天津市南开大学附属中学2024--2025学年九年级上学期数学第二次月考试卷

这是一份天津市南开大学附属中学2024--2025学年九年级上学期数学第二次月考试卷，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列事件是随机事件的是（ ）
A．画一个三角形，其内角和是；
B．在只装了红球的不透明袋子里摸出一个球，这个球是红球；
C．投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5；
D．关于x的一元二次方程（k为常数）有两个不相等的实数根．
3．如图在中，，，，则EC的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
4．若二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为的内心的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，点A、B、C在上，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，正方形中，E为的中点，于点O，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（ ）
A．B．C．D．
9．对于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向下B．y的最大值是4
C．当时，y随x的增大而增大D．当时，函数值
10．如图，是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知，，，阴影部分是的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，切于点D，连接，交于点B，过点B作弦于点E，已知的半径为5，，则的长分别为（ ）

A．4，B．8，10C．8，D．8，
12．如图，抛物线的对称轴是，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若m为任意实数，则，正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
13．一个不透明的袋中装有除颜色外无其他任何差别的12个红球和个黄球，从中随机摸出一个，摸到红球的概率是，则 ．
14．圆锥底面圆的半径4，母线长12，则这个圆锥的侧面积为 ．
15．如下图，点A在反比例函数y=的图象上，AB垂直于x轴，若S△AOB=4，那么这个反比例函数的解析式为
16．如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，则的度数为 ．
17．已知一元二次方程的两个实数根分别是a和b，则抛物线的顶点坐标为 ．
18．如图，在中，直径，延长至，使，点在上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段的最大值为 ．

