初中数学人教版（2024）七年级上册2.1 整式第2课时达标测试

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分层作业
考查图形一 单项式的判断
1．（2023春·河北秦皇岛·七年级统考开学考试）在中，单项式的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】单项式的定义：数字与字母的积，特别的单个的数与单个的字母也是单项式，根据定义逐一判断即可．
【详解】解：中，单项式有：；共3个，
故选C．
【点睛】本题考查的是单项式的含义，熟记单项式的含义是解本题的关键．
2．（2023秋·七年级课时练习）下列代数式：，，，，，中，单项式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据单项式的定义进行判断即可．
【详解】解：单项式有：，，共三个，
故选：．
【点睛】本题考查单项式的定义．单项式是指数字与字母的乘积组成的式子，单独一个数或者一个字母也是单项式．熟练掌握单项式的定义是解题的关键．
3．（2023春·江苏苏州·九年级苏州高新区实验初级中学校考开学考试）下列代数式，，，，0，中，单项式的个数有 个．
【答案】4/四
【分析】单项式是数与字母的乘积，单独一个数或一个字母也是单项式．据此判断即可．
【详解】解：在代数式，，，，0，中，，，，0是单项式，共有4个，
故答案为：4
【点睛】此题考查了单项式，熟练掌握单项式的定义是解题的关键．
4．（2023秋·全国·七年级专题练习）在，，，2022，四个代数式中，单项式有 个．
【答案】3
【分析】根据由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，进行判断即可．
【详解】解：由题意知，，为单项式
故答案为：3．
【点睛】本题考查了单项式．解题的关键在于熟练掌握单项式的定义．
5．（2021秋·全国·七年级专题练习）下列表述中，字母各表示什么？
（1）有一条边长为4的三角形的面积为2b；
（2）高为40的圆柱的体积是20S；
（3）买3块橡皮、2本练习本共花去(3a＋2b)元．
【答案】（1）b表示边长为4的边上的高；（2）S表示底面积的2倍；（3）a表示橡皮的单价，b表示练习本的单价
【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求解；
（2）根据圆柱的体积公式即可求解；
（3）根据题意的代数式的即可求解．
【详解】（1）有一条边长为4的三角形的面积为2b，b表示边长为4的边上的高；
（2）高为40的圆柱的体积是20S，S表示底面积的2倍；
（3）买3块橡皮、2本练习本共花去(3a＋2b)元，a表示橡皮的单价，b表示练习本的单价．
【点睛】此题主要考查代数式中字母的含义，解题的关键是熟知常见的几何公式．
6．（2021秋·江苏·七年级专题练习）要对一组对象进行分类，关键是要选定一个分类标准，不同的分类标准有不同的结果．如对下面给出的七个单项式：，，，，，，进行分类，若按单项式的次数分类：二次单项式有；三次单项式有，，；四次单项式有，，．请你用两种不同的分类方法对上面的七个单项式进行分类．
【答案】只含一个字母的单项式：，含两个及以上字母的单项式：；系数为正数的单项式；，系数为负数的单项式：
【分析】根据所含的字母，可分为两类；根据根据单项式的次数字母指数和，可分为两类．
【详解】解：只含一个字母的单项式：，
含两个及以上字母的单项式：；
系数为正数的单项式；，
系数为负数的单项式：．（答案不唯一）
【点睛】本题考查了单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．
考查题型二 单项式的系数、次数
1．（2023秋·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．单项式既没有系数，也没有次数
B．单项式的系数是
C．式子是单项式
D．有理数是单项式
【答案】D
【分析】根据单项式及其系数、次数的定义：只含有数与字母的积的整式叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．判断选择即可．
【详解】A、单项式系数是，次数是，故原说法错误；
B、单项式的系数是，故原说法错误；
C、式子是分式，不是单项式，故原说法错误；
D、有理数是单独的一个数，也是单项式，故原说法正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了单项式及其系数、次数的定义，熟练掌握单项式及其系数、次数的定义是解题的关键．
2．（2023春·黑龙江绥化·七年级统考期末）单项式的系数和次数分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【分析】直接利用单项式的次数与系数定义分析得出答案．
【详解】单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
故单项式的系数和次数分别为，，
故选：D．
【点睛】本题考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数的定义是解题的关键．
3．（2023秋·七年级课时练习）单项式的系数是 ，次数是 ．
【答案】 4
【分析】根据单项式的系数和次数的定义解答即可．
【详解】解：因为是数字不是字母，
所以单项式的系数是，
因为的次数是2，的次数是2，
则，
所以单项式的次数是4，
故答案为：；4
【点睛】本题主要考查的是单项式的系数和次数的定义，掌握单项式的系数和次数的定义是解题的关键．
4．（2023秋·七年级课时练习）下列式子：中，单项式共有 个；系数为1的单项式是 ；系数为的单项式是 ；单项式的次数是 ．
【答案】 6 3
【分析】直接利用单项式的次数与系数确定方法得出答案．
【详解】解：单项式有：共6个，
系数为1的单项式是：，
系数为的单项式是：，
单项式的次数是：3．
故答案为：6；；；3．
【点睛】此题主要考查了单项式的次数与系数，正确把握定义是解题关键．
5．（2023秋·七年级课时练习）根据题意列出单项式，并指出它们的系数和次数．
(1)长方形的长为，宽为，则长方形的面积为多少？
(2)某班总人数为人，女生人数是男生人数的，那么该班男生人数为多少？
(3)邮购一种图书，每册定价为元，另加价作为邮费，那么购书册需要费用多少元？
【答案】(1)长方形的面积为，的系数是，次数是
(2)该班男生人数为人，的系数是，次数是
(3)购书册需要费用（元），的系数是，次数是
【分析】（1）根据长方形的面积等于长乘宽，写出表示长方形的面积的单项式；根据“单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数”，指出这个单项式的系数和次数即可；
（2）根据“女生人数是男生人数的”，分析出“男生为5份，则女生为3份，故男生占总人数的”，再写出表示男生人数的单项式；根据“单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数”，指出这个单项式的系数和次数即可；
