人教版数学八年级上册期中复习 专题06 全等模型-角平分线模型（2份，原卷版+解析版）

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模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）
【模型解读与图示】
条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作.
结论：、≌.

图1 图2
常见模型1（直角三角形型）
条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作.
结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.）
图3
常见模型2（邻等对补型）
条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。
结论：①；②；③.
例1．（2023秋·山东菏泽·八年级统考期末）如图，在中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D、E．
②分别以点D、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F．
③作射线交于点G．如果，，的面积为18，则的面积为（ ）

A．20B．36C．27D．
【答案】C
【分析】如图，过点作于点，于点．利用角平分线的性质定理证明，利用三角形面积公式求出，可得结论．
【详解】解：如图，过点作于点，于点．

由作图可知平分，，，，
，，，，
，故选：C．
【点睛】本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，学会添加常用辅助线解决问题，属于中考常考题型．
例2．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，的外角的平分线与内角的平分线交与点P，若，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据外角与内角性质得出的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定证明，得出，即可得出答案．
【详解】解：延长，作，，，设，
平分，，，
平分，，，，
，，
，，
在和中，，，．故选：C．

【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出是解决问题的关键．
例3．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，四边形中，，点O为的中点，且平分．(1)求证：平分；(2)求证：；(3)求证：．

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【分析】（1）过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，从而求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可；
（2）利用，证明，根据全等三角形对应角相等，可得，同理可得，然后求出，再根据垂直的定义即可证明；（3）根据全等三角形对应边相等，可得，，然后根据线段之间的数量关系，即可得出结论．
【详解】（1）证明：过点作于，

∵，平分，∴，
∵点为的中点，∴，∴，
又∵，∴平分；
（2）证明：在和中，
，∴，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，∴；
（3）证明：∵，∴，
∵，∴，∵，∴．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线的定义，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
例4．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．
【答案】（1）见解析；（2）AD﹣AB＝2BE，理由见解析；（3）3．
【分析】（1）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，证明△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质证明结论；（2）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，AE＝AF，证明△BCE≌△DCF，得到DF＝BE，结合图形解答即可；（3）在BD上截取BH＝BG，连接OH，证明△OBH≌△OBG，根据全等三角形的性质得到∠OHB＝∠OGB，根据角平分线的判定定理得到∠ODH＝∠ODF，证明△ODH≌△ODF，得到DH＝DF，计算即可．
【详解】（1）证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F，

∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，
∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，∴∠CBE＝∠CDF，
在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS）∴BC＝DC；
（2）解：AD﹣AB＝2BE， 理由如下：如图2，过点C作CF⊥AD，垂足为F，
∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，AE＝AF，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠CDF＝∠CBE，
在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS），∴DF＝BE，
∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE，∴AD﹣AB＝2BE；
（3）解：如图3，在BD上截取BH＝BG，连接OH，
∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB
在△OBH和△OBG中，，
∴△OBH≌△OBG（SAS）∴∠OHB＝∠OGB，
∵AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线，
∴点O到AD，AB，BD的距离相等，∴∠ODH＝∠ODF，
∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB，
∴∠DOH＝∠DAB＝60°，∴∠GOH＝120°，
∴∠BOG＝∠BOH＝60°，∴∠DOF＝∠BOG＝60°，∴∠DOH＝∠DOF，
在△ODH和△ODF中，，∴△ODH≌△ODF（ASA），
∴DH＝DF，∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+1＝3．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线．
模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）
【模型解读与图示】
条件：如图1，为的角平分线，，
结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三线合一等。

