辽宁省大连市2023-2024学年高二上学期期末数学试题

这是一份辽宁省大连市2023-2024学年高二上学期期末数学试题，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知直线l的倾斜角为，且过点，则它在y轴上的截距为（ ）
A．2B．C．4D．
2．的展开式中，二项式系数最大的是（ ）
A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项
3．从抛物线上一点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，若是正三角形，则（ ）
A．B．1C．D．2
4．在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系式）为：”．用此方法求得平面和平面的方程，化简后的结果为和，则这两平面所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．用1，2，3，4，5，6写出没有重复数字的六位数中，满足相邻的数字奇偶性不同的数有（ ）个
A．18B．36C．72D．86
6．三棱柱中，所有棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线的左焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，并与双曲线C交于点B，且有，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
8．若椭圆和的方程分别为和（且）则称和为相似椭圆．已知椭圆，过上任意一点P作直线交于M，N两点，且，则的面积最大时，的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为6
B．双曲线C的渐近线方程为
C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为4
D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为8
10．已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点F的坐标为
B．若，则以为直径的圆与直线是相切
C．若直线过定点，则以为直径的圆过坐标原点O
D．若，则线段的中点到x轴的距离的最小值为
11．已知正方体棱长为1，以A为坐标原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，下列结论正确的是（ ）

A．点B到平面的距离为
B．在上的投影向量是
C．点B关于平面的对称点坐标为
D．点P在内部，，则点P的轨迹长为
12．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．是整数
C．，（是不大于x的最大整数）
D．，则
三、填空题
13．已知圆与圆外切，则实数 ．
14．如图所示，用一束与平面成角的平行光线照射球O，在平面上形成的投影为椭圆C及其内部，则椭圆C的离心率为 ．
15．将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C三项不同的公益活动中，每人只参加一项活动，每项活动都需要有人参加，其中甲必须参加A活动，则不同的分配方法有 种．（用数字作答）
16．已知三棱锥顶点均在一个半径为5的球面上，，P到底面ABC的距离为5，则的最小值为 ．
四、解答题
17．已知圆C的圆心坐标为，与直线交于A，B两点，且．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求过点的圆C的切线方程．
18．在平面直角坐标系中，动点M到点的距离比点M到直线的距离大．
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)直线l与轨迹C交于A，B两点，若线段AB的中垂线为，求线段AB的长．
19．三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D．

(1)证明：平面；
(2)求异面直线与DE的距离．
20．在平面直角坐标系中,已知椭圆的焦距为4,且过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点,若存在过点的直线l与椭圆交于A,B两点,且以AB为直径的圆过点．
（i）证明：直线l过定点；
（ii）求直线l的斜率的取值范围．
21．在平面四边形ABCD中，，平面ABCD外动点P满足：，点P在平面ABCD内的射影在直线AB上，平面ADP．
(1)证明：平面ABP；
(2)求AP与平面PCD所成角的正弦值的最大值．
22．已知双曲线，点，经过点M的直线交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线在曲线上某点处的切线方程为）
(1)求证：点E恒在一条定直线L上；
(2)若两直线与L交于点N，，求的值；
(3)若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别作直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记，，的面积分别为，问：是否存在常数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．