（3）根据“每册定价为元，另加价作为邮费”，得出“每册费用为”，用每册费用乘以册数即可写出表示册需要费用的单项式；根据“单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数”，指出这个单项式的系数和次数即可．
【详解】（1）∵长方形的长为，宽为，
∴长方形的面积为，的系数是，次数是；
（2）∵女生人数是男生人数的，
∴男生人数占全班总人数的，
又∵总人数为人，
∴该班男生人数为人，的系数是，次数是；
（3）∵每册定价为元，另加价作为邮费，
∴每册费用为，
∴购书册需要费用为，的系数是，次数是．
【点睛】本题考查了列代数式、单项式的系数和次数，理解题意列出代数式是解题的关键．
6．（2023秋·全国·七年级专题练习）【观察与发现】
，，，，，，…，
(1)直接写出：第7个单项式是______；第8个单项式是______；
(2)第2n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数．
【答案】(1)；
(2)；系数为：，次数为：
【分析】（1）观察单项式的系数、字母指数，即可求解；
（2）根据题意可得出通用规律，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知：
单项式的系数依次为：
的指数依次为：
故第7个单项式是：
第8个单项式是：
（2）解：由（1）可得出第个单项式为：
故第个单项式是：，它的系数为：，次数为：
【点睛】本题是以单项式为背景的规律题目．确定单项式的系数规律、字母指数规律是解题关键．
考查题型三 写出满足某些特征的单项式
1．（2023秋·七年级课时练习）已知一个单项式的系数为-3，次数为4，这个单项式可以是 ( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据单项式的系数和次数的意义即可解答．
【详解】解：A．3xy的系数是3，次数是2，故此选项不符合题意；
B.3x2y2的系数是3，次数是4，故此选项不符合题意；
C．-3x2y2的系数是-3，次数是4，故此选项符合题意；
D．4x3的系数是4，次数是3，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的系数和次数的意义是解题的关键．
2．（2023秋·全国·七年级专题练习）系数为－且只含有 x、y 的三次单项式（不需要包含每个字母），可以写出( ) ．
A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个
【答案】C
【分析】根据单项式的概念求解．
【详解】这样的单项式为：xy2，x2y，，，共4个．
故选C．
【点睛】本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
3．（2023秋·全国·七年级专题练习）写出一个系数为，且含字母和的3次单项式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据单项式的系数与次数的含义即可求解．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
【详解】解：依题意，一个系数为，且只含有字母，的3次单项式为：，
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查了单项式的系数与次数，熟记概念是解题的关键．
4．（2023秋·全国·七年级专题练习）写出一个同时满足以下两个条件的单项式：①系数是负数；②次数是5．这个单项式可以是： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题目要求写出这个单项式即可，答案不唯一．
【详解】根据题意可得：
．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了单项式的概念，解题的关键是熟悉单项式的概念．
5．（2023·全国·七年级假期作业）写出系数是12，均含有字母x，y而不含其他字母的所有四次单项式．
【答案】．
【分析】根据单项式的概念进行解答，系数是12，字母指数和是4的单项式.
【详解】解：符合题意的单项式由：共三个.
故答案是：
【点睛】本题考查了单项式的知识点，熟练掌握单项式次数的定义是解决此题的关键，属于基础题.
6．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知，，，．
(1)观察上述式子，请写出这四个式子都具有的两个特征；
(2)请写出一个新的式子，使该式同时具有你在（1）中所写出的两个共同特征．
【答案】(1)①都是单项式；②次数都是；
(2)（本题答案不唯一）
【分析】（1）根据式子的类型以及式子的次数即可写出，答案不唯一；
（2）根据（1）写出的式子的特点，即可写出．
【详解】（1）解：，，，都是数字与字母的积，
∴①都是单项式；②次数都是；
（2）解：数字与字母的乘积，次数都是的单项式，
∴（本题答案不唯一）．
【点睛】本题考查了单项式的定义，以及单项式的次数的定义，理解定义是关键．
考查题型四 单项式规律题
1．（2023·四川成都·校考一模）探索规律：观察下面的一列单项式：、、、、、…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知的式子可以得到系数是以为底的幂，指数是式子的序号减1，x的指数是式子的序号．
【详解】解：第9个单项式是．
故选：B．
【点睛】本题考查了单项式规律题，正确理解式子的符号、次数与式子的序号之间的关系是关键．
2．（2023秋·全国·七年级专题练习）观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，…按照上述规律，第2021个单项式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题目中的单项式，可以发现单项式的系数是从1开始的一些连续的奇数，字母的指数幂是从1开始的一些连续的整数，从而可以写出第n个单项式，然后即可得到第2021个单项式．
【详解】解：∵x，…，
∴第n个单项式为，
∴当时，这个单项式是，
故选：C．
【点睛】本题考查数字的变化类、单项式，解答本题的关键是发现单项式系数与数字的变化特点，写出相应的单项式．
3．（2023秋·七年级课时练习）观察下列关于x的单项式，探究其规律：，…，按照上述规律，第2023个单项式是 ．
【答案】
【分析】根据题意可总结规律为：奇数个单项式的系数为正，偶数个单项式的系数为负，第n个单项式系数的绝对值是，指数是n，从而利用规律即可解答．
【详解】解：第1个单项式为：，
第2个单项式为：，
第3个单项式为：，
第4个单项式为：，
第5个单项式为：，
第6个单项式为：，
…，
∴第2023个单项式为：．
故答案为：．
【点睛】本题为单项式规律题．理解题意，总结出规律，并利用规律解题是关键．
4．（2023秋·全国·七年级专题练习）观察下列单项式：，，，，，…根据你发现的规律写出第n个单项式为 ．
【答案】
【分析】分别从单项式的系数，，的指数上归纳其规律，从而可得答案．
【详解】解：∵单项式：，，，，，…
∴n为奇数时，单项式为正数，2的指数为，x的指数为n时，y的指数为；