图1 图2 图3
条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F.
结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。
例1．（2023·浙江宁波·八年级校考期中）如图，△ABC的面积为16，∠PBC与∠PAB互余，AP⊥BP，则△PBC的面积 ．
【答案】8
【分析】延长AP交BC于D，根据等腰三角形三线合一的性质可得AP=PD，再根据等底等高的三角形的面积相等可得=，=，然后求出ΔPBC的面积的面积等于，再进行计算即可得解．
【详解】解：如图，延长AP交BC于D，
∵AP⊥BP，∴∠ABP+∠PAB=90°，
又∵∠PBC与∠PAB互余，∴∠ABP=∠PBC，即BP为∠ABC的角平分线，
又∵AP⊥BP，∴AP=DP，∴=，=，
∴故答案为：8
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．
例2．（2022·绵阳市·九年级期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E．若AB=BF，求证：BD垂直平分AF．
（2）如图2，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点F为BC上一点，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点M．直接写出线段CE与线段FM的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）BD=2CE，理由见解析；（3）FM=2CE．
【分析】(1) 由BD平分∠ABC，可得∠ABE=∠FBE，可证△ABE≌△FBE（SAS），可得AE=FE，∠AEB=∠FEB=×180°=90°即可；（2）延长CE，交BA的延长线于G，由CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，可得GE=2CE=2GE，可证△BAD≌△CAG（ASA），可得BD=CG=2CE；（3）作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H，由FN=MN，MH=FH=FM，可得∠NMH=∠NBH，由∠EFC=∠ABC=22.5°，可求∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，可得NM=CM=FN，由外角∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，可求∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，可证△FNH≌△CME（AAS），可得FH=CE即可．
【详解】证明(1) ∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE，
∵BA=BF，BE=BE，∴△ABE≌△FBE（SAS），
∴AE=FE，∠AEB=∠FEB=× 180°=90°，∴BD垂直平分AF．
（2）BD=2CE，理由如下：延长CE，交BA的延长线于G，
∵CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，∴GE=2CE=2GE，
∵∠CED=90°=∠BAD，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD=∠GCA，
又AB=AC，∠BAD=∠CAG，，∴△BAD≌△CAG（ASA），∴BD=CG=2CE，

（3）FM=2 CE，理由如下：作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H，
∴FN=MN，MH=FH=FM，∴∠NMH=∠NBH，
∵∠EFC=∠ABC=22.5°，∴∠MNC=2∠NFH=2×∠ABC=∠ABC，
∵AB=AC，∠BAC=90，∴∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，∴NM=CM=FN，
∵∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，∴∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，∴∠NFH=∠MCE，
又∵∠FHN=∠E=90°，∴△FNH≌△CME（AAS），∴FH=CE，∴FM=2FH=2CE．
【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线，三角形外角性质，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线是解题关键．
例3．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）情景观察：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F．
①写出图1中所有的全等三角形 ；②线段AF与线段CE的数量关系是 ，并写出证明过程．
问题探究：如图2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E．
求证：AE=2CD．
【答案】①△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②AF=2CE，详见解析.
【分析】情景观察：①由AB＝AC，AE⊥BC，AE是公共边，根据“HL”即可判断△ABE≌△ACE；根据等腰三角形“三线合一”和∠A＝45°，可求得∠DAF＝22.5°，利用等边对等角和三角形内角和定理求得∠B＝67.5°，在Rt△BDC中即可求得∠DCB＝22.5°，在Rt△ADC中由∠DAC＝45°可得AD＝CD，由“ASA”即可得出△ADF≌△CDB；②由①中△ADF≌△CDB得出AF＝BC，再由“三线合一”得出BC＝2CE，等量代换即可得出结论；问题探究：延长AB、CD交于点G，由ASA证明△ADC≌△ADG，得出对应边相等CD＝GD，即CG＝2CD，证出∠BAE＝∠BCG，由ASA证明△ABE≌△CBG，得出AE＝CG＝2CD即可．
【详解】解：①图1中所有的全等三角形为△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；
故答案为△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；
②线段AF与线段CE的数量关系是：AF＝2CE；故答案为AF＝2CE．
证明：∵△BCD≌△FAD，∴AF＝BC，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴BC＝2CE，∴AF＝2CE；
问题探究：证明：延长AB、CD交于点G，如图2所示：
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠GAD，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ADG＝90°，
在△ADC和△ADG中，，
∴△ADC≌△ADG（ASA），∴CD＝GD，即CG＝2CD，
∵∠BAC＝45°，AB＝BC，∴∠ABC＝90°，∴∠CBG＝90°，∴∠G＋∠BCG＝90°，
∵∠G＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠BCG，
在△ABE和△CBG中，，∴△ABE≌△CBG（ASA），∴AE＝CG＝2CD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）
【模型解读与图示】
条件：如图，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结.
结论：≌，CB=CA。

