黑龙江省大庆市五校2024-2025学年上学期九年级联考数学试题

这是一份黑龙江省大庆市五校2024-2025学年上学期九年级联考数学试题，共36页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，中，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．二次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列说法：
①弧长相等的弧是等弧；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于半径的直线是圆的切线；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．其中不正确的有___________个．（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．在抛物线中，y与x的部分对应值如表：
下列结论中，正确的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．对称轴是直线
C．当时，y随x的增大而增大
D．当时，y随x的增大而减小
5．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：
当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为．下列描述正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
6．如图，以量角器的直径为斜边作，过点作交半圆弧于点，点对应的读数为，则的度数为（ ）
A．38°B．76°C．52°D．40°
7．飞机着陆后滑行的距离s（m）与滑行的时间t（s）之间的关系式为．则飞机滑行中最后的滑行距离为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知A，B，C为上的三点，且．点P从点A出发，沿着逆时针方向运动到点B，连接与弦相交于点D，当为直角三角形时，弧的长为（ ）
A．2πB．C．或D．2π或
9．如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为（ ）
A．13B．14C．12D．28
10．函数的图象与x轴交于点，顶点坐标为，其中．
①当时，则；
②若方程有两根，则；
③点是抛物线上不同于A，B的两个点，当时，y1＜y2；
④函数的图象与的函数图象总有两个不同交点．
以上结论正确的有（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②④
二、填空题
11．若关于x的函数是二次函数，且其有最大值，则 ．
12．将半径为5的如图折叠，折痕长为6，C为折叠后的中点，则长为 ．
13．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，那么的正弦值为 ．

14．若的两边长a，b满足，则此三角形内切圆半径是 ．
15．如图，四边形接于，点I是的内心，点E在的延长线上，，则的度数为 ．
16．如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象经过A，B两点，若点P为直线下方的抛物线上一动点，连接，则面积的最大值为 ．
17．已知：如图，为的直径，为的切线，D、B为切点，交于点E，的延长线交于点F，连接．以下结论：①；②点E为的内心；③；④．其中正确的结论有 ．
18．如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；，如此进行下去，直至得，若在第段抛物线上，则 ．
三、解答题
19．已知α是锐角，且sin (α＋15°)＝，计算－4csα－(π－3.14)0＋tanα＋的值．
20．如图，在中，．
(1)求的值．
(2)求的面积（结果保留根号）
21．如图，BD是的直径，点在上，，交BD于点，已知．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
22．打铁花，是流传于豫晋地区民间传统的烟火，国家级非物质文化遗产之一，铁花飞溅，寓意着生活多姿多彩．春节前夕，在渝北区龙湖天街广场举行了一次打铁花表演．小明家在点A处，表演场地C在小明家北偏东．小明有两种方式去看表演，路线①从A经过一段楼梯到达点D，，再沿到达C处，已知点C在点D的东北方向处；路线②从A出发沿正东方向到达点B，再沿正北方向到点C处．（A、B、C、D在同一平面内）（参考数据：，，，
(1)求楼梯的长度；
(2)小明计划出门，如果选择路线①只能走路，走路的最快速度是，如果选择路线②则可以跑步，跑步的平均速度是，表演正式开始时间是，小明能赶在表演前到达点C处吗？如果能，选择哪条路线，如果不能，具体说明原因（数据保留1位小数）．
23．如图，已知是的直径，是的弦，点是外的一点，，垂足为点，与相交于点，连接，且，延长交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若半径为，，求的长．
24．大学毕业生小李自主创业，开了一家小商品超市．已知超市中某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价必须低于34元，设每件商品的售价上涨元（为非负整数），每个月的销售利润为元．
(1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
(3)利用函数关系式求出每件商品的售价为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？
25．小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成．
(1)如图1，中，°，，，分别以、为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．
(2)如图2，这是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为80，，求该飞镖状图案的面积．
26．综合与应用
为促进中学生全面发展，培养良好体质，某班同学在“大课间”开展“集体跳绳”运动．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线的部分图象，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，若摇绳的两人之间间距为6米，摇绳时两人手离地面均为米；已知小丽身高1.575米，在距离摇绳者A的水平距离米处，绳子刚好经过她的头顶．

【阅读理解】
（1）求图中抛物线的解析式；（不需要求自变量取值范围）
【问题解决】
（2）体育龙老师身高米，请问他适合参加本次运动吗？说明理由；
（3）若多人进入跳绳区齐跳，且大家身高均为1.7米，要求相邻两人之间间距至少为0.6米，试计算最多可供几人齐跳.