n为偶数时，单项式为负数，2的指数为，x的指数为n时，y的指数为；
∴第n个单项式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是单项式的规律探究，掌握探究的方法是解本题的规律．
5．（2023秋·广东广州·七年级校考期末）观察下列单项式：2x，﹣4x2，6x3，﹣8x4 ，…，38x19 ，﹣40x20 ，…，回答下列问题：
（1）请写出第五项；第六项；
（2）根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么？
（3）请你根据猜想，写出第2019，2020个单项式．
【答案】（1）第5个单项式是10x5，第6个单项式是﹣12x6；（2）（﹣1）n+1•2nxn；（3）第2019个单项式4038x2019，第2020个单项式﹣4040x2020．
【分析】（1）根据题意，得到单项式中系数的规律解题：系数是偶数，奇数项为正，偶数项为负，字母的指数为正整数；
（2）根据（1）中规律解题；
（3）将n=2019，n=2020分别代入（2）中解题即可．
【详解】解：(1)由题意可知：
系数为：2＝（﹣1）2×2×1，﹣4＝（﹣1）3×2×2，6＝（﹣1）4×2×3…
∴指数分别是：1，2，3，4，5，6…
故第5个单项式是：10x5，第6个单项式是：﹣12x6
（2）第n个单项式为：（﹣1）n+1•2nxn
（3）第2019个单项式4038x2019，第2020个单项式﹣4040x2020．
【点睛】本题考查单项式规律，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
6．（2023秋·七年级课时练习）观察下列单项式：，，，，，，，，写出第个单项式，为了解决这个问题，特提供下面的解题思路．
(1)这组单项式的系数依次为多少，系数的绝对值的规律是什么？
(2)这组单项式的次数的规律是什么？
(3)请你根据上面的归纳猜想出第个单项式．
(4)请你根据猜想，写出第2023个，第2024个单项式．
【答案】(1)这组单项式的系数依次为，3，，7，，，，；系数的绝对值的规律是从1开始的连续奇数，第个单项式的系数的绝对值可表示为
(2)次数的规律是从1开始的连续自然数，第个单项式的次数表示为
(3)第个单项式是
(4)第2023个单项式是，第2024个单项式是
【分析】（1）观察题目中的单项式，写出几个单项式的系数，发现系数的绝对值的规律是从1开始的连续奇数，用含的代数式表示第个单项式的系数的绝对值即可；
（2）观察题目中的单项式，发现次数的规律是从1开始的连续自然数，用表示第个单项式的次数即可；
（3）根据（1）、（2）发现的规律，用含的代数式表示第个单项式即可；
（4）根据（3）中的表示第个单项式的代数式，写出第2023个，第2024个单项式即可．
【详解】（1）这组单项式的系数依次为，3，，7，，，，；系数为奇数且奇次单项式的系数为负数，故单项式的系数的符号是，系数的绝对值的规律是；
（2）这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数，第个单项式的次数表示为；
（3）根据（1）、（2）发现的规律，第个单项式是；
（4）根据（3）中的第个单项式是，
当时，代入写出第2023个单项式是，
当时，代入写出第2024个单项式是．
【点睛】本题考查了单项式的书写、单项式的系数和次数，观察题目中的单项式发现规律是解题的关键．
考查题型五 多项式的判断
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级校考期中）下列各式中是多项式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式分析即可．
【详解】A、是单项式，故该选项不正确，不符合题意；
B、是多项式，故该选项正确，符合题意；
C、是单项式，故该选项不正确，不符合题意；
D、是单项式，故该选项不正确，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．而单项式是数字与字母的乘积．
2．（2023秋·全国·七年级专题练习）在式子，，，中，多项式的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】直接利用多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式，进而得出答案．
【详解】解：在式子，，，中，
多项式有，，共有2个．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了多项式的定义，正确把握多项式的定义是解题的关键．
3．（2023秋·七年级课时练习）下列各式①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧中，是整式的有 ，是单项式的有 ，是多项式的有 ．（填序号）
【答案】 ①②③④⑥⑦； ①②⑥； ③④⑦；．
【分析】单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式；多项式：若干个单项式的代数和组成的式子。 多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。 不含字母的项叫做常数；整式；单项式和多项式统称为整式．
【详解】解：整式有：，，，，，
单项式有：，，
多项式有：，，
是不等式，是分式，故不属于整式；
故答案为：①②③④⑥⑦；①②⑥；③④⑦．
【点睛】本题考查整式、单项式、多项式的概念，解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念紧扣概念作出判断．
4．（2023秋·七年级课时练习）下列式子：，其中单项式有 ；多项式有 ；整式有 ．
【答案】
【分析】根据整式、单项式、多项式的概念，紧扣概念作出判断．
【详解】解：单项式有：，
多项式有：，
整式有：．
故答案为：；；．
【点睛】本题主要考查整式、单项式、多项式的概念．单项式和多项式统称为整式．数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
5．（2023秋·七年级课时练习）把下列式子按要求分类：，，，，，，5，，．
写出其中的单项式、多项式和整式．
【答案】见解析
【分析】根据单项式，整式和多项式的定义求解即可．
【详解】解：单项式有，，，5，；
多项式有，，；
整式有，，，，，，5，．
【点睛】本题考查了单项式，整式和多项式的定义，能熟记单项式和多项式的定义是解此题的关键，注意：表示数与数或数与字母的积，叫单项式，单独一个数或字母也是单项式，两个或两个以上单项式的和，叫多项式，单项式和多项式统称整式．
6．（2023秋·七年级课时练习）已知下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
(1)其中哪些是单项式？分别指出它们的系数和次数；
(2)其中哪些是多项式？分别指出它们的项和次数．
【答案】(1)①②⑦是单项式，①的系数为，次数是3；②的系数为，次数是4；⑦的系数是，次数是1；
(2)④⑥是多项式，④的项分别是，次数为2；⑥的项分别是，次数为3．