三、解答题
19．一个不透明的口袋中有4个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数-1，2，-3，4．
（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率为________．
（2）摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率．
20．如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答问题：
(1)图象的另一支位于__________象限，写出k的取值范围__________．在每个象限内y随x的增大而__________．
(2)若点Mx1,y1，Nx2,y2，均在该反比例函数图象上，若，比较，，的大小关系（用“﹤”号连接）__________．
(3)若点，在这个函数的图象上，则__________，直线CD解析式为__________．面积为__________．写出时，x的取值范围__________．
21．如图，在中，，D为上的一点，于点E，，．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
22．已知四边形内接于，为的直径，连接．
(1)如图①，若点D为中点，，求和的大小；
(2)如图②，若点C为中点，过点C作的切线与弦的延长线交于点E，连接，当，半径为3时，求的长．
23．如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为，面积为．
(1)写出S与x的函数关系式为__________，x的取值范围是__________；
(2)要围成面积为的花圃，的长是多少米？
(3)当的长是多少米时，围成的花圃面积最大？
24．在平面直角坐标系中，O为原点，点，点，绕点B顺时针旋转，得，点A、O旋转后的对应点为，，记旋转角为．
(1)若，边OA上的一点M旋转后的对应点为N，
①如图1，当时，点N的坐标为______；
②如图2，分别连接，．当取得最小值时，求点N的坐标；
(2)如图3，若，求点的坐标；
(3)如图4，P为上一点，且，连接，，在绕点B顺时针旋转一周的过程中，设的面积为S，直接写出S的取值范围．
25．已知抛物线．
（1）求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）将抛物线向下平移，得抛物线，使抛物线的顶点落在直线上．
①求抛物线的解析式；
②抛物线与轴的交点为，（点在点的左侧），抛物线的对称轴于轴的交点为，点是线段上的一点，过点作直线轴，交抛物线于点，点关于抛物线对称轴的对称点为，点是线段上一点，且，连接，作交轴于点，且，求点的坐标．
参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B．不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意；
C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．
故选C．
2．C
【分析】ABC直接根据生活常识判断即可，D通过根的判别式计算即可．
【详解】A．任意三角形内角和必为，画一个三角形，其内角和是是必然事件；
B．在只装了红球的不透明袋子里摸出一个球，这个球是红球是必然事件；
C．投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5是随机事件；
D．∵，
∴关于x的一元二次方程（k为常数）有两个不相等的实数根是必然事件．
故选C．
【点睛】本题考查了随机事件的判断和根的判别式，解题的关键是熟练掌握生活常识．
3．A
【分析】根据题意知两平行线DE∥BC间的线段成比例，据此可以求得AC的长度，所以EC=AC-AE．
【详解】解：∵DE∥BC，AD=6，AB=9，AE=4，
∴，即，
∴AC=6，
∴EC=AC-AE=6-4=2；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的理解及运用．解题时，需要根据图示求得AC的长度．
4．C
【分析】根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴左同右异确定出，根据与轴的交点确定出，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下，
∴，
∵对称轴位置在y轴右侧，
∴，
∴，
∵，，
∴的图象经过第一、二、四象限，
∵抛物线与轴的正半轴相交，
∴，
∴反比例函数图象在第一三象限，
A．反比例函数，故选项A不符合题意；
B．直线中，，故选项B不合题意；
C．直线中，，，反比例函数中，故选项C符合题意；
D．直线中，，故选项D不符合题意，
只有C选项图象符合．
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线与相系数的符号问题，确定一次函数与反比例函数的图像，掌握确定抛物线系数符号的方法，利用抛物线系数符号确定一次函数与反比例函数的图像是解题关键．
5．C
【分析】根据三角形的内心定义和基本尺规作图进行判断即可.
【详解】解：由于三角形的内心是三角形角平分线的交点，由基本作图知选项C中尺规作图作的是､的平分线，所以点O为的内心，
故选：C．
【点睛】本题考查基本作图、三角形内心定义，熟练掌握基本尺规作图是解答的关键．
6．C
【分析】本题主要考查了圆周角定理、扇形的面积公式等知识点，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
先证得是等腰直角三角形，然后根据求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴．
故选C．
7．D
【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证得是解题的关键．
先证明，然后根据相似三角形的性质以及正方形的性质即可解答．
【详解】解：∵，，是公共角，
∴
∴，即，
∵正方形，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴．
故选D．
8．C
【分析】根据⊙O的周长等于4πcm，可得⊙O的半径为2，然后求出三角形AOB的面积，进而根据圆内接正六边形ABCDEF的面积等于6倍三角形AOB的面积即可解答．
【详解】解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，
∵⊙O的周长等于4πcm，
∴⊙O的半径为：＝2cm，
∵ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴OA＝OB＝AB＝2cm，
∵OG⊥AB，
∴AG＝BG＝AB＝1 cm，
∴OG＝cm，
∴S△AOB＝AB•OG＝×2×＝cm2，
∴它的内接正六边形ABCDEF的面积是6S△AOB＝cm2．
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，解决本题的关键是掌握圆内接正六边形ABCDEF的面积等于6倍三角形AOB的面积．
9．D
【分析】由抛物线解析式可直接得出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴，可判断A、B、C，令解关于的一元二次方程则可求得答案．
【详解】解：
抛物线开口向下
故A正确，不符合题意；
对称轴为，顶点坐标为
当时，有最大值，最大值为4；
故B正确，不符合题意；
时，随的增大而增大；
时，随的增大而增大；
故C正确，不符合题意；
令可得
解得
抛物线与轴的交点坐标为和
当时，函数值，当时，函数值，
故D不正确，符合题意．
【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
10．A
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形内切圆的性质、几何概率等知识点，根据三角形内切圆的性质求出圆的半径是解题关键．
先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形的面积公式、三角形内切圆的性质求出圆的半径，然后根据圆的面积公式求出阴影部分的面积，最后利用概率公式计算即可．
【详解】解：∵，，，
，
∴是直角三角形，
如图，设内切圆的半径为r，则，
∴，
∴，解得：，
∴的面积为，内切圆的面积为，
∴小鸟落在花圃上的概率为．
故选A．
11．D
【分析】本题主要考查了垂径定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
根据垂径定理可得，再根据勾股定理求出即可求得；再证，根据相似三角形的性质列比例式即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵切于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，即，解得：．
故选D．
12．C
【分析】根据函数图像的开口方向，对称轴，图像与y轴的交点，即可判断①；根据对称轴x= - 2，OA=5OB，可得OA=5，OB＝1，点A（－5，0），点B（1，0），当x＝1时，y＝0即可判断②；根据对称轴x= - 2以及a+b+c=0得a与c的关系，即可判断③；根据函数的最小值是当x＝－2时y＝4a－2b＋c即可判断④.
【详解】解：①观察图像可知a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，
故①错误
②∵对称轴为直线x= - 2 ，OA＝5OB，可得OA=5 ，OB=1
∴点A（－5，0），点B（1，0）
∴当x＝1时，y＝0即a＋b＋c= 0
∴（a＋c）2－b2＝（a＋b＋c）（a＋c－b）＝0
故②正确
③抛物线的对称轴为直线x=- 2，即 ＝－2
∴b＝4a
∵a＋b＋c＝0
∴ 5a＋c＝0
∴c＝－5a
∴9a＋4c＝－11a＜0，
故③正确
④ 当x＝－2时函数有最小值y＝4a－2b＋c，
当x=m时，am2＋bm＋c≥4a－2b＋c
整理得，若m为任意实数，则am2＋bm＋2b≥4a，
故④正确
故选C
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数图像与系数关系．
13．
【分析】本题考查了概率公式，用红球的个数除以总球的个数得出红球的概率，从而求出n的值．
【详解】解：由题意得，
解得．
经检验，是方程的解，且符合题意，
故答案为：．
14．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式求得扇形的面积即可．
【详解】解：∵圆锥的底面半径为4，
∴圆锥的底面圆的周长，
∴圆锥的侧面积．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：，（l为弧长）．
15．y=-
【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值|k|，△AOB的面积为矩形面积的一半，即|k|．
【详解】由于点A在反比例函数y=的图象上，
则S△AOB=|k|=4，k=±8；
又由于函数的图象在第二象限，k＜0，
则k=-8，所以反比例函数的解析式为y=-．
故答案为y=-．
16．/36度
【分析】连接，利用中心角的计算公式求出，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可得解．
【详解】解：连接，正五边形内接于，
则：，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边与圆．熟练掌握求中心角的度数的公式，以及在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，是解题的关键．
17．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：和求出和的值，再代入到抛物线解析式中，再求得顶点坐标即可．
【详解】解：一元二次方程的两个实数根分别是a和b
则抛物线解析式为：
抛物线顶点坐标为
故答案为：
【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
18．/
【分析】过点C作AC的垂线，在垂线上截取，连接DF，从而可证，进而得到，将求线段OE的最大值转化为求FD的最大值，然后结合点与圆的位置关系求出最大值即可．
【详解】如图，过点C作AC的垂线，在垂线上截取，连接DF，