条件：如图，分别为和的角平分线，，在上截取，连结.
结论：≌，≌，AB+CD=BC。
例1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．
（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 ．
（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．
（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．
【答案】（1）；（2），见解析；（3）44°或104°；详见解析．
【分析】（1）根据等边对等角，可得，，再根据三角形外角的性质求出，由此即可解题；
（2）在AC边上取一点M使AM=AB，构造，根据即可得出答案；
（3）画出图形，根据点E的位置分四种情况，当点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB，可得，可得，设，则；根据∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，可得，可证（SAS），得出，利用还有 ，列方程；当点E在BD上时，∠EAD＜90°，不成立；当点E在CD上时，∠EAD＜90°，不成立；当点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB， 可得，得出，设，则；∠BAC＝24°，根据AD为△ABC的角平分线，得出，证明（SAS），得出，利用三角形内角和列方程，解方程即可．
【详解】解：（1）∵AE＝AD＝DC，∴，，
∵，，∴，
∵AD为△ABC的角平分线，即，
∴；∴
（2）如图2，在AC边上取一点M使AM=AB，连接MP，
在和中， ，∴（SAS），∴，
∵，，∴，∴；
（3）如图，点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB，
∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，
设，则；
又∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，∴，
又∵，∴，，∴，
在和中， ，∴（SAS），∴，
又∵，∴，解得：，∴；
当点E在BD上时，∠EAD＜90°，不成立；
当点E在CD上时，∠EAD＜90°，不成立；
如图，点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB，
∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，设，则；
又∵∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，∴，
又∵，
∴，，∴，
在和中， ，∴（SAS），
∴，∴，解得：，∴．∴∠ACB的度数为44°或104°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质、全等三角形判定和性质，角平分线，三角形外角性质，三角形内角和，解一元一次方程，根据角平分线模型构造全等三角形转换线段和角的关系是解题关键．
例2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，，是的平分线，延长至点，，试求的度数．
【答案】40°
【分析】在上截取，连接，通过证明，可得，再通过证明，即可求得
【详解】解：如图，在上截取，连接，
是的平分线，，
在和中，
，，，
∴DE=DF，，又，，
，，
在和中，，故．
【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
例3．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．
【答案】见解析
【分析】在AB上找到F使得AF＝AD，易证△AEF≌△AED，可得AF＝AD，∠AFE＝∠D，根据平行线性质可证∠C＝∠BFE，即可证明△BEC≌△BEF，可得BF＝BC，即可解题．
【详解】证明：在AB上找到F使得AF＝AD，
∵AE平分∠BAD，∴∠EAD＝∠EAF，
∵在△AEF和△AED中，，
∴△AEF≌△AED，（SAS）∴AF＝AD，∠AFE＝∠D，∵AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°，
∵∠AFE＋∠BFE＝180°∴∠C＝∠BFE，∵BE平分∠BAD，∴∠FBE＝∠C，
∵在△BEC和△BEF中，，∴△BEC≌△BEF，（AAS）∴BF＝BC，
∵AB＝AF＋BF，∴AB＝AD＋BC，即AD＝AB﹣BC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AEF≌△AED和△BEC≌△BEF是解题的关键．
例4．（2022·山东烟台·九年级期末）已知在中，满足，
(1)【问题解决】如图1，当，为的角平分线时，在上取一点使得，连接，求证：．(2)【问题拓展】如图2，当，为的角平分线时，在上取一点使得，连接，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由．
(3)【猜想证明】如图3，当为的外角平分线时，在的延长线上取一点使得，连接，线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
【答案】(1)证明见解析(2)成立，证明见解析(3)猜想，证明见解析
【分析】（1）先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后根据线段和差、等量代换即可得证；
（2）先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后根据线段和差、等量代换即可得证；
（3）先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后根据线段和差、等量代换即可得证．
（1）证明：∵为的角平分线，∴，
在与中，，∴，∴，，
又∵，，∴，，
∴，∴，∴，
∴，∴．
（2）解：（1）中的结论还成立，证明如下：
∵为的角平分线时，∴，
在与中，，∴，
∴，，∵，∴，
又∵，∴，∴，
∴，∴．
（3）解：猜想，证明如下：∵平分，∴，
在与中,，∴，∴，，
如图，∴，即，∵，∴，
又∵，∴，∴，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
课后专项训练
1．（2022春·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）如图，中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④四边形，其中正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可．
【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°
∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD=，∠ABE=
∴∠BAD+∠ABE=
∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE）=135°，故①正确；∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°∴∠APB=∠FPB
又∵∠ABP=∠FBP BP=BP ∴△ABP≌△FBP（ASA）
∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故②正确；
在△APH与△FPD中∵∠APH=∠FPD=90°∠PAH=∠BAP=∠BFP PA=PF
∴△APH≌△FPD（ASA），∴AH=FD，
又∵AB=FB∴AB=FD+BD=AH+BD，故③正确；连接HD，ED，
∵△APH≌△FPD，△ABP≌△FBP∴，，PH=PD，
∵∠HPD=90°，∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD∴HD∥EP，∴
∵
故④错误，
∴正确的有①②③，故答案为：B．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意AAA和SAS不能判定两个三角形全等．
2．（2023春·广东深圳·八年级统考开学考试）如图，在中，，是边上的高，是的平分线，交于点F，下面说法：①；②；③；④．其中正确的说法有（ ）个．