【分析】（1）根据单项式是由数字与字母的积组成的整式即可解答；
（2）根据多项式是由若干个单项式相加组成的整式即可解答．
【详解】（1）解：∵单项式是由数字与字母的积组成的整式，
∴，，是单项式，
即①②⑦是单项式，
∴的系数为，次数是3；
的系数为，次数是4；
的系数是，次数是1；
（2）解：∵多项式是由若干个单项式相加组成的整式，
∴，，
即④⑥，
∴的项分别为，，，次数为；
的项分别为，次数为．
【点睛】本题考查了多项式是由若干个单项式相加组成的整式，单项式是由数字与字母的积组成的整式，多项式的次数，单项式的系数，掌握单项式的定义及多项式的定义是解题的关键．
考查题型六 多项式的项、项数或次数
1．（2023秋·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．是二次单项式B．是五次二项式
C．的常数项是1D．的系数是
【答案】D
【分析】根据单项式和多项式的相关概念判断各个选项即可，单项式中的数字因数叫做单项式的系数, 一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，几个单项式的和叫做多项式, 每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数, 由此即可判断．
【详解】解：A、是三次单项式，故该选项错误，不符合题意；
B、是三次二项式，故该选项错误，不符合题意；
C、的常数项是，故该选项错误，不符合题意；
D、的系数是，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了单项式、 多项式，解本题的关键在熟练掌握单项式与多项式的相关概念．
2．（2023秋·七年级课时练习）多项式是关于，的四次二项式，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】根据多项式的次数及项数得出，，求解即可．
【详解】解：∵多项式是关于，的四次二项式，
∴，，
∴
故选：A．
【点睛】题目主要考查多项式的次数及项数，准确掌握这两个基础知识点是解题关键．
3．（2023秋·七年级课时练习）多项式是关于x的四次三项式，则m的值是 ．
【答案】4
【分析】利用多项式次数和项数的确定方法可得，且，再求解即可．
【详解】解：∵多项式是关于x的四次三项式，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查多项式的概念，熟练掌握单项式的个数就是多项式的项数，这些单项式中最高次项的次数就是这个多项式的次数是解题的关键．
4．（2023秋·全国·七年级专题练习）观察下列式子：
，，，，…
请你找出其中规律，并将第个式子写出来： ．
【答案】
【分析】分别找到各项的规律，继而得出第n个式子．
【详解】解：，，，，…，
可发现含x的项次数为从1开始的自然数，
常数项为从1开始的自然数的平方，奇数项系数为负，偶数项系数为正，
∴第个式子为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式的规律，解题的关键是从式子的各个部分出发寻找规律．
5．（2023秋·七年级课时练习）已知是关于，的四次三项式，写出该多项式，并指出该多项式的项．
【答案】该多项式为，该多项式的项为，，1
【分析】根据多项式的定义，若干个单项式的和组成的式子叫做多项式．多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，据此求解即可．
【详解】解：由题意，得，且，
解得.
所以该多项式为．
该多项式的项为，，1．
【点睛】本题考查了多项式的次数和项的定义．解此类题目的关键是弄清多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，项数是单项式的个数．
6．（2023秋·七年级课时练习）已知是关于的六次多项式，求的值，并写出该多项式．
下面是一位同学给出的解法：
解：由原多项式可知最高次项为，（1）
所以，（2）
解得．（3）
所以原多项式为．
阅读以上过程并讨论：该同学的解法对吗？
如果不对，错在哪一步？应怎样解？
【答案】该同学的解法不对，第（1）步错误．解题过程见解析
【分析】根据常数的次数不是单项式的次数进而得出m的值．
【详解】解：该同学的解法不对，第（1）步错误．
∵该多项式的最高次项为，
∴，解得．
所以原多项式为．
【点睛】本题考查了多项式的次数，正确把握多项式的次数的定义是解题关键．注意常数的次数不是单项式的次数．
考查题型七 多项式系数、指数中字母求值
1．（2023秋·全国·七年级专题练习）如果多项式是关于的三次多项式，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，进而求解即可．
【详解】解：依题意可得，，
解得，．
故选：D．
【点睛】本题考查了多项式的相关概念，掌握多项式次数的确定方法是解题关键．
2．（2023秋·七年级课时练习）多项式是关于的二次三项式，则取值为（ ）
A．3B．C．3或D．或1
【答案】B
【分析】根据题意可得：且，即可求解．
【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式，
∴且且，
解得：．
故选：B
【点睛】本题主要考查了多项式，熟练掌握多项式的次数：多项式中最高次项的次数，叫做多项式的次数；一个多项式有几项就叫几项式是解题的关键．
3．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知多项式是五次多项式，则 ．
【答案】3
【分析】根据最高次项的次数是5列式求解即可．
【详解】解：∵多项式是五次多项式，
∴，
解得：．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
4．（2023秋·甘肃天水·七年级校考期末）若是关于的三次三项式，则 ．
【答案】1
【分析】根据多项式次数和项的定义进行求解即可．
【详解】解：∵多项式是关于的三次三项式，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了多项式的项定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数．
5．（2023秋·七年级课时练习）已知多项式是五次四项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同，求，的值．
【答案】，
【分析】根据多项式的次数得出，确定，再由单项式次数的定义列出式子求解即可．
【详解】解：因为多项式是五次四项式，
所以，
所以．
因为单项式的次数与该多项式的次数相同，
所以，
所以．
【点睛】题目主要考查多项式及单项式的次数的定义，深刻理解这两个基础的知识点是解题关键．
6．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知a，b是有理数，关于x、y的多项式的次数为5，且这个多项式中不含项，请你写出这个多项式．
【答案】
【分析】根据多项式的定义解答即可．
【详解】解：∵关于x、y的多项式的次数为5，且这个多项式中不含项，