∴，
∴，
∵绕点顺时针旋转得到，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
连接FO，并延长FO交圆于点H，FH即为FD最大值，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，点与圆的位置关系，解决本题的关键是构造全等三角形，将OE转化为其他线段进而求最大值．
19．（1）；（2）
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数，然后根据公式求解．
【详解】（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率；
故答案为；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数为8，
所以两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法，解题的关键是掌握列表法与树状图法求公式．
20．(1)四，，增大
(2)
(3)，，，或
【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性、比较反比例函数的函数值、求反比例函数解析式、求自变量的取值范围等知识点，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
（1）由反比例函数的图象的一支在第二象限，可知，另一支在第四象限，在每个象限内y随x的增大而增大；
（2）根据反比例函数图象的增减性即可解答；
（3）将代入求得k的值，进而确定反比例函数解析式，再将代入解析式即可求得n的值，然后运用待定系数法求出直线CD解析式；然后画出图象，根据图象计算的面积以及确定时x的取值范围．
【详解】（1）解：由反比例函数的图象的一支在第二象限，
∴，解得：，
由反比例函数的图象和性质可知，图象的另一支在第四象限，在每个象限内y随x的增大而增大．
故答案为：四，，增大．
（2）解：由（1）知反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，
如果，则．
故答案为：．
（3）解：将代入，得：，解得：，
∴，
∵在反比例函数的图象上，
∴，解得：，
∴，
设直线解析式为，
则有，解得：，
∴直线解析式为，
如图：设直线与x轴的交点为E，则，即，
∴面积为；
由函数图象可得：当时，或．
综上可知，，，，或．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由，而是公共角，即可得出；
（2）可设，由可得，列出关于x的方程即可求解．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴；
（2）设，则由题意知：，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：
∴．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
22．(1)，
(2)
【分析】（1）利用圆内接四边形对角互补可求，利用圆周角定理可得，再利用三角形内角和定理即可求出；根据点D为中点，可得，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出；
（2）先利用圆周角定理、切线的定义、垂径定理的推论证明，进而得出四边形是矩形，，再利用勾股定理求出，利用垂径定理可得，即可求出的长．
【详解】（1）解：如图，连接．
四边形内接于，，
，
为的直径，
，
．
点D为中点，
，
．
综上可知，．
（2）解：如图，连接交于点F．
为的直径，
，
，
为的切线，
，即，
点C为中点，为过圆心的线段，
，即，
，
四边形是矩形，
．
，半径为3，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查圆周角定理、切线的定义、垂径定理及其推论、勾股定理、矩形的判定与性质、圆内接四边形的性质等，难度一般，解题的关键是综合运用上述知识，逐步进行推导．
23．(1),
(2)长为
(3)当的长为，最大面积
【分析】本题主要考查了二次函数的应用、列代数式、一元二次方程应用等知识点，审清题意、正确列出代数式和函数解析式成为解题的关键．
（1）根据为，就为，利用长方体的面积公式即可求出关系式即可；
（2）将代入（1）中关系式，可求出即的长；
（3）将（1）中所求的解析式配方变为顶点式，再根据x的取值范围求得围成的花圃的最大面积．
【详解】（1）解：根据题意，得:，
即所求的函数解析式为：，
又∵，
∴
（2）解：根据题意，设长为x，则长为，
∴．整理，得，解得或6，
当时，不成立，
当时，成立，
∴长为.
（3）解:
∵墙的最大可用长度为，，
∴，
∵对称轴,开口向下，
∴当，有最大面积的花圃．即：，
∴当的长为，最大面积．
24．(1)①②
(2)
(3)
【分析】（1）①利用旋转变换的性质求解即可；②由题意， ，作点关于的对称点 连接 交于,连接, 的值最小，求出直线 的解析式，可得点的坐标，求出，可得答案；
（2）过分别作轴、轴的垂线交轴、轴于点、，连接，根据旋转性质得，，可得，解直角三角形得，由勾股定理得，从而可得；
（3）如图③-1中,当点 落在的延长线上时， '的面积最大，如图③-2中，当点 落在上时， 的面积最小，分别求解即可．
【详解】（1）解：①点，点，
由旋转的性质可知
故点N的坐标为：
②如图②中