A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据余角的性质可判断①，根据角平分线的定义可判断③，证明，根据等角对等边推出可判断②，过点作于，根据角平分线的性质定理可得，利用三角形的面积可判断④．
【详解】解：是的平分线，，
，是边上的高，，，
，，．故①③符合题意．
，是边上的高，，，
是的平分线，，，，
．故②符合题意．如图，过点作于，

，是的平分线，，
，故④符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义和性质，三角形的高，余角的性质，掌握角平分线的性质定理是解题关键．
3．（2023春·山东威海·七年级统考期末）如图，在中，，，，分别是和的角平分线，，交于点O，分别过点O作于点M，作于点N．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）

A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【分析】根据，分别是和的角平分线，求出，再根据三角形的内角和定理，即可求出，即可判断①；连接，则平分，推出，则，，进而得出，即可判断②④；通过证明，即可判断③．
【详解】解：①∵，，，分别是和的角平分线，
∴，在中，，故①正确，符合题意；
②④连接，∵，分别是和的角平分线，∴平分，
∵，，∴，，
∵，∴，
∴，，∴，
在和中，，∴，
∴，．故②④正确，符合题意；
③在和中，，∴，∴，
故③正确，符合题意．综上：正确的有①②③④，共4个．故选：A．

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，解题的关键是掌握三角形的三条角平分线交于一点，角平分线上的点到两边距离相等．
4．（2023春·广东惠州·八年级校考开学考试）如图，在中，平分，，，则与之间的大小关系是（ ）

A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】作，垂足为D，交延长线于点E，再根据角平分线的性质得出，证明，得出即可．
【详解】解：作，垂足为D，交延长线于点E，则，

∵平分，，，∴，
∵，，∴，
在和中，，∴，∴，故选：A．
【点睛】此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，关键是添加辅助线来证明三角形全等．
5．（2023春·陕西西安·七年级校考期末）如图，，和分别平分和，过点P且与垂直，若，，则的面积为（ ）

A．15B．20C．30D．80
【答案】A
【分析】过点P作于点E，根据平行线的性质证，再根据角平分线的性质得出，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：过点P作于点E，
∵，∴，
∵，∴，∴，即，
∵，和分别平分和，∴，，∴，
∵，∴，
∵，∴，故选：A．

【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
6．（2023春·山东泰安·七年级校考开学考试）如图，在中，交于点平分交于点的面积为20，则的长为 ．

【答案】8
【分析】过作于，据角平分线的性质得到，然后利用三角形的面积公式列式计算．
【详解】解：如图，过作于，
平分交于点，，
的面积为20，，，故答案为：8．

【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
7．（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）如图，在中，，．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、边于点、；再分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；作射线交边于点．若的面积为，则的面积为 ．
【答案】15
【分析】作于，作于，由作图知平分，得，根据，，求得，再根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，作于，作于，
由作图知平分，，
，，，即，解得，
则，，故答案为：15．
【点睛】本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质．
8．（2023春·山东枣庄·八年级校联考阶段练习）如图所示，已知直线平分且，求与之间的关系并说明理由．

【答案】，理由见解析
【分析】如图，过点作点，过点作于点，根据角平分线的性质得到，通过证明，得出，通过推出与之间的关系．
【详解】解：，理由如下：
如图，过点作点，过点作于点，

直线平分，，，，
在和中，，，，，
，．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
9．（2023·重庆·八年级专题练习）阅读与思考
下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题
在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题．
例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．