∴，
解得，
∴这个多项式为：．
【点睛】本题考查了多项式以及合并同类项，解题的关键是掌握与整式相关的概念．
考查题型八 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列
1．（2023秋·七年级课时练习）多项式是按字母降幂排列的，则代表的项不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据多项式的降幂排列，可知多项式是按字母降幂排列的，得出第三个单项式为的次方，推得代表的项的幂必须大于或等于，据此分析即可求解．
【详解】解：∵多项式是按字母降幂排列的，第三个单项式为的次方，
∴第二个单项式的幂必须大于或等于，且小于或等于；
A、的的幂为的，该选项是正确的，故不符合题意；
B、的的幂为的，该选项是错误的，故符合题意；
C、的的幂为的，该选项是正确的，故不符合题意；
D、的的幂为的，该选项是正确的，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了多项式的降幂排列，熟练掌握多项式的降幂排列是解题的关键．
2．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知多项式（m，n为正整数）是按a的降幂排列的四次三项式，则的值为（ ）
A．B．3或C．或4D．或4
【答案】C
【分析】根据多项式及降幂排列的定义可得，，即可求解m，n的值，再分别代入计算可求解．
【详解】解：由题意得：，，
∴，或，，
当，时，；
当，时，．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
3．（2023秋·七年级课时练习）（1）将多项式按的升幂排列为 ．
（2）把多项式按的降幂排列为 ．
【答案】
【分析】（1）由题意先分清多项式的各项，然后依据多项式升幂排列进行排列即可；
（2）由题意先分清多项式的各项，然后依据多项式降幂排列进行排列即可．
【详解】解：（1）将看作数，把看作未知数，
按照的次数从低到高排列为，
故答案为：；
（2）多项式按的降幂排列为，
故答案为：．
【点睛】本题考查多项式的降幂排列，注意掌握把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．
4．（2023秋·全国·七年级专题练习）下列说法正确的是 （填写序号）
①0是单项式； ②若的次数是5，则；
③是单项式，它的系数是2，次数是7；
④单项式的系数是； ⑤单项式的次数是2；
⑥多项式的一次项是x；
⑦多项式按y升幂排列是．
【答案】①②⑦
【分析】根据单项式的定义，单项式的系数，次数概念可判断①②③④⑤是否正确，根据多项式的定义，多项式的项，次数，系数的概念可以判断⑥⑦是否正确，最后写出正确的答案．
【详解】解：一个数也是单项式，所以①正确；
单项式的次数是未知数的次数和，所以，，②正确；
是单项式，它的系数是，次数是4，所以③错误；
单项式的系数是，所以④错误；
单项式的次数是3，所以⑤错误；
多项式的一次项是，所以⑥错误；
多项式按y升幂排列是，所以⑦正确．
故答案为：①②⑦
【点睛】本题考查了单项式和多项式的概念，熟练掌握单项式和多项式的定义是解题的关键．
5．（2023秋·七年级课时练习）多项式是关于，的四次三项式．
(1)求和的值；
(2)将这个多项式按字母降幂顺序排列．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据多项式为四次多项式，求出与的值即可；
（2）把多项式按字母降幂顺序排列即可．
【详解】（1）解：多项式的第一项，是常数项；第二项的次数为；第三项的次数为；第四项的次数为；
∵多项式是关于，的四次三项式，
∴，，
∴，．
（2）解：根据（1），得原式．
【点睛】此题考查了多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数．
6．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知多项式，解答下列问题：
（1）把它按的升幂重新排列；
（2）把它按的降幂重新排列；
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【分析】（1）按字母x的升幂排列是指按字母x的指数从小到大依次排列；
（2）按字母y的升幂排列指按字母y的指数从小到大依次排列．
【详解】解：（1）按x的升幂排列为-7y5+xy3+3x2y2+5x4y+y4x6；
（2）按y的降幂排列为5x4y+3x2y2+xy3+y4x6-7y5．
【点睛】本题考查了多项式的有关定义，按某一个字母的升幂排列是指按此字母的指数从小到大依次排列，降幂正好相反，多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”．
考查题型九 整式的判断
1．（2023秋·全国·七年级专题练习）在式子，，，，中，整式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】根据单项式与多项式统称整式，可得答案．
【详解】解：整式有，，，，
故选：C．
【点睛】本题考查了整式，熟练掌握单项式与多项式统称整式是解题的关键．
2．（2023秋·七年级课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．单项式是整式，整式也是单项式B．不是单项式
C．单项式的系数是，次数是4D．是一次二项式
【答案】C
【分析】根据整式、单项式和多项式的概念逐一作出判断即可．
【详解】解；A、整式包括单项式和多项式，所以单项式是整式，但整式不一定是单项式，故本选项错误，不符合题意；
B、是单项式，故本选项错误，不符合题意；
C、单项式的系数是，次数是4，故本选项正确，符合题意；
D、不是整式，故本选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了单项式的定义，单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，整式是单项式和多项式的统称．
3．（2023秋·全国·七年级课堂例题）在代数式①0；②；③；④；⑤；⑥中，单项式有 ，多项式有 ，整式有 （填序号）．
【答案】 ①③⑤ ②④ ①②③④⑤
【分析】根据单项式、多项式、整式的定义，逐个进行判断，即可解答．
【详解】解：根据题意得：
单项式有：①③⑤；
多项式有：②④；
整式有：①②③④⑤；
故答案为：①③⑤；②④；①②③④⑤．
【点睛】本题主要考查了单项式、多项式、整式的定义，解题的关键是掌握：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称为整式．
4．（2023秋·全国·七年级专题练习）在式子，，，﹣，﹣x﹣5xy2，x，6xy+1，a2﹣b2 中，其中整式有 个．
【答案】6
【分析】根据整式的定义进行分析判断即可.
【详解】根据整式的定义可知，上述各式中属于多项式的有：，﹣，﹣x﹣5xy2，x，6xy+1，a2﹣b2，共计6个
故答案为：6
【点睛】本题考查了整式的判断，熟知“整式的定义：多项式和单项式统称为整式”是解答本题的关键.
