浙江省温州市第二实验中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试卷

这是一份浙江省温州市第二实验中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试卷，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知的半径为，点在内，则的长可能是（ ）
A．B．C．D．
2．若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，若点D是线段的黄金分割点，，则AD的长是（ ）
A．3B．C．D．
4．有五张正面分别写有数字1，2，3，4，5的卡片，它们的背面完全相同，现将这五张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，抽取的牌为偶数的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．将抛物线向右平移两个单位，所得抛物线是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，于E，若的直径为，，则长为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆高，测得．则建筑物的高是（ ）

A．B．C．D．
8．如图，是半圆O的直径，，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
9．已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．如图来自清朝数学家梅文鼎的《勾股举隅》，该图由四个全等的直角三角形围成，延长分别交，于点M，N，梅文鼎就是利用这幅图证明了勾股定理．若图中记的面积为S，的面积为，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．已知线段，，则线段a，b的比例中项是 ．
12．抛物线与y轴的交点坐标是 ．
13．半径为5的圆中，的圆周角所对的弧长为 ．
14．正多边形的一个内角等于，则该正多边形的边数为 ．
15．如图，点是的重心，过点作，交于点，连接，若的面积为3，则的面积为 ．
16．如图是某路灯的示意图，立柱与水平地面垂直，两盏路灯挂在灯杆的异侧（灯臂，近似看作线段，），，．A，B，D三点共线．小丽（身高米）站在点P处时，点F，D，E在同一直线上．测得米，则 ， 米．
三、解答题
17．一个不透明的袋中装有5个黄球、15个黑球和20个红球，它们出颜色外都相同.
（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个球是黄球的概率是，问取出了多少个黑球?
18．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，
（Ⅰ）求证：△AFE∽△CFD；
（Ⅱ）若AB＝4，AD＝3，求CF的长．
19．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）

(1)如图1，以点为位似中心画，使得与位似，且相似比为，，为格点．
(2)如图2，在边上找一点，使得．
20．已知：二次函数
(1)求这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2)若，在抛物线上，且，求n的取值范围．
21． 如图，已知是的直径，点在上，且，过点作交于点，垂足为．
(1)的度数为_____；
(2)求的长；
(3)求阴影部分的面积．
22．已知：四边形内接于，对角线交于点E，且．