27．如图，在中，以为直径作，交于点D，过O作交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数；
(3)若，，求的长．
28．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线经过点B，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．

(1)填空：_________，_________，_________；
(2)如图1，连接，，，若是以为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
(3)如图2，若点P在直线上方的抛物线上，过点P作，垂足为Q，求的最大值．
x
…
1
3
4
6
…
y
…
25
15
10
15
…
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查勾股定理及正弦值，熟练掌握勾股定理及正弦是解题的关键；由勾股定理可得，然后根据正弦可进行求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴；
故选B．
2．B
【分析】根据抛物线的开口方向、顶点所在象限进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，故C、D错误；
∵抛物线顶点坐标为，
∴抛物线的顶点在第二象限，故A错误，B正确；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
3．D
【分析】根据圆、弧、三角形外心的定义和性质以及切线的判定条件即可获得答案．
【详解】解：①弧长相等的弧是等弧，故该说法不正确；
②不在同一直线的三点可以确定一个圆，故该说法不正确；
③在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该说法不正确；
④经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故该说法不正确；
⑤三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等，故该说法正确．
故选：D．
【点睛】根据圆、弧、三角形外心的定义和性质以及切线的判定条件等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
4．D
【分析】本题考查了二次函数的性质，利用表中的对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据表中数据进而判断开口方向以及增减性即可．
【详解】解：∵和x=6时函数值相同，
∴对称轴为直线，故B错误，不符合题意；
观察表格知，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
∴开口向上，故A错误，不符合题意；
当时，y随x的增大而增大，故C错误，不符合题意；
当时，y随x的增大而减小，故D正确，符合题意；
故选：D．
5．D
【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键．
根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解．
【详解】解：线段最长为圆的直径，先增加后减小；
A、当时，可能大于，故不符合题意；
B、当时，可能大于，故本选项不符合题意；
C、当时，不一定等于，故本选项不符合题意；
D、当时，，故本选项符合题意；
故选：D．
6．A
【分析】本题考查了三角形内角和定理，圆周角定理，利用圆周角定理，找出的度数是解题的关键．
设半圆弧的圆心为，得到，利用圆周角定理，求出，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：以量角器的直径为斜边作，设半圆弧的圆心为，于点,连接，
根据题意得，点在圆上，
，
于点，
，
，
故选：A．
7．C
【分析】将函数解析式转化成顶点式求出滑行的最大距离，从而求得滑行时间的最大值，即可求得滑行最后前的距离，即可求解．
【详解】解：∵，
∴当时，s取最大值600，
即飞机着陆后滑行600米才能停下来，
∴，
当时，，
∴飞机滑行中最后的滑行距离为：，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法是解题的关键．
8．D
【分析】当，连接，先证明点C，D，O共线时，再证明是等边三角形，得到，可知，然后根据求弧长公式求解即可；当时，则，可知为直径，再利用弧长公式求解．
【详解】如图所示，当，连接，
∵，
∴，点D为的中点，
∴，
∴点C，D，O共线．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴弧的长；
当时，则，
∴为直径，
∴弧的长．
所以弧的长为或．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，等边三角形的性质和判定，弧长公式，注意分情况讨论.