5．（2023秋·全国·七年级专题练习）在代数式，0，中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
【答案】单项式：，，0；多项式：，；整式：，，，0，
【分析】整式是代数式的一部分，在代数式中可以包含加，减，乘，除，乘方五种运算，但在整式中除数（分母）不能含有字母，整式分为单项式和多项式．
【详解】解：分母中含有字母，不属于整式，
单项式：，，0；
多项式：，；
整式：，，，0，．
【点睛】本题主要考查单项式、多项式和整式的概念．掌握整式是分母中不能含字母的代数式是解决此题的关键．
6．（2023秋·全国·七年级专题练习）观察下列各式：，，，，．回答下列问题：
(1)单项式分别为：______________________________；
(2)多项式分别为：_________________________________；
(3)整式有___________个；
(4)的系数为__________；
(5)次数最高的多项式为__________________．
【答案】(1)，
(2)，
(3)4
(4)
(5)
【分析】根据单项式的定义即可得出（1），根据多项式的定义即可得出（2），根据整式的定义即可得出（3），根据间项式的系数的定义即可得出（4），根据多项式的次数的定义即可得出（5）．
【详解】（1）解：单项式有，；
故答案为：，；
（2）多项式有，；
故答案为：，；
（3）整式有，，，共4个；
故答案为：4；
（4）的系数为；
故答案为：；
（5）次数最高的多项式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式，整式和多项式的定义，多项式的项和次数等知识点，能熟记单项式和多项式的定义是解此题的关键，注意：表示数与数或数与字母的积，叫单项式，单独一个数或字母也是单项式，两个或两个以上单项式的和，叫多项式，单项式和多项式统称整式，多项式中次数最高的项的次数，叫这个多项式的次数．
考查题型十 数字类规律
1．（2023秋·七年级课时练习）一列有规律的数，，7，10，，，19，22，…，则这列数的第54个数为（ ）
A．160B．C．D．163
【答案】B
【分析】根据规律：每个数的绝对值比前一个数的绝对值大3，符号4个一循环，前2个是负的，后两个是正的，据此即可求解．
【详解】解：∵，，，，，，，，…，
第个数的绝对值为，
∴第54个数的绝对值为，
∵，
∴第54个数的符号为负，
∴这列数的第个数为，
故选：B．
【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．
2．（2023春·福建宁德·七年级校联考期中）我国宋代数学文杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的一角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，
计算的展开式中，含项的系数是（ ）
…………1
…………1 1
…………1 2 1
…………1 3 3 1
…………1 4 6 4 1
A．B．15C．D．20
【答案】C
【分析】根据图中规律，可得的展开式中含项的系数，再根据的展开式中，系数的绝对值与的展开式中的系数相同，符号从左往后为奇数项为正，偶数项为负．
【详解】解：由题意可知，下排每个数等于上方两个数字的绝对值之和，
的展开式系数从左往右分别是，
的展开式系数从左往右分别是，
根据图中，可知含有项的项为从左往右第四项，且符号为负，
故的展开式中，含项的系数是，
故选：C．
【点睛】本题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中规律，并应用发现的规律是解题的关键．
3．（2023秋·七年级课时练习）观察下列等式：
第一个：；第二个：；第三个：；第四个：．按上述规律，第五个等式为 ．
【答案】
【分析】根据前四个式子的规律写出答案即可．
【详解】解：第一个：；
第二个：；
第三个：；
第四个：．
按上述规律，第五个等式为，
故答案为：
【点睛】此题考查了计算类规律题，读懂题意是解题的关键．
4．（2023秋·七年级课时练习）有依次排列的3个数：3，9，8．对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，，，9，8，继续依次操作下去．问：从数串3，9，8开始操作第2022次以后所产生的那个新数串的所有数之和是 ．
【答案】10130
【分析】计算几次操作所得的结果，根据呈现的规律得出答案．
【详解】解：操作第1次，所得到的一个新数串的所有数之和为；
操作第2次，所得到的一个新数串的所有数之和为；
操作第3次，所得到的一个新数串的所有数之和为；
操作第4次，所得到的一个新数串的所有数之和为；
操作第2022次，所得到的一个新数串的所有数之和为，
故答案为：10130．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的计算方法是正确计算的前提，得出每次操作所得结果的规律性是解决问题的关键．
5．（2023秋·七年级课时练习）观察下列三行数：
①2，，8，，32，，…；
②3，，9，，33，，…；
③，2，，8，，32，…；
取每一行的第个数，依次记为，，，当时，，，．
当时，请直接写出，，的值，并求这三个数中最大数与最小数的差．
【答案】，，，193
【分析】根据已知发现：第①行的数，从第二个数开始，后面一个数是前面一个数乘得到的，第②行的数第①行对应的数加1；第③行的数为第①行对应的数的一半的相反数，依此分别求出的值，进而求解即可．
【详解】通过观察发现：
①2，，8，，32，，，规律为，
②3，，9，，33，，，规律为，
③，2，，8，，32，，规律为，
当时，，
，
，
这三个数中最大的数与最小的数的差为．
【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，观察数列，发现第②行、第③行的数与第①行数的关系以及第①行数的排列规律是解题的关键．
6．（2023春·安徽六安·七年级校考期中）观察下列式子中的运算规律：
；
；
；
(1)观察规律，写出第个等式：______ ；
(2)设表示自然数，请根据这个规律把第个等式表示出来，并利用所学知识来证明这个等式成立．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】（1）根据已知条件得出用含的式子表示运算规律，再求第个等式即可；
（2）把式子左右两边进行运算对比即可．
【详解】（1）解：；
；
；

第个式子为：，
第个等式为：，
即；
故答案为：；
（2）由得第个等式为：，


，

，
左边右边，
故原等式成立．
【点睛】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是根据所给的等式得出规律．
考查题型十一 图形类规律
1．（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2023个图案中的“”的个数是（ ）
A．6074B．6072C．6070D．6068
【答案】C
【分析】根据题意可得第n个图案中的“”的个数为个，即可求解．
【详解】解：∵第1个图案中的“”的个数（个），
第2个图案中的“”的个数（个），
第3个图案中的“”的个数（个），
…，
第2023个图案中的“”的个数（个），
故选：C．
【点睛】本题考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律．
2．（2023·重庆·九年级统考学业考试）用点按如图所示的规律拼漏斗形图案，其中第①个图案中有3个点，第②个图案中有7个点，第③个图案中有12个点，第④个图案中有18个点，按此规律排列下去，则第⑦个图案中点的个数为（ ）．

A．33B．42C．52D．63
【答案】B
【分析】仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解即可．
【详解】解：第①个图案中有个点，
第②个图案中有个点，
第③个图案中有个点，
第④个图案中有个点，

∴第n个图案中有个点，
当时，个点，
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是找到图形的变化规律．
3．（2023春·湖北孝感·七年级统考期中）如图所示的正方形中，第个图形的四条边所围成的区域（包括边）内横坐标、纵坐标都为整数的点的个数有个，第个图形有个，第个图形有个，……，依此到第图形，则当时整数点的个数为 ．

【答案】
【分析】根据上述图形，得到规律：第图形时，，即可．
【详解】第个图：，
第个图：，
第个图：，
第个图：，
∴当时整数点的个数为：，
故答案为：．
【点睛】本题考试整式的知识，解题的关键是从图形中得到整点的规律．
4．（2023秋·七年级课时练习）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条.设每捏合一次，拉面的根数就扩大一倍.如图所示，第四次捏合成拉面的根数是 ，第 次后，就可以拉出根细面条.
