平台共有个网店，一个网店平均每月销售个头盔．现准备多开一些网店以提高销售量，试验发现，每多开1个网店，每个网店头盔月销售量就会减少2个，但随着网店数量增加，运营成本也会增加，如果要使每月总销售量增加，且尽可能减少运营成本，那么应多开几个网店？
22．【问题背景】如图（1），已知，求证：；
【尝试应用】如图（2），在和中，，，与相交于点F，点D在边上，，求的值；
【拓展创新】如图（3），D是内一点，，，，，直接写出的长．
“跟着悟空游山西”二日游推荐路线
A、临汾线：小西天、广胜寺、铁佛寺
B、长治线：观音堂、紫庆寺
C、朔州线：尝福寺、应县木塔
D、晋中线：平遥镇国寺、平遥双林寺
参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】∵
∴．
故选：D．
2．B
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看得到的图形是：
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，求不等式的解集，掌握反比例函数图象所在象限判定比例系数的符号，求不等式的解集的方法是解题的关键．
【详解】解：反比例函数的图象经过第一、三象限，
∴，
解得，，
∴只有C选项符合题意，
故选：C ．
4．C
【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的性质等知识点，熟练掌握菱形和矩形性质的相同点和不同点是解题的关键．
根据菱形和矩形的性质逐项分析判断即可得出答案．
【详解】A. 对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有，故选项不符合题意；
B. 对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质，故选项不符合题意；
C. 对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有，故选项符合题意；
D. 邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有，故选项不符合题意；
故选：．
5．A
【分析】根据题意，先画出树状图，可得所有可能结果数和甲小组选到蒲剧的结果数，然后即可求出选到蒲剧的的概率．本题考查列表法或树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
【详解】解：依题意，晋剧、蒲剧、北路梆子和上党梆子分别用、、、表示，
画树状图如下，
由上可得，一共有12种等可能的结果，其中甲小组选到蒲剧的结果有6种，
甲、乙两个小组选择同一剧种的概率为，
故选：A．
6．C
【分析】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，得出两图形的位似比是解题关键．
利用位似图形的性质得出，即可得出答案．
【详解】解：已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，，
，
，
，
解得：，
故选：C．
7．D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据原价及经过两次打折后的价格，可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解： 依题意得：
故选：D．
8．B
【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答．分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A．由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、二、四象限，故本选项不符合题意；
B．由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、二、四象限，故本选项符合题意；
C．由反比例函数的图象在二、四象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意；
D由反比例函数的图象在二、四象限可知，，，一次函数的图象应该经过一、三、四象限，故本选项不符合题意；
故选：B．
9．D
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是正确理解题意，根据题意把代入解析式即可求解
【详解】解：由题意，当时，则，
解得（舍去），．
故选：D．
10．C
【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，平行四边形的性质，掌握反例函数图象的性质与几何图形面积的计算方法是解题的关键．
根据题意，设，可得，，由中点坐标公式的计算可得，代入反比例函数解析式即可求解．
【详解】解：根据反比例函数图象所在象限可得，，
∵反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，
∴设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点是AB的中点，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵点经过反比例函数图象，
∴，
整理得，，
解得，，
故选：C ．
11．
【分析】本题考查比例的性质，掌握等式的性质是解题的关键，1减等式左右两边即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：
12．55/155
【分析】本题考查求角的余弦值，勾股定理，连接，根据勾股定理的逆定理判定，再根据余弦函数的定义求解．
【详解】解：如图，连接，

由格点及勾股定理知：，，，
，
，
，
，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
根据二次函数的性质，直接写出顶点坐标即可．
【详解】对于二次函数，它的顶点坐标为．
故答案为：．
14．6
【分析】本题考查的是利用图形面积求解反比例函数中的，相似三角形的判定与性质，设，证明，可得，，再利用三角形的面积建立方程求解即可．
【详解】解：设，
∴，．
∵轴，轴，
∴．
∴，
∴．
∴，．
又∵，
∴．
故答案为：6．
15．
【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理，连接，并延长交与N，连接，由矩形的性质得出，，证明得出，，由勾股定理求出的长，再由三角形中位线定理即可得解．
【详解】解：如图，连接，并延长交与N，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵点G是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵H是的中点，，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：5．
16．（1）；（2）
【分析】本题考查了解一元二次方程，负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值和绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）首先计算负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算加减．
【详解】（1）解：（1），
，
，
或，
所以；
（2）解：
．
17．(1)
(2)0.15A
(3)
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的性质，是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式；
（2）将代入解析式，求出I的值即可；
（3）求出最小电流和最大电流对应的电阻R的阻值，根据增减性即可得出结果．
【详解】（1）解：设，由图象可知，
当时，，
，
；
（2）解：当时，；
（3）解：当，，
当，，
该台灯的电阻的取值范围为．
18．
【分析】本题考查了矩形得判定及性质、直角三角形的应用，过点作于点，设，由题意得四边形是矩形，则米，，在中，由可知，在中，利用锐角三角函数的定义求出的值即可．
【详解】解：过点作于点，设，
由题意得四边形是矩形，
∴米，，
在中，
，
．
在中，
∴，即，
解得：．
∴办公楼AB的高度为；
19．(1)
(2)
【分析】本题考查简单概率的计算，树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
（1）根据总的有4条路线，小明家选不到A路线的情况有三种可能，利用概率公式计算即可；
（2）画树状图，共有16种等可能性结果，其中两家选取同一条路线的可能结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：根据题意：小明家选不到A路线的概率是；
（2）解：画树状图如下：

共有16种等可能性结果，其中小明家和小米家恰好选择同一条路线的可能结果有4种，
∴小明家和小米家恰好选择同一条路线的概率为．
20．实践与操作：见解析；猜想与证明：菱形，见解析
【分析】[实践与操作]根据角平分线，垂直平分线的作法作图即可；
[猜想与证明]根据垂直平分线的性质得到，，，证明，得到，再根据四边相等的四边形是菱形证明即可．
【详解】解：[实践与操作]
如图，即为所求；

[猜想与证明]
四边形为菱形，理由如下：
∵垂直平分，交点为O，
∴，，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．

【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线和垂直平分线的作法，垂直平分线的性质，菱形的判定，解题的关键是掌握基本尺规作图的方法，菱形的判定方法．
21．2个．
【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意列得一元二次方程是解题的关键．设应增加x个网店，根据销售总量每个网店销售量网店数量列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：设应增加x个网店，则增加后共有，每个网店头盔月销售量为，
，
即，
整理得，
解得，
网店越多，运营成本就越多，且，
为了尽可能减少运营成本，符合题意，
答：应多开个网店．
22．（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）通过得到，，再找到相等的角，从而可证；
（2）连接，通过可以证得，得到，然后证明，，通过对应边成比例即可得到答案；
（3）在的右侧作，交延长线于E，连接，通过，，然后利用对应边成比例即可得到答案．
【详解】（1）∵，
∴， ，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
又∵
∴，
∴；
（3）如图，在的右侧作，交延长线于E，连接，

∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，在直角三角形中，由于，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
C
A
C
D
B
D
C