9．D
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最大值时点P的位置．连接，由中知若要使取最大值，则需取最大值，连接，交于点，当点P位于点时，取得最小值，当点P在的延长线与的交点上时，取最大值，据此可得出取最大值时点P的位置，求解可得结果．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵点A、点B关于原点O对称，
∴，即点为AB中点，
∴，
若要使取最大值，则需取最大值，
连接，交于点，
当点P位于点时，取得最小值，
过点M作轴于点Q，圆心M的坐标为，
则，
∴，
又∵，
∴，
∴当点P在的延长线与的交点上时，取最大值，
∴的最大值为，
∴的最大值为．
故选：D．
10．B
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，二次函数图象与系数的关系等知识，能根据图象确定与系数有关的式子的符号是解题的关键．
由对称轴为直线和点，推出，代入，即可判断①；由抛物线与直线有两个交点，可判断②；根据横坐标距离对称轴越近，函数值越大，距离对称轴越远，函数值越小，可判断③；联立，利用根的判别式，即可判断④．
【详解】解：依题意，画出图形如下：
①∵顶点坐标为，
∴对称轴为直线，则，
将点代入抛物线得，
解得，
∵，
∴
即，
∴，
故①正确；
∵方程有两根，
∴抛物线与直线有两个交点，
∵顶点坐标为，
∴，
即，
故②不正确；
观察图象可知：横坐标距离对称轴越近，函数值越大，距离对称轴越远，函数值越小．
∵对称轴为直线，且，
∴点离对称轴的距离比点离对称轴的距离大，
∴；
故③正确；
∵顶点为，
∴抛物线解析式为；，
联立方程组可得：，可得，
∴，
∵无法判断△是否大于0，
∴无法判断函数的图象与的函数图象的交点个数，
故④错误；
综上，①③正确，
故选：B
11．
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质与定义求解即可．
【详解】解：∵关于x的函数是二次函数，且其有最大值，
∴，
解得，
故答案为：．
12．3
【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系和勾股定理．延长交于D点，交于E点，连接，如图根据圆心角、弧、弦的关系由得到，则可判断垂直平分，则，再利用勾股定理计算出，所以，然后利用C点和D点关于对称得到，最后计算即可．
【详解】解：延长交于D点，交于E点，连接，如图，
∵C为折叠后的中点，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
在中，，
∴，
∵沿折叠得到，垂直，
∴C点和D点关于对称，
∴，
∴．
故答案为：3．
13．/
【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，求解特殊角的三角函数值，根据网格求出三角形的三边，得到是等腰直角三角形，再进行求解．
【详解】解：由勾股定理可得，
，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，且，，
∴，
故答案为：．
14．1或
【分析】本题主要考查了勾股定理，非负数的性质及三角形内切圆的性质，先根据非负数的性质求出，再分当边长为a的边是直角边时，当边长为a的边是斜边时，两种情况利用勾股定理求解出第三边的长，设的内切圆为，半径为R，代入即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
当边长为a的边是直角边时，则由勾股定理得第三边的长是，
如图，设的内切圆为，半径为R，
则
即，
∴；
如图，当边长为a的边是斜边时，则由勾股定理得第三边的长是，
同理：，
∴；
综上所述，此三角形内切圆半径是或，
故答案为：或．
15．
【分析】本题主要考查了圆内接四边形，内心的定义．先求出，然后求出，再由内心的性质求得，然后利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∵点I是的内心，
∴和是的角平分线，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查二次函数的综合应用，熟练掌握的图象和性质是解题的关键．
先求出点A、B的坐标，然后求得抛物线的解析式．如图：过点P作轴交于点Q，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则，然后根据以及二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，
∴，
把点代入可得：，解得：，
∴，
如图：过点P作轴交于点Q，
设点P的坐标为，则点Q的坐标为，
∴，
∴，
当时，最大，最大为．
故答案为：．
17．①②④
【分析】设交于点G，连接，根据切线长性质，得，得，根据，得，故①正确；是的切线，，而，，即是的角平分线，根据平分，得E为的内心，故②正确；若，则应有，应有，应有，而与不一定相等，故③不正确；由②可知，又，，证明，得，得， 即得，故④正确．
【详解】解：设交于点G，连接，
∵与是的切线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故①正确；
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
即是的角平分线，
∵平分，
∴E为的内心，
故②正确；
若，则应有，
应有，
应有，
而与不一定相等，
故③不正确；
由②可知，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故④正确．
∴正确的结论有：①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了圆综合．涉及切线长定理，切线性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，内心的概念及判定，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．
18．或
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出的值，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵
∴图象与轴交点坐标为：，，
∴，
∵将绕点旋转得，交轴于点；
∴，同理可得，
，
∴，，，，
∴第段抛物线解析式为，
则当时，，解得：，，
∴点，在第段抛物线上，
∴第段抛物线可以看作第解析式为，向右平移个单位，
∴点，向右平移个单位，
∴对应点的坐标为，，
∴的值为或，
故答案为：或．
19．3.