【答案】 8
【分析】根据每次折叠都是以前的两倍列式求解即可得到答案；
【详解】解：由图像可得，每次折叠都是以前的两倍，
∴，，
解得：，
故答案为：，8；
【点睛】本题主要考查图形规律，解题的关键是根据图形得到规律．
5．（2023春·安徽阜阳·七年级校考阶段练习）观察下列图形，完成下列问题．

(1)数一数，完成下列表格．
(2)若有条直线相交，则最多有交点__________个．（用含的代数式表示）
【答案】(1)，，，
(2)
【分析】（1）根据图形信息即可求解；
（2）根据（1）中直线条数与交点的数量的关系即可求解．
【详解】（1）解：根据图示，
故答案为：，，，．
（2）解：根据题意设有条直线，则交点的数量为，
当时，则；
当时，则；
当时，则；
当时，则，符合题意；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查图形规律与整式的混合运算，理解图示含义，掌握整式的混合运算是解题的关键．
6．（2023秋·浙江·七年级专题练习）找规律，完成下列各题：

(1)如图①，把正方形看作， ．
(2)如图②，把正方形看作， ．
(3)如图③，把正方形看作， ．
(4)计算： ．
(5)计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)，
(4)
(5)
【分析】（1）根据图示规律，有理数的加减混合运算法则即可求解；
（2）根据图示规律，有理数的加减混合运算法则即可求解；
（3）根据图示规律，有理数的加减混合运算法则即可求解；
（4）根据（1），（2），（3）的运算规律，有理数的加减混合运算法则即可求解；
（5）根据（1），（2），（3）的运算规律，有理数的加减混合运算法则即可求解；
【详解】（1）解：如图①，把正方形看作把正方形看作，，
故答案为：．
（2）解：如图②，把正方形看作把正方形看作，，
故答案为：．
（3）解：如图③，把正方形看把正方形看作，，
故答案为：，．
（4）解：，
故答案为：．
（5）解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查图形规律，有理数的混合运算的综合，理解图示规律，掌握有理数的混合方法是解题的关键．
1．（2023春·云南曲靖·九年级校考阶段练习）以下是按一定规律排列的单项式：则n个单项式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，得出单项式的变化规律，即可进行解答．
【详解】解：根据题意可得：
第一个单项式：，
第二个单项式：，
第三个单项式：，
第四个单项式：，
……
第n个单项式：，
故选：D．
【点睛】本题主要啊考查了单项式的变化规律，解题的关键是根据题意，分析各单项式中系数和次数的变化规律，即可进行解答．
2．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市萧红中学校考期中）在式子，，，，，中，单项式的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】根据单项式的定义判断即可，只含有数与字母的积的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．
【详解】解：根据单项式的定义，，，，是单项式，
有减法运算，分母中含有字母，则这两个式子不是单项式，
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
3．（2023秋·全国·七年级专题练习）按一定规律排列的单项式：，，，，…，第n个单项式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据所给的式子，分别找出分式的分母和分子的规律，从而求出第n个单项式.
【详解】解：，，，，
第n个单项式是.
故选：C.
【点睛】本题考查的是探索数字规律，解题的关键要利用已知式子找出所存在的规律.
4．（2023秋·全国·七年级专题练习）在代数式，，，，，，中，整式有( )
A．3个B．1个C．5个D．6个
【答案】C
【分析】根据整式包括单项式和多项式进行解答即可．单项式就是数与字母的乘积，以及单独的数与单独的字母都是单项式，几个单项式的和叫做多项式．
【详解】解：代数式，，，，，，中，
整式有：，，，，，共5个，
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的定义，熟记定义是解本题的关键．
5．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．多项式的常数项是5B．单项式的系数是1
C．m是单项式D．单项式的次数是8
【答案】C
【分析】根据单项式、单项式的系数、单项式的次数及多项式的定义进行判断即可．
【详解】解：∵多项式的常数项是，故A错误；
∵单项式的系数是π，故B错误；
∵m是单项式，故C正确；
∵单项式的次数是3，故D错误，
故选；C．
【点睛】本题考查单项式、单项式的系数、单项式的次数及多项式的相关概念，熟练掌握相关概念是解题的关键．
6．（2023秋·七年级课时练习）已知多项式是五次多项式，单项式与该多项式的次数相同，则 ．
【答案】
【分析】根据多项式的次数和单项式的次数的定义即可得出答案，单项式的次数是所有变量次数的和，多项式次数是其所有单项式次数最高的次数．
【详解】解：∵多项式是五次多项式，
，解得：，
∵单项式与该多项式的次数相同，
，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式的次数和单项式的次数的定义，掌握多项式中次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键．
7．（2023秋·七年级课时练习）已知，那么的末位数字是 ．
【答案】1
【分析】从运算结果可得尾数以3、9、7、1四个数字为一循环，再根据，可得的末位数字与的末位数字相同，即可求解．
【详解】解：∵，末位数字是3，
，末位数字是9，
，末位数字是7，
，末位数字是1，
，末位数字是3，
⋯，
由此可得，末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，
∵，
∴的末位数字与的末位数字相同，
∴的末位数字是1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查数字变化类及规律型，通过观察得出末位数以3、9、7、1四个数字为一循环是解题的关键．
8．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）关于x的二次三项式的一次项的系数为5，二次项的系数是－3，常数项是－4.按照x的次数逐渐减小排列，这个二次三项式为 ．
【答案】－3x2＋5x－4
【分析】由于多项式是由单项式组成的，而多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，而关于x的二次三项式的二次项系数是-3，一次项系数是5，常数项是-4，根据前面的定义即可确定这个二次三项式．
【详解】∵关于x的二次三项式，二次项系数是-3，
∴二次项是-3x2，
∵一次项系数是，
∴一次项是5x，
∵常数项是-4，
∴这个二次三项式为：-3x2+5x-4．
故答案为：-3x2+5x-4
【点睛】本题考查了多项式的知识，多项式是由单项式组成的，本题首先要确定是由几个单项式组成，要记住常数项也是一项，单项式前面的符号也应带着．