该问题的解答过程如下：
解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，

平分，．
，．
在和中，，
（依据1）
（依据2），，
，．
……
任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________；
任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；
应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．

【答案】任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或），全等三角形的对应边相等；任务二：见解析；应用：12
【分析】任务一：根据全等三角形判定和性质即可得到答案；
任务二：先推出，得出，，进而可得，即可得到答案；
应用：延长、交于点，先推出，得到，进而可得，再推出，即可得出结论．
【详解】解：任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或ASA），全等三角形的对应边相等；
任务二：……
，，；
应用：延长、交于点，

平分，，
，，
在和中，
，，，
，，，
在和中，，．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD．
【答案】见解析
【分析】分别延长BE、CA交于点F，首先结合题意推出△CFE≌△CBE，从而得到BE＝EF＝BF，然后证明△BFA≌△CDA，得到BF＝CD，即可得出结论．
【详解】证明：分别延长BE、CA交于点F，
∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠FEC＝90°．∵CD平分∠ACB，∴∠FCE＝∠BCE．
在△CFE与△CBE中，∵∠BEC＝∠FEC，∠FCE＝∠BCE，CE＝CE，
∴△CFE≌△CBE，∴BE＝EF＝BF．
在△CFE与△CAD中，∵∠F＋∠FCE＝∠ADC＋∠ACD＝ 90°，∴∠F＝∠ADC．
在△BFA与△CDA中，∵∠F＝∠ADC，∠BAC＝∠FAB，AB＝AC，
∴△BFA≌△CDA，∴BF＝CD． ∴BE＝CD．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，理解角平分线的基本定义，熟练运用角平分线的性质构造辅助线，并且准确判定全等三角形是解题关键．
11．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知在四边形ABCD中，BD是的平分线，．2 求证：．
【答案】见解析
【分析】方法一，在BC上截取BE，使，连接DE，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，再根据全等三角形的性质可得，，由AD=CD等量代换可得，继而可得，由于，可证；
方法2，延长BA到点E，使，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，．由，可得，继而求得，由，继而可得；
方法3， 作于点E，交BA的延长线于点F，由角平分线的定义可得，由，，可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，再根据HL定理可得可证．
【详解】解：方法1 截长如图，在BC上截取BE，使，连接DE，
因为BD是的平分线，所以．
在和中，因为所以，所以，．
因为，所以，所以．
因为，所以．
方法2 补短
如图，延长BA到点E，使．
因为BD是的平分线，所以
在和中，因为，所以，所以，．
因为，所以，所以．
因为，所以．
方法3 构造直角三角形全等
作于点E．交BA的延长线于点F
因为BD是的平分线，所以．
因为，，所以，
在和中，因为，所以，所以．
在和中，因为，所以，所以．
因为，所以．
12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．
（1）求证：∠ABD=∠ACD；（2）求证：AD平分∠CDE；（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不变，60°
【分析】（1）根据∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，再结合∠ABD＋∠BDC＋∠DFB＝∠BAC＋∠ACD＋∠AFC＝180°，即可得出结论；（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．运用“AAS”证明△ACM≌△ABN得AM＝AN．根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证；（3）运用截长法在CD上截取CP＝BD，连接AP．证明△ACP≌ABD得△ADP为等边三角形，从而求∠BAC的度数．
【详解】（1）证明：∵∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，
又∵∠ABD＋∠BDC＋∠DFB＝∠BAC＋∠ACD＋∠AFC＝180°，∴∠ABD＝∠ACD；
（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．
则∠AMC＝∠ANB＝90°，∵OB＝OC，OA⊥BC，∴AB＝AC，
∵∠ABD＝∠ACD，∴△ACM≌△ABN （AAS），∴AM＝AN，
∴AD平分∠CDE（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；
（3）∠BAC的度数不变化．在CD上截取CP＝BD，连接AP．
∵CD＝AD＋BD，∴AD＝PD，
∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CP，∴△ABD≌△ACP，
∴AD＝AP，∠BAD＝∠CAP，∴AD＝AP＝PD，
即△ADP是等边三角形，∴∠DAP＝60°，
∴∠BAC＝∠BAP＋∠CAP＝∠BAP＋∠BAD＝60°．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，运用了角平分线的判定定理和“截长补短”的数学思想方法，综合性较强．
13．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在四边形中，，点E是的中点，平分．求证：是的平分线．

