高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式巩固练习

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1.已知sin θ＝eq \f(1,5)，则cs(450°＋θ)的值是( )
A.eq \f(1,5) B.－eq \f(1,5) C.－eq \f(2\r(6),5) D.eq \f(2\r(6),5)
答案 B
解析 cs(450°＋θ)＝cs(90°＋θ)＝－sin θ＝－eq \f(1,5).
2.若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(3π,2)))>0，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))>0，则角θ的终边位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案 B
解析 ∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(3,2)π))＝－cs θ>0，∴cs θ0，θ为第二象限角.
3.已知tan θ＝2，则eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－csπ－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))－sinπ－θ)等于( )
A．2 B．－2 C．0 D.eq \f(2,3)
答案 B
解析 原式＝eq \f(cs θ＋cs θ,cs θ－sin θ)＝eq \f(2cs θ,cs θ－sin θ)＝eq \f(2,1－tan θ)＝eq \f(2,1－2)＝－2.
4.已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,4)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))的值等于( )
A.eq \f(2\r(2),3) B．－eq \f(2\r(2),3) C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
答案 D
解析 ∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,4)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－α))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(π,4)－α))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(1,3)，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝－eq \f(1,3).
5.α为锐角，2tan(π－α)－3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α＝( )
A.eq \f(3\r(5),5) B.eq \f(3\r(7),7) C.eq \f(3\r(10),10) D.eq \f(1,3)
答案 C
解析 由条件可知－2tan α＋3sin β＝－5①，
tan α－6sin β＝1②，
①式×2＋②式可得tan α＝3，即sin α＝3cs α，又sin2α＋cs2α＝1，α为锐角，故可解得sin α＝eq \f(3\r(10),10).
二.多选题
6.下列与cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))的值相等的是( )
A．sin(π－θ) B．sin(π＋θ)C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ)) D．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))
答案 BD
解析 因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝－sin θ，sin(π－θ)＝sin θ，sin(π＋θ)＝－sin θ，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝sin θ，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))＝－sin θ，所以B，D项与cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))的值相等．
7.已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＝－eq \f(3,5)，则cs(－3π＋α)＝( )
A.－eq \f(4,5) B．－eq \f(2\r(2),3) C.eq \f(4,5) D．－eq \f(1,3)
答案 AC
解析 因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＝sin α，所以sin α＝－eq \f(3,5).所以α为第三或第四象限角，所以cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(4,5)，所以cs(－3π＋α)＝cs(π＋α)＝－cs α＝eq \f(4,5).
三.填空题
8.如果cs α＝eq \f(1,5)，且α是第四象限角，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝________.
答案 eq \f(2\r(6),5)
解析 cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－sin α.∵α是第四象限角，且cs α＝eq \f(1,5)，∴sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－\f(1,25))＝－eq \f(2\r(6),5)，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－sin α＝eq \f(2\r(6),5).
9.sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋x))＝________.
答案 1
解析 sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋x))＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＋sin2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))))＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＋cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))＝1.
10.已知tan(3π＋α)＝2，则
eq \f(sin（α－3π）＋cs（π－α）＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))－2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),－sin（－α）＋cs（π＋α）)＝________.
答案 2
解析 ∵tan(3π＋α)＝2，∴tan α＝2，∴原式＝eq \f(sin α,sin α－cs α)＝eq \f(tan α,tan α－1)＝eq \f(2,2－1)＝2.
四.解答题
11.求证：eq \f(tan（2π－α）sin（－2π－α）cs（6π－α）,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2))))＝－tan α.
证明 左边＝eq \f(tan（－α）·sin（－α）·cs（－α）,sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))·cs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))))
＝eq \f(（－tan α）·（－sin α）·cs α,sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))cs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))))＝eq \f(sin2α,－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))＝eq \f(sin2α,－cs α·sin α)＝－eq \f(sin α,cs α)＝－tan α＝右边.
∴原等式成立.
12.已知角α的终边经过点P(m,2eq \r(2))，sin α＝eq \f(2\r(2),3)且α为第二象限角．
(1)求m的值；
(2)若tan β＝eq \r(2)，求eq \f(sin αcs β＋3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin β,csπ＋αcs－β－3sin αsin β)的值．
解析 (1)由三角函数定义可知sin α＝eq \f(2\r(2),3)＝eq \f(2\r(2),\r(m2＋8))，解得m＝±1.
∵α为第二象限角，∴m＝－1.
(2)由(1)知tan α＝－2eq \r(2)，又tan β＝eq \r(2)，
∴eq \f(sin αcs β＋3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin β,csπ＋αcs－β－3sin αsin β)＝－eq \f(sin αcs β＋3cs αsin β,cs αcs β＋3sin αsin β)
＝－eq \f(tan α＋3tan β,1＋3tan αtan β)＝－eq \f(－2\r(2)＋3\r(2),1＋3×－2\r(2)×\r(2))＝eq \f(\r(2),11).