9．（2023秋·河北保定·七年级校联考期末）已知关于的多项式是二次三项式，则 ，当时，该多项式的值为 ．
【答案】
【分析】先根据二次三项式的定义确定m的值，再把代入整式求出代数式的值．
【详解】解：∵关于x的多项式是二次三项式，
∴，且．
∴．
∴关于x的多项式为．
当时，
原式
．
故答案为：①，②．
【点睛】本题主要考查了代数式的求值，掌握二次三项式的定义是解决本题的关键．
10．（2023·广东梅州·统考一模）南宋数学家杨辉在其著作详解九章算法中揭示了为非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将表格称为“杨辉三角”．






…
则展开式中所有项的系数和是 ．
【答案】
【分析】由“杨辉三角”得到：应该是为非负整数展开式的项系数和为．
【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，

当时，展开式的项系数和为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，掌握展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解是关键．
11．（2023秋·七年级课时练习）已知多项式是五次四项式，最高次项的系数为，且单项式与该多项式的次数相同，求三次项系数．
【答案】1和
【分析】根据多项式是五次四项式，最高次项的系数为，且单项式与该多项式的次数相同，求出的值，从而即可得到答案．
【详解】解：多项式是五次四项式，最高次项的系数为，
或，
解得：或，
单项式与该多项式的次数相同，
，
把代入得：，
解得：，
，
多项式为，
三次项系数为1和．
【点睛】本题主要考查了单项式与多项式的相关概念，根据题意正确求出的值，熟练掌握单项式与多项式的相关概念是解题的关键．
12．（2023秋·全国·七年级专题练习）有一个关于、的多项式，每项的次数都是．
(1)分别写出项数最多的一个多项式：______；项数最少的一个多项式：______；
(2)写出同时满足下列要求的一个多项式：
①项数为；②各项系数之和为；③按字母降幂排列．
【答案】(1)；（答案不唯一）
(2)（答案不唯一）
【分析】（1）根据多项式的定义进行解答即可；
（2）根据多项式的系数和次数的定义进行求解即可．
【详解】（1）解：多项式含有，，每项的次数都是，且，
各项的字母组成只能是： ，，，，
项数最多的一个多项式有四项，
项数最少的一个多项式有两项：（答案不唯一），
故答案为：，（答案不唯一）；
（2）需要同时满足：①项数为；②各项系数之和为；③按字母降幂排列，的关于、的多项式，每项的次数都是，
满足要求的多项式为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了多项式及其次数，系数，熟练掌握多项式及其次数，系数的定义是解答本题的关键．
13．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知关于的多项式，．
(1)若整式不含项和不含项，求、的值；
(2)若整式是一个五次四项式，求出、满足的条件．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据多相似不含项、项，令五次项系数、三次项的系数为0，进而求出、的值．
（2）根据是一个五次四项式（该多项式中，的最高次幂是五次，即，一共有四项），分类讨论得出结论．
【详解】（1）因为，
当不含项和不含项时有和，
因为，，
所以．
因为，，
所以或（不符合题意）．
所以．
（2）①∵|a|+4≥4，
∴a=0，b+3=0时，
即a=0，b=-3，
②当|a|+4=5（a-1）x5+（b+3）x3是一项，
∴a-1≠0，b+3=0，
∴a=-1，b=3，
∴
【点睛】本题考查多项式的理解和运用能力．几个单项式的和叫做多项式，其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式中，如果不含某一项就是这一项的系数为0．明确多项式的定义，恰当使用分类思想进行分析是解本题的关键．
14．（2023秋·七年级课时练习）已知关于的整式．
（1）若此整式是单项式，求的值；
（2）若此整式是二次多项式，求的值；
（3）若此整式是二项式，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）或-3.
【分析】（1）利用单项式的定义，得到且求k；（2）利用多项式次数的定义，得到且k-3≠0时，是二次多项式，求k；（3）利用多项式的定义，讨论：当且k-3≠0时，整式为二项式，所以k=-3；当k=0时，整式为二项式.
【详解】解：由题意可知：
（1）且时，原式为单项式，解得k=3；
（2）且k-3≠0时，原式是二次多项式，解得k=-3；
（3）当且k-3≠0时，原式为二项式，解得k=-3；
当k=0时，原式为二项式；
∴或-3.
【点睛】本题考查了多项式：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
15．（2023·山西太原·校联考三模）请阅读下列材料，并完成相应的任务．有趣的“形数”，形数，亦称拟形数、垛积数，是一种与图形有关的数．可能有同学感到奇怪，数怎么会有形状呢？这要从其发明者——古希腊著名数学家毕达哥拉斯说起．毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，小石子能够摆成不同的几何图形，于是产生了一系列的形数．比如，当小石子的数目是1，3，6，10等数时，小石子都能（摆成正三角形，这些数叫做三角形数，如图1．当小石子的数目是1，4，9，16等数时，小石子都能摆成正方形，这些数叫做正方形数，如图2，除此之外，毕达哥拉斯还摆出了其他多边形数：五边形数、六边形数，如图3，并进一步发现了各种“形数”之间的内在联系．“形数”充分反映出数学内在的奥秘和魅力．值得说明的是在公元前6世纪纸张还没有出现，所以这种用小石子来研究数的性质的方法，不仅是认识数的一种简洁直观方法，更是古希腊人的一种伟大创造！
任务：
(1)根据材料图1、图2中的图形及规律填写表格：
(2)如图4，毕达哥拉斯发现：两个三角形数刚好可以组成一个长方形数，由此易得，即．推而广之，如果三角形数有n层，长方形数就有n层，每层有个点，于是归纳得到，即第n个三角形数是．
①类比归纳：第n个正方形数是 ___________（用含n的式子表示）；
②下列自然数中，既是三角形数又是正方形数的是 ___________（填选项）．
A．36 B．49 C．100 D．1225
(3)毕达哥拉斯进一步发现了三角形数和正方形数之间的内在联系：，请证明：任意两个相邻三角形数之和是正方形数．
【答案】(1)15，16
(2)①；②
(3)见解析
【分析】（1）根据图形计算求解；
（2）①根据图形计算求解；②根据三角形数和正方形数判断；
（3）根据三角形数和正方形数进行列式并证明．
【详解】（1）解：第5个三角形数为：15，第6个正方形数为36，
故答案为：15，16；
（2）解：①第n个正方形数是，
故答案为：；
②∵；
∴36，1225既是三角形数又是正方形数，
故答案为：；
（3）证明：，
即：任意两个相邻三角形数之和是正方形数．
【点睛】本题考查了图形的变化类，找到图形的变化规律是解题的关键．
直线的条数
交点的个数
直线的条数
交点的个数
序号
①
②
③
④
⑤
⑥
三角形数
1
3
6
10
___________
21
正方形数
1
4
9
16
25
___________