(1)如图1，求证：平分；
(2)如图2，若为的直径．
①求证：；
②已知，，求的长．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．解题的关键是掌握点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．
【详解】解：∵的半径为，点在内，
∴，
即的长可能是．
故选：D．
2．B
【分析】本题考查比例的性质，掌握比例的性质是解题关键．根据题意可设，则，代入中求值即可．
【详解】解：∵，
故可设，则，
∴．
故选B．
3．C
【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割比例是是解题的关键．
【详解】解：∵点D是线段的黄金分割点，，
∴，
故选：C．
4．B
【分析】本题考查简单的概率计算，掌握概率公式是解题关键．利用概率公式计算即可．
【详解】解：随机抽取一张共有5种等可能的情况，其中抽取的牌为偶数的情况有2，4两种，
∴．
故选B．
5．A
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解答即可．
本题考查了抛物线的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．
【详解】解：向右平移两个单位，得，
故选：A．
6．C
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，连接常用的辅助线是解题关键．连接，即得出，再根据垂径定理和勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵的直径为，
∴．
∵，
∴，，
∴．
故选C．
7．D
【分析】利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵高，，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型．
8．B
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质等知识，掌握这两条性质是关键．
连接，则直径所对的圆周角是直角可求得的度数，再由圆内接四边形的性质即可求得结果的度数．
【详解】解：连接，如图所示，
是直径，
，
，
；
故选：B．
9．C
【分析】把化为顶点式，再根据二次函数的图象、增减性进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为，
当，，则抛物线与y轴的交点为，
关于的对称点为，
如图所示，
∵当时，y最大值为3，最小值为2，
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，画出图像，数形结合是解题的关键．
10．A
【分析】本题考查勾股定理解直角三角形、全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质等，解题的关键是看懂图形，证明．
设，，则，根据全等三角形的性质可知，再证，进而可得，求出，，，再用勾股定理解直角，得出，最后用正方形的面积减去和的面积即为阴影部分的面积．
【详解】解：设，，则，
该图由四个全等的直角三角形围成，
，
，
，，
，
，
，
，，，
的面积为，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
阴影部分的面积
．
故选：A．
11．6
【分析】本题考查线段的比例中项定义，根据比例中项的定义，列出方程是解题的关键．根据比例中项的定义可得出，求解即可．
【详解】解：设线段a，b的比例中项是cc>0，
∴，
解得：（舍去负值）．
故答案为：6．
12．
【分析】把代入抛物线，即得抛物线与轴的交点坐标．
【详解】解：由题意得，当时，抛物线与轴相交，
把代入，得，
∴抛物线与轴的交点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数，求抛物线与轴的交点坐标，令代入抛物线是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，根据圆周角定理得出弧所对的圆心角是，再根据弧长公式即可解答．
【详解】解：根据圆周角定理可得，弧所对的圆心角是，
根据弧长的公式．
故答案为：．
14．10/十
【分析】本题考查多边形的外角和定理，正多边形的性质，掌握多边形的外角和是是解题的关键．
根据正多边形的性质，结合邻补角的性质，求出正多边形的一个外角的度数，再根据多边形的外角和定理求解即可．
【详解】∵正多边形的一个内角等于，
∴正多边形的一个外角等于，
∵多边形的外角和是，
∴该正多边形的边数为：，
故答案为：10．
15．
【分析】本题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线即可解题． 连接并延长交于点E，根据三角形重心可得，，从而可得，再利用平行线分线断成比例可得，进而可得可得，然后证明可得，从而可得，最后可求出的面积．
【详解】解：连接并延长交于点E，如下图：
∵点P是的重心，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16． 60°/60度
【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，过点作，过点作，则，结合题意可知，即可证明，，即，设，根据等边三角形的性质及含的直角三角形的性质，求得，，即可求得，进而可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
过点作，过点作，则，
∴，
设，则，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，米，
∵，
∴，即，
∴，解得：米，
∴米，
故答案为：，．
17．（1）从袋中摸出一个球是黄球的概率是；（2）取出了5个黑球．
【分析】(1)根据概率公式用黄球的个数除以总球数即可；
(2)设取出了x个黑球， 利用概率公式得到即可．
【详解】解：(1)从袋中摸出一个球是黄球的概率=，
(2)设取出了x个黑球．
根据题意得，解得x=5，
答:取出了5个黑球．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n, 再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.解决本题的关键是接着概率公式．
18．（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）根据矩形对边平行，有AE∥DC，可知△AFE∽△CFD；
（Ⅱ）根据相似三角形的性质可得，再利用已知线段的长代入即可求出CF的长．
【详解】（Ⅰ）∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥DC，
∴∠FAE＝∠FCD，∠FEA＝∠FDC，
∴△AFE∽△CFD，
（Ⅱ）由（1）知△AFE∽△CFD，
∴，
而E是边AB的中点，且AB＝4，AD＝3，
∴AE＝2，AC＝5，
∴，
而AC＝5，
∴AF＝，CF＝，
故CF的长为：．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据对应边成比例即可利用已知线段求出未知线段的长度．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）在延长线上取格点D，在延长线上取格点E，使，，连接，，，根据位似图形的判定和性质可知即为所求作；
（2）在点A的下方取格点G，使，，连接交于点F，根据相似三角形的判定和性质可知F即为所求．
本题主要考查了网格作图——位似变换，相似变换，熟练掌握位似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，是解题的关键．
【详解】（1）如图所示，在延长线上取格点D，在延长线上取格点E，使，，连接，，，
则，
∵，
∴，
故即为所求；

（2）如图所示，在点A的下方取格点G，使，，连接交于点F，
则，
∵，
∴，
故点F即为所求作．

20．(1)对称轴为直线，顶点坐标为
(2)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
（1）将二次函数一般式改为顶点式即可解答；
（2）根据二次函数的性质，分点A和点B在对称轴同侧和点A和点B在对称轴异侧两种情况求解即可．
【详解】（1）解：∵
，
∴这个二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：∵，
∴抛物线开口向上．
由（1）知这个二次函数图象的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．
分类讨论：①当点A和B在对称轴同侧时，
∵，且，
∴y随x的增大而减小，
∴点A和B在对称轴左侧，
∴，
解得：；
②当点A和B在对称轴异侧时，即，
∴．
∵，且，
∴点B到对称轴的距离比点A到对称轴的距离大．
∵，
∴，
解得：，
∴．
综上可知当．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由圆周角定理得到，，由直角三角形的性质得到；
（2）由，得到，由直角三角形的性质得到；
（3）由，得到阴影的面积扇形的面积，求出扇形的面积即可．
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（3）解：如图，连接，
已知，由（2）知，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在和中，，
∴，
∴，
∴ 阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查圆周角定理，扇形面积的计算，全等三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，解题的关键是证明阴影的面积＝扇形 的面积．
22．(1)详见解析
(2)①详见解析；②
【分析】（1）根据垂径定理得到，由同弧或等弧所对的圆周角相等即可得到，即可得到结论；
（2）①由为的直径得到，由（1）可知，则是等腰直角三角形，则，，证明，则，即，则，即可得到结论；
②解：由①知，求出，则，，证明，则，由，解得或（不合题意，舍去），由得到，即可求得答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
即平分；
（2）①证明：∵为的直径，
∴，
由（1）可知，
∴是等腰直角三角形，
则，，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
则；
②解：由①知，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
又∵，
即，
解得．
【点睛】此题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、垂径定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、圆周角定理是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
B
A
C
D
B
C
A