作点关于的对称点 ，连接交于
连接，的值最小
直线 的解析式为



（2）解：过分别作轴、轴的垂线交轴、轴于点、，连接
绕点B顺时针旋转得
，
可得
（3）解：如图③-1中，当点 落在的延长线上时, 的面积最大
由题意



的面积的最大值
如图③-2中,当点 落在上时 的面积最小，最小值为
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，轴对称最短问题，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
25．（1）抛物线开口向上，对称轴为：直线，顶点坐标为；（2）①；②点坐标为．
【分析】（1）把二次函数的解析式配成顶点式，即可得到答案；
（2）①设抛物线的解析式为：，把抛物线的顶点坐标代入，求出m的值，即可得到答案；②连接，由AAS证明，设点坐标为，得，，结合，可得关于t的方程，求出t的值，从而求出的值，进而即可求解．
【详解】（1），
∴抛物线开口向上，对称轴为：直线，顶点坐标为；
（2）①设抛物线的解析式为：，
则抛物线的顶点坐标为，
抛物线的顶点落在直线上，
，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
②如图，连接，
由①可得抛物线的解析式为：，
令可得：，解得：或，
点在点的左侧，
，，
点关于抛物线对称轴对称点为，且轴，
，
，
，
，
，
在和中，
∵
，
，，
设点坐标为，
点在线段上，
，
，
∵，
∴，
，
，解得：或（不合题意，舍去），
，，
，，
，
，
，
点坐标为．
【点睛】本题主要考核查二次函数与平面几何的综合，涉及二次函数的图象和性质，二次函数的平移，全等三角形的判定和性质定理，掌握二次函数图象上点的坐标特征，“一线三垂直”模型，是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
A
C
C
C
D
C
D
A
题号
11
12








答案
D
C