【详解】∵sin(α+15°)=
∴α=45°，
原式=
20．(1)
(2)的面积为
【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形．
（1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可；
（2）利用勾股定理及三角形面积求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点作于点．
在中，，，
，
，
在中，
，
；
（2）解：由（1）知：在中，，，
，
．
21．(1)；
(2)
【分析】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
(1)根据圆周角定理，等腰直角三角形的性质，三角形外角和定理即可求出答案；
(2)设，则，，由相似三角形的判定和性质得出，求解即可．
【详解】（1）解:是的直径，点在上，
,
，
，
，
，
；
（2）解：设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
．
22．(1)楼梯的长度为；
(2)选择路线①能赶在表演前到达点C处
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角函数的意义，勾股定理是解题的关键．
（1）取点，过作于，于，设，根据三角函数的定义得到，求得，再利用勾股定理求解即可；
（2）根据“时间路程速度”列式计算．
【详解】（1）解：如图：取点，过作于，于，连接，，
由题意得：，，，，
，四边形为矩形，
，
设，
，
，，
，
解得：，
，，
，
答：楼梯的长度为；
（2）解：选择路线①能赶在表演前到达点处．
理由：按照路线①需要：，
选择路线①不能赶在表演前到达点处，
按照路线②需要：，
选择路线①能赶在表演前到达点处．
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定，解题直角三角形，解题的关键是熟练掌握经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及解直角三角形的方法和步骤．
（1）根据，得出，进而得出，易得，根据，得出，则，即可求证是的切线；
（2）根据题意得，，结合正弦函数得出，，求出，则，根据勾股定理求出，进而求出，最后根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，则，
∴，即，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∵半径为3，
∴，
∵是的切线，
∴，则，
∵，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴根据勾股定理可得：．
24．(1)；自变量的取值范围为，且x为整数
(2)每件商品售价为33元时，每个月可获得最大利润，最大利润为1950元
(3)每件商品售价为32元时，每个月可获得的利润恰好为1920元
【分析】本题是函数应用问题，考查了求函数关系式，二次函数的最值，解一元二次方程等知识，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
（1）根据：每件商品的利润销售量销售利润，列出函数关系式即可；
（2）根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据利润为1920元及所列的函数式，得到关于x的一元二次方程，解此方程即可．注意根据自变量的取值范围舍去不合题意的解．
【详解】（1）解：由题意得：，
整理得：，
其中自变量取值范围为，且x为整数；
答：与的函数关系式为，自变量的取值范围为，且x为整数；
（2）解：，
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵当，且x为整数时，
∴当时，最大值（元），
此时售价为（元）；
答：每件商品售价为33元时，每个月可获得最大利润，最大利润为1950元；
（3）解：由题意得：，
整理得：，
解得：；
∵，且x为整数，
∴，
此时售价为（元）；
答：每件商品售价为32元时，每个月可获得的利润恰好为1920元．
25．(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理，三角形和扇形的面积，能根据勾股定理列方程是解题的关键．
（1）根据阴影部分面积两个扇形的面积和的面积计算即可；
（2）根据三角形的全等可得，，然后根据勾股定理得到，即可求出长，然后计算面积即可．
【详解】（1）解：阴影部分的面积为；
（2）解：∵四个直角三角形全等，外围轮廓（实线）的周长为80，
∴，，
∵是直角三角形，
∴，即，
解得：，
∴，
∴飞镖状图案的面积为．
26．（1）；（2）他不适合参加本次运动，理由见解析；（3）最多可供人齐跳
【分析】（1）用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）求出函数的最大值，进行判定即可；
（3）令，得，求出，，根据，得出最多可供人齐跳．
【详解】解：（1）依题意，抛物线经过，，，
可列方程组，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）∵，
∴抛物线开口向下，
当时，
有最大值，
∵，
∴他不适合参加本次运动；
（3）令，得，
解得，，
∵，，
∴最多可供人齐跳．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数解析，求函数的最值，求自变量的值，解题的关键是根据题意求出二次函数解析式．
27．(1)见解析；
(2)；
(3)．
【分析】本题主要考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练运用所学知识是解题关键．
（1）利用平行线的性质，等腰三角形的性质，等量代换思想证明即可；
（2）延长交于G，证明从而得到的度数；
（3）首先根据三角形中线的性质可得，结合易得，证明，结合相似三角形的性质即可获得答案．
【详解】（1）
（2）解：如图，延长交于G，
∵是的直径，
（3）
即
又∵是的直径，
，
，
∵，
∴．
28．(1)，，3；
(2)
(3)
【分析】（1）分别把代入抛物线解析式和一次函数的解析式，即可求解；
（2）作轴于点，根据题意可得，从而得到，，再根据，可求出m，即可求解；
（3）作轴交于点，过点作轴于点，则，再根据，可得，，然后根据，可得，从而得到，在根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：∵在抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，（舍），
∴．
∵在直线上，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为．
故答案为：，，3；
（2）如图，作轴于点，

对于，令x=0，则y=-6，
∴点，即，
∵，
∴，
∵点P的横坐标为m．
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（舍），，
∴，
∴点．
（3）如图，作轴交于点，过点作轴于点，

∵，
∴点，
∴，
∵轴，
∴轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵轴，
∴轴，
∴，
∴，即
∴，
∴，
∴，
∴当时，的最大值是．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键，是中考的压轴题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
D
D
D
A
C
D
D
B