【答案】见解析
【分析】过点E作于点H，反向延长交的延长线于点G，过点E作于点F，证明，可得，根据角平分线的性质定理可得，从而得到，再由角平分线的性质的逆定理，即可求解．
【详解】证明：过点E作于点H，反向延长交的延长线于点G，过点E作于点F，

∵，∴，，
∵点E是的中点，∴，
在与中，，∴，∴，
∵平分，，∴，∴，
又，∴是的平分线．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
14．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，四边形中，，点E为的中点，且平分．(1)求证：平分；(2)求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）过点E作于F，根据角平分线的性质得出，再根据，得出，进而根据角平分线的判定定理可得出结论；（2）根据角平分线的性质得出，，再证明，，根据全等三角形的性质得出，，进而得出结论．
【详解】（1）证明：如图，过点E作于F，

∵，平分，∴，
∵E是的中点，∴，∴，
又∵，，∴是的平分线．
（2）∵平分，平分，，，
∴，，∴，，
∴，，
∴ ．
【点睛】本题考查角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质．掌握角平分线的判定与性质，是解题的关键．
15．（2022春·江西萍乡·八年级统考期中）已知是的平分线，点P是射线上一点，，点C、D分别在射线、上，连接、．
(1)如图①，当，时，则与的数量关系是___________．
(2)如图②，点C、D在射线、上滑动，且，当时与在（1）中的数量关系还成立吗?说明理由．(3)在问题（2）中，则四边形的面积S是否会发生变化?若不会发生变化，请直接写出面积S的值，若发生变化，请说明理由
【答案】(1)(2)成立，理由见解析(3)不会发生变化，S=9
【分析】（1）直接根据角平分线的性质可求；
（2）过点P点作于E，于F，证明即可；
（3）面积不会发生变化，四边形OCPD的面积等于四边形OEPF的面积，等于 ．
（1）解：根据角平分线的性质可得
（2）证明：如图②，过点P点作于E，于F．
∵是的平分线，∴，
∵，∴
而∴，∴，∴．
（3）解：不会发生变化，理由是：
∵OP平分∠AOB，∠AOB=90°∴∠POF=45°∴∠OPF=∠POF=45°∴PF=OF=3
由（2）可知，∴四边形OCPD的面积=四边形OEPF的面积=．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造能运用角平分线的性质定理是解题的关键．
16．（2022·江苏·一模）如图，已知，AE，BD是的角平分线，且交于点P．
（1）求的度数．（2）求证：点在的平分线上．（3）求证：①；②．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）①见解析，②见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的性质即可得解；
（2）根据角平分线上的点到两边的距离相等，作，，分别垂直于，，，即可得解；（3）①根据（2）所做图像，证明全等即可得解；②在AB上取，证明，，得到，证明，得到，证明，得到，再结合图像即可证明．
【详解】解：（1）已知，，
又 AE，BD是的角平分线，，
；
（2）作，，分别垂直于，，如图，
AE，BD是的角平分线，，在的平分线上；
（3）①：如图所示，在四边形中，
，（对顶角），
，，
又，，，；
②：在AB上取，
，，
同理可证，，，
又，，，，
又，，
又
，．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质；掌握好相关的基本性质定理，熟练地使用全等三角形的性质是关键．
17．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在中，分别平分，交于点．
(1)求证：；
(2)过点作，垂足为．若的周长为56，，求的面积．
【答案】(1)见详解(2)84
【分析】（1）由平行四边形的性质证即可求证；
（2）作，由即可求解；
（1）证明：在中，∵，∴，
∵分别平分，，∴，
在和中，∵∴，
∴，∴．
（2）如图，作，
∵的周长为56，∴，∵平分，∴，
∴．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、三角形的全等、角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
18．（2023·广西钦州·八年级校考阶段练习）
(1)感知：如图，平分，，易知：（不需证明）
(2)探究：如图，平分，，求证：．
(3)应用：如图，四边形中，，，，，求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【分析】（1）由证明，即可得出结论；
（2）作于，于，由证明，即可得出结论；（3）连接，作于点，首先由证明≌，再由证明即可解决问题．
【详解】（1），，，
平分，，
在和中，≌，；
（2）作于，于，如图所示：
平分，，，，
，，，
在和中，，≌，；
（3）连接，作于点，如图所示：
，，，，
在和中，≌，，，
在和中，，≌